Kommutativgesetz und Assoziativgesetz – geschickt rechnen

Kommutativgesetz und Assoziativgesetz – geschickt rechnen Übung

• Gib das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz an.

  Tipps

  Beispiel zum Kommutativgesetz:

  $79 + 14 + 11 = 79 + 11 + 14 = 90 + 14 = 104$

  Das Kommutativ- und das Assoziativgesetz gelten für die gleichen Rechenoperationen.

  Lösung

  Bei dem Kommutativgesetz bzw. Vertauschungsgesetz der Addition können wir die Summanden beliebig vertauschen:

  $24 + 15 + 6 = 24 + 6 + 15 = 30 + 15 = 45$

  Bei dem Kommutativgesetz der Multiplikation können wir die Faktoren beliebig vertauschen:

  $5 \cdot 13 \cdot 2 = 5 \cdot 2 \cdot 13 = 10 \cdot 13 = 130$

  Bei dem Assoziativgesetz bzw. Verbindungsgesetz können wir sowohl bei der Addition als auch bei der Multiplikation beliebig Klammern setzen:

  $18 + 11+ 49 + 7 = 18 + (11+49)+7 = 18 + 60 + 7 = 85$

  $13 \cdot 4 \cdot 25 = 13 \cdot (4 \cdot 25) = 13 \cdot 100 = 1\,300$

• Bestimme alle falschen Rechnungen.

  Tipps

  Gehe die Rechnungen jeweils Schritt für Schritt durch und schaue, ob du Fehler findest.

  Achte bei der Multiplikation darauf, die Zahlen so zusammenzufassen, dass ganze Zehner oder Hunderter entstehen.

  Beispiel:

  $14 + 73 + 56 =14 + 56 + 73 = 70 + 73 = 143$

  Hier haben wir das Kommutativgesetz angewendet, um die Zahlen $14$ und $56$ zuerst zusammenfassen zu können.

  Lösung

  Richtige Rechnungen:

  • $73 + 58 + 27 = 73 + 27 + 58 = 100 + 58$

  Hier wurde das Kommutativgesetz der Addition angewendet.

  • $10 + 44 + 56 + 8 = 10 + (44+56) +8 = 10 + 100 + 8 = 118$

  Hier wurde das Assoziativgesetz der Addition angewendet.

  • $2 \cdot 7 \cdot 5 = 2 \cdot 5 \cdot 7 = 10 \cdot 7 = 70$

  Hier wurde das Kommutativgesetz der Multiplikation angewendet.

  Falsche Rechnungen:

  • $22+73+28 = 73 + (28 + 22) = 73 + 6 = 79$

  Hier wurde in der Klammer subtrahiert statt addiert. Korrekt lautet die Rechnung:
  $22+73+28 = 73 + (28 + 22) = 73 + 50 = 123$

  • $6 \cdot 25 \cdot 4 = 100 \cdot 4 = 400$

  Hier wurde falsch multipliziert. Korrekt lautet die Rechnung:
  $6 \cdot 25 \cdot 4 = 6 \cdot 100 = 600$

  • $3 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 20 = 15 \cdot 23 = 345$

  Hier wurden die Zahlen $3$ und $20$ addiert statt multipliziert. Korrekt lautet die Rechnung:
  $3 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 20 = (3 \cdot 3) \cdot (5 \cdot 20) = 9 \cdot 100 = 900$

• Entscheide, welche Zahlen du als Erstes zusammenfassen würdest, um vorteilhaft zu rechnen.

  Tipps

  Versuche, bei der Addition Zahlen zu finden, die zusammen volle Zehner, Hunderter etc. ergeben.

  Versuche, bei der Multiplikation Zahlen zu finden, deren Produkt $10$, $100$, $1\,000$ etc. ergibt.

  Lösung

  Wir rechnen vorteilhaft, indem wir zunächst Zahlen zusammenfassen, die ein schönes Ergebnis haben. Damit lässt sich dann der Rest der Aufgabe leichter lösen.

  Beispiel 1:
  $13 + 76 + 44 = 13 + \mathbf{(76 + 44)} = 13 + 120 = 133$
  Wir haben das Assoziativgesetz verwendet.

  Beispiel 2:
  $ 45 \cdot 4 \cdot 25 = 45 \cdot \mathbf{(4 \cdot 25)} = 45 \cdot 100 = 4\,500$
  Wir haben das Assoziativgesetz verwendet.

  Beispiel 3:
  $125 \cdot 4 \cdot 8 \cdot 3 = 125 \cdot \mathbf{8 \cdot 4} \cdot 3 = \mathbf{(125 \cdot 8 )} \cdot (4 \cdot 3) = 1\,000 \cdot 12 = 12\,000$
  Wir haben zunächst das Kommutativgesetzt und dann das Assoziativgesetz angewendet.

  Beispiel 4:
  $19+43+7+28=19+\mathbf{(43+7)}+28=19+50+28=69+28=97$
  Wir haben das Assoziativgesetz verwendet.

• Wende das Kommutativ- und das Assoziativgesetz zur Berechnung an.

  Tipps

  Du kannst bei der Addition die Summanden vertauschen.

  Lösung

  Wir können das Kommutativ- und das Assoziativgesetz anwenden, um geschickt zu rechnen:

  Beispiel 1:
  $131 + 42 + 19$
  Hier ist es clever, das Kommutativgesetz anzuwenden und die Summanden zu vertauschen, um die beiden Zahlen $131$ und $19$ zu addieren:
  $131 + 42 + 19 = 131 + 19 + 42 = 150 + 42 = 192$

  Beispiel 2:
  $16 + 58 + 12 + 11$
  Hier ist es smart, das Assoziativgesetz anzuwenden und erst die Summanden $58$ und $12$ zu addieren:
  $16 + 58 + 12 + 11 = 16 + (58 + 12) + 11 = 16 + 70 + 11 = 97$

  Beispiel 3:
  $4 \cdot 9 \cdot 25$
  Hier ist es klug, das Kommutativgesetz anzuwenden und die Faktoren zu vertauschen, um zuerst die beiden Zahlen $4$ und $25$ zu multiplizieren:
  $4 \cdot 9 \cdot 25 = 4 \cdot 25 \cdot 9 = 100 \cdot 9 = 900$

  Beispiel 4:
  $6 \cdot 8 \cdot 125 \cdot 14$
  Hier ist es sinnvoll, das Assoziativgesetz anzuwenden und erst die Faktoren $8$ und $125$ zu multiplizieren:
  $6 \cdot 8 \cdot 125 \cdot 14 = 6 \cdot (8 \cdot 125) \cdot 14 = 6 \cdot 1\,000 \cdot 14 = 6 \cdot 14 \cdot 1\,000 = 84 \cdot 1\,000 = 84\,000$

• Gib jeweils an, welches Gesetz angewendet wurde.

  Tipps

  Das Kommutativgesetz heißt auch Vertauschungsgesetz.

  $13 + 4 + 56 + 18 = 13 + (4 + 56) + 18 = 13 + 60 + 18$

  Hier wurde das Assoziativgesetz angewendet.

  Lösung

  Beispiel 1:
  $73 + 58 + 27 = 73 + 27 + 58 = 100 + 58$
  Da hier Summanden vertauscht wurden, um einfacher rechnen zu können, wurde das Vertauschungsgesetz (= Kommutativgesetz) angewendet.

  Beispiel 2:
  $22 + 73 + 28 = 73 + (28 + 22) = 73 + 50 = 123$
  Weil hier durch das Setzen einer Klammer zwei Summanden verbunden wurden, wurde das Verbindungsgesetz (= Assoziativgesetz) genutzt.

  Beispiel 3:
  $2 \cdot 7 \cdot 5 = 2 \cdot 5 \cdot 7 = 10 \cdot 7 = 70$
  Da hier zwei Faktoren vertauscht wurden, wurde das Kommutativgesetz angewendet.

  Beispiel 4:
  $10 + 44 + 56 + 8 = 10 + (44+56) +8 = 10 + 100 + 8 = 118$
  Weil hier eine Klammer gesetzt wurde, wurde das Assoziativgesetz genutzt.

• Berechne möglichst geschickt.

  Tipps

  Du kannst bei der Addition und bei der Multiplikation beliebig Klammern setzen.

  Beispiel:

  $14 + 57 + 86 = (14 + 86) + 57 = 100 + 57 = 157$

  Lösung

  Wir fassen geschickt zusammen:

  Beispiel 1:
  Wir wenden das Kommutativgesetz an:
  $83 + 45 + 27 = 83 + 27 + 45 = 110 + 45 = 155$

  Beispiel 2:
  Wir nutzen das Kommutativgesetz und anschließend das Assoziativgesetz:
  $4 \cdot 20 \cdot 9 \cdot 5= (4 \cdot 9) \cdot (5 \cdot 20) = 36 \cdot 100 = 3\,600$

  Beispiel 3:
  Wir wenden das Kommutativgesetz und danach das Assoziativgesetz an:
  $19 + 11 + 67 + 38 + 13= (19 + 11) + (67 + 13) + 38 = 30 + 80 + 38 = 148$