Potenzgleichungen – Eigenschaften

Was sind Potenzgleichungen?

Gleichungen der Form $x^{n}=a$ nennt man Potenzgleichungen. Die gesuchte Zahl $x$ steht dabei in der Basis der Potenz. Der Exponent $n$ kann eine gerade oder ungerade natürliche Zahl oder auch eine negative oder rationale Zahl sein. Je nachdem welche Eigenschaften $n$ hat, musst du verschiedene Fälle beim Lösen der Potenzgleichung beachten, die wiederum vom Ergebnis $a$ der Gleichung abhängen. In diesem Lerntext erhältst du einen Überblick über die unterschiedlichen Fälle und wiederholst dabei auch die Regeln zum Ziehen von Wurzeln. Da Potenzgleichungen der Form $x^{n}=a$ eng mit den Potenzfunktionen $f(x)=x^{n}$ zusammenhängen, schauen wir uns jeweils auch die Graphen der Potenzfunktionen an.

Potenzgleichungen und Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten

Wir betrachten zuerst Potenzgleichungen $x^{n}=a$ mit bzw. die Potenzfunktionen $f(x)=x^{n}$ mit $n \in \mathbb{N}$. Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten lassen sich in Gruppen zusammenfassen. Innerhalb einer Gruppe haben die Funktionen viele Gemeinsamkeiten.

Gerade positive Exponenten

Du kennst bestimmt die Potenzfunktion $f(x)=x^{2}$ unter dem Namen quadratische Funktion. Der Funktionsgraph ist eine Normalparabel, deren Scheitelpunkt im Ursprung liegt. Die Potenzfunktionen $f(x)=x^{2}$, $f(x)=x^{4}$ und $f(x)=x^{12}$ sind in der folgenden Abbildung dargestellt.

Alle Graphen von Potenzfunktionen mit geraden Exponenten haben Ähnlichkeiten. Der einzige Unterschied ist, dass mit wachsenden Exponenten die Graphen zwischen $-1$ und $1$ flacher verlaufen und außerhalb dieses Bereichs steiler. Als Gemeinsamkeiten zeigen alle Graphen eine Achsensymmetrie zur $y$-Achse und haben einen positiven Wertebereich $y \in \mathbb{R}^{+}$ sowie den tiefsten Punkt im Ursprung.

Die Lösung einer Potenzgleichung der Form $x^{n}=a$ entspricht grafisch der Bestimmung der Schnittpunkte zwischen dem Graphen der Funktion $f(x)=x^{n}$ und einer zur $y$-Achse waagerechten Geraden auf der Höhe $y=a$.

Zur Lösung der Gleichungen betrachten wir drei Beispiele.

Um die Potenzgleichungen zu lösen, musst du die Wurzel ziehen, also die Umkehrrechnung des Potenzierens anwenden.

Beispiel 1: $a>0$

$x^{2}=36 \quad \vert \sqrt{~~}$

$x=\sqrt{36}$

$x_{1}=6$ und $x_{2}={-}6$

$\mathbb{L}=\lbrace -6, 6\rbrace$

Die gerade Wurzel aus einer positiven Zahl hat zwei Lösungen. In der Rechnung wird das deutlich, wenn du dich erinnerst, dass $6\cdot 6=36$ ist, aber auch $(-6)\cdot(-6)=36$. Bei einer geraden Anzahl von negativen Faktoren ist das Ergebnis positiv, da jeweils zwei Minuszeichen, die miteinander multipliziert werden, sich gegenseitig aufheben.

Grafisch bedeutet $x^{2}=36$, dass es zwischen der Normalparabel und der Gleichung $y=36$ (also einer Geraden parallel zur $x$-Achse auf der Höhe $36$) zwei Schnittpunkte gibt (und zwar an den Stellen $x_{1}=6$ und $x_{2}={-}6$).

Beispiel 2: $a=0$

$x^{12}=0 \quad \vert \sqrt[12]{~~}$

$x=\sqrt[12]{0}$

$x=0$

$\mathbb{L}=\lbrace 0\rbrace$

Die Wurzel aus $0$ hat nur eine Lösung, nämlich $0$. Es gibt keine andere Zahl, die mit sich selbst multipliziert $0$ ergibt, außer die $0$ selbst. Die Null hat kein Vorzeichen und ist weder positiv noch negativ.

Grafisch bedeutet $x^{12}=0$, dass es zwischen dem Graphen von $x^{12}$ und der Gleichung $y=0$ (also einer Geraden, die auf der $x$-Achse liegt) einen gemeinsamen Punkt gibt.

Beispiel 3: $a<0$

$x^{4}=-81 \quad \vert \sqrt[4]{~~}$

$x=\sqrt[4]{-81}$

$x$ hat keine Lösung.

$\mathbb{L}=\lbrace ~\rbrace$

Für die Wurzel aus einer negativen Zahl gibt es keine Lösung. Es gibt keine Zahl, die viermal mit sich selbst multipliziert $-81$ ergibt, denn es gilt ${3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=+81}$ und ${(-3)\cdot (-3)\cdot (-3)\cdot (-3)=+81}$. Grafisch bedeutet $x^4=-81$, dass es zwischen dem Graphen von $x^{4}$ und der Gleichung $y=-81$ (also einer Geraden, die unterhalb der $x$-Achse liegt) keinen Schnittpunkt gibt.

Ungerade positive Exponenten

Die Potenzfunktion $f(x)=x^{3}$ hat den Verlauf einer S-Kurve. Die Potenzfunktionen ${f(x)=x^{3}}$, ${f(x)=x^{5}}$ und ${f(x)=x^{13}}$ sind in der folgenden Abbildung dargestellt.

Alle Potenzfunktionen der Form $f(x)=x^{n}$ mit ungeraden Exponenten haben Ähnlichkeiten. Der einzige Unterschied ist, dass mit wachsenden Exponenten die Graphen zwischen $-1$ und $1$ flacher verlaufen und außerhalb dieses Bereichs steiler. Als Gemeinsamkeiten besitzen sie eine Punktsymmetrie zum Ursprung und einen uneingeschränkten Wertebereich: $y \in \mathbb{R}$.

Zur Lösung der Gleichungen betrachten wir drei Beispiele.

Beispiel 1: $a>0$

$x^{3}=27 \quad \vert \sqrt[3]{~~}$

$x=\sqrt[3]{27}$

$x=3$

$\mathbb{L}=\lbrace 3\rbrace$

Die ungerade Wurzel aus einer positiven Zahl hat eine Lösung. In diesem Beispiel gilt ${3\cdot 3\cdot 3=27}$.

Achtung: $-3$ ist keine Lösung der Gleichung, denn ${(-3)\cdot(-3)\cdot (-3)=-27}$.

Grafisch bedeutet $x^{3}=27$, dass es zwischen dem Graphen von $x^{3}$ und der Gleichung $y=27$ (also einer Geraden parallel zur $x$-Achse auf der Höhe $27$) einen Schnittpunkt gibt.

Beispiel 2: $a=0$

$x^{13}=0 \quad \vert \sqrt[13]{~~}$

$x=\sqrt[13]{0}$

$x=0$

$\mathbb{L}=\lbrace 0\rbrace$

Wie bei geraden Wurzeln hat auch die ungerade Wurzel aus $0$ nur eine Lösung, nämlich $0$.

Grafisch bedeutet $x^{13}=0$, dass es zwischen dem Graphen von $x^{7}$ und der Gleichung $y=0$ einen Schnittpunkt gibt.

Beispiel 3: $a<0$

$x^{5}=-32 \quad \vert \sqrt[5]{~~}$

$x=\sqrt[5]{-32}$

$x=-2$

$\mathbb{L}=\lbrace -2\rbrace$

Für die ungerade Wurzel aus einer negativen Zahl gibt es eine Lösung. Hier gilt ${(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)\cdot (-2)\cdot (-2)=-32}$. Bei einer ungeraden Anzahl von negativen Faktoren ist das Ergebnis negativ, da jeweils zwei Minuszeichen sich gegenseitig aufheben und ein Minuszeichen übrig bleibt.

Grafisch bedeutet $x^{5}=-32$, dass es zwischen dem Graphen von $x^{5}$ und der Gleichung $y=-32$ (also einer Geraden, die unterhalb der $x$-Achse liegt) einen Schnittpunkt gibt.

Zusammenfassung – Potenzgleichungen mit natürlichen Exponenten

Hier siehst du die Fallunterscheidung für die Anzahl der Lösungen von Potenzgleichungen mit natürlichen Exponenten.

Äquivalenzumformungen beim Lösen von Potenzgleichungen

Wenn eine Potenzgleichung noch nicht in der Form $x^{n}=a$ vorliegt, musst du zuerst Äquivalenzumformungen vornehmen.

Äquivalenzumformungen – Vorfaktor vor der Potenz

Wenn vor der Potenz ein Faktor steht, musst du beide Seiten der Gleichung durch diesen Faktor dividieren und kannst danach die Wurzel ziehen:

$5x^2=125 \quad \vert :5$

$x^2=25 \quad \vert \sqrt{~~}$

$x_{1}=5$ und $x_{2}={-}5$

Äquivalenzumformungen – gleichartige Potenzen zusammenfassen

Wenn die Gleichung mehrere Summanden enthält, sortiere zunächst (Potenzen nach links, Konstanten nach rechts) und ziehe dann die Wurzel:

$7x^3-300=3x^3+200 \quad \vert +300 \quad \vert -3x^3$

$4x^3=500 \quad \vert :4$

$x^3=125 \quad \vert \sqrt[3]{~~}$ $x= 5$

Potenzgleichungen mit rationalen und negativen Exponenten

Der Exponent muss nicht immer eine natürliche Zahl sein. Es kann auch eine Potenz der Form $x^{\frac{m}{n}}$ mit $m,n \in \mathbb{Z}$ auftreten, sodass der Exponent eine positive oder negative Bruchzahl ist. Mithilfe der Potenzgesetze kann man Regeln herleiten, mit denen man Gleichungen, die rationale und negative Exponenten enthalten, so umformen kann, dass sie nur natürliche Exponenten enthalten. Du kannst dich hier über die Herleitung der Regeln für rationale Exponenten und negative Exponenten informieren oder die Informationen aus dem Kasten verwenden:

Wir betrachten zwei Beispiele:

Beispiel 1 – rationaler Exponent

$x^{\frac{2}{3}}=100$

Diese Gleichung kannst du mithilfe des Potenzgesetzes umschreiben:

$\sqrt[3]{x^{2}}=100$

Anschließend musst du zuerst potenzieren, um die Wurzel aufzulösen. Danach kannst du die Wurzel ziehen, um die verbleibende Potenz aufzulösen. Dadurch kannst du das $x$ isolieren und somit berechnen.

$\sqrt[3]{x^{2}}=100 \quad \vert (~)^{3}$

$x^{2}=100^3 \quad \vert \sqrt{~~}$

$x=\sqrt{100^3} =\sqrt{1 000 000}=1 000$

Beispiel 2 – negativer Exponent

$x^{-2}=0,01$

Diese Gleichung kannst du mithilfe des Potenzgesetzes umschreiben:

$\frac{1}{x^{2}}=0,01$

Du erhältst einen Bruch und musst zuerst die ganze Gleichung mit dem Nenner multiplizieren, damit die Unbekannte $x$ nicht im Bruch steht. Danach kannst du durch den Vorfaktor vor $x$ dividieren und anschließend die Wurzel ziehen, um die verbleibende Potenz aufzulösen. Dadurch ist $x$ isoliert und kann berechnet werden.

$\frac{1}{x^{2}}=0,01 \quad \vert \cdot x^{2}$

$1=0,01 x^{2} \quad \vert :0,01$

$100= x^{2} \quad \vert \sqrt{~~}$

$x_{1}=10$ und $x_{2}={-}10$