Beschreibende Statistik – Lageparameter und Streuung

Beschreibende Statistik – Lageparameter und Streuung Übung

• Beschreibe, was die Statistik ist und gib einige wichtige Kennzahlen der Statistik an.

  Tipps

  Auf einer korrigierten Klassenarbeit stehen in der Regel folgende Informationen:

  • Note des Schülers oder der Schülerin
  • tabellarische Zusammenfassung aller Noten der Klasse
  • Durchschnittsnote

  Wenn man bei den Noten einer Klassenarbeit zusätzlich wissen möchte, wie sehr die Noten vom Durchschnitt abweichen, berechnet man die mittlere absolute Abweichung.

  Lösung

  Die Statistik ist die Lehre von Methoden, mit denen quantitative Daten beurteilt werden können. Solche Daten kann man durch Beobachtungen, Messungen oder Befragungen gewinnen und tabellarisch sowie graphisch darstellen.

  Sicherlich ist dir schon mal aufgefallen, dass auf einer korrigierten Arbeit neben deiner Note eine Tabelle mit allen Noten der Klasse angegeben war. Meistens findest du neben dieser Tabelle noch eine Durchschnittsnote, die sich wie folgt berechnet: Du multiplizierst jede Note mit der zugehörigen Anzahl und summierst die so entstandenen Produkte. Die Summe teilst du durch die Anzahl der Schüler, die die Arbeit geschrieben haben.

  Allerdings ist der Durchschnitt, also das arithmetische Mittel, nicht die einzige statistische Kennzahl. So gibt es auch noch Kennzahlen, welche die Variationsbreite (auch Streuung), also die Verschiedenheit der Daten beschreiben.

  Diese sind zum Beispiel:

  • Die Spannweite, die den Unterschied zwischen dem größten und dem kleinsten Wert wiedergibt.
  • Die mittlere absolute Abweichung, die die durchschnittliche Abweichung vom Durchschnittswert wiedergibt.

• Bestimme jeweils das arithmetische Mittel und die mittlere absolute Abweichung.

  Tipps

  Das arithmetische Mittel ist der Durchschnitt. Den Durchschnitt der Noten einer Klasse berechnest du, indem du jede Note mit der zugehörigen Anzahl multiplizierst und die so entstandenen Produkte addierst. Die Summe teilst du noch durch die Gesamtzahl der Schüler.

  Die mittlere absolute Abweichung erhältst du, indem du für jeden Schüler den Betrag, also den Absolutwert der Differenz von seiner Note und der Durchschnittsnote bestimmst. Dann addierst du diese Beträge und teilst diese Summe wieder durch die Gesamtzahl der Schüler.

  Hier ein Rechenbeispiel:

  $ \begin{array}{l|c|c|c|c|c|c} \text{Note} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \text{Klasse 8a} & 3 & 2 & 11 & 7 & 2 & 0 \end{array} $

  Für das arithmetische Mittel multiplizieren wir zunächst jede Note mit der zugehörigen Schüleranzahl. Es folgt:

  $ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} 1\cdot 3=3 & 2\cdot 2=4 & 3\cdot 11=33 & 4\cdot 7=28 & 5\cdot 2=10 & 6\cdot 0=0 \end{array} $

  Nun addieren wir die Produkte und teilen durch die Gesamtzahl der Schüler, also $25$:

  $(3+4+33+28+10+0):25=78:25=3,12$

  Lösung

  Im Folgenden beschäftigen wir uns mit den beiden statistischen Kennzahlen „arithmetisches Mittel“ und „mittlere absolute Abweichung“:

  • Das arithmetische Mittel, auch Durchschnitt genannt, ist ein Lageparameter.
  • Die mittlere absolute Abweichung ist ein Streuungsparameter.

  Diese Kennzahlen werden für die Verteilung der Schulnoten wie folgt berechnet:

  arithmetisches Mittel

  1. Note mit der zugehörigen Schüleranzahl multiplizieren.
  2. Alle so entstandenen Produkte addieren.
  3. Summe durch Gesamtzahl der Schüler teilen.

  mittlere absolute Abweichung

  1. Den Betrag der Differenz zwischen jeder Note und dem arithmetischen Mittel berechnen.
  2. Die Beträge mit der Schüleranzahl der jeweiligen Note multiplizieren.
  3. Alle so entstandenen Produkte addieren.
  4. Summe durch die Gesamtzahl der Schüler teilen.

  Damit erhalten wir folgende Werte:

  Klasse 8b - arithmetisches Mittel

  $\begin{array}{c|c|c|c|c|c} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 2 & 5 & 8 & 7 & 2 & 1 \end{array}$

  Wir bestimmen zunächst die Produkte:

  • $1\cdot 2=2$
  • $2\cdot 5=10$
  • $3\cdot 8=24$
  • $4\cdot 7=28$
  • $5\cdot 2=10$
  • $6\cdot 1=6$

  Nun addieren wir alle Produkte und teilen durch die Gesamtzahl der Schüler, also durch $2+5+8+7+2+1=25$. Wir erhalten dann das folgende arithmetische Mittel:

  • $(2+10+24+28+10+6):25=80:25=3,2$

  Klasse 8b - mittlere absolute Abweichung

  Nun müssen wir zunächst die Differenz zwischen jeder Note und der Durchschnittsnote berechnen.

  • $\vert 1-3,2\vert=2,2$
  • $\vert 2-3,2\vert=1,2$
  • $\vert 3-3,2\vert=0,2$
  • $\vert 4-3,2\vert=0,8$
  • $\vert 5-3,2\vert=1,8$
  • $\vert 6-3,2\vert=2,8$

  Jetzt multiplizieren wir die Beträge jeweils mit der Schüleranzahl der zugehörigen Note. Wir erhalten:

  • $2,2\cdot 2=4,4$
  • $1,2\cdot 5=6$
  • $0,2\cdot 8=1,6$
  • $0,8\cdot 7=5,6$
  • $1,8\cdot 2=3,6$
  • $2,8\cdot 1=2,8$

  Nun können wir diese Produkte addieren und durch die Gesamtzahl der Schüler, also $25$ teilen:

  • $(4,4+6+1,6+5,6+3,6+2,8):25=24:25=0,96$

  Klasse 8c - arithmetisches Mittel

  $\begin{array}{c|c|c|c|c|c} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & 1 & 19 & 1 & 2 & 1 \end{array}$

  Genauso gehen wir nun bei diesem Notenspiegel vor und erhalten das gleiche arithmetische Mittel, nämlich $3,2$.

  Klasse 8c - mittlere absolute Abweichung

  Das Vorgehen ist auch hier das gleiche. Wir erhalten diesmal eine mittlere absolute Abweichung von $0,58$. Das bedeutet, dass die Schüler der Klasse 8c im Durchschnitt eher Noten geschrieben haben, die Nahe am arithmetischen Mittel liegen.

• Ordne den Zeugnissen die zugehörigen Diagramme zu.

  Tipps

  Notiere dir zunächst die Anzahl der jeweiligen Noten für jedes Zeugnis und vergleiche diese dann mit den Höhen der Säulen.

  Lösung

  Wir erstellen zunächst für jedes Zeugnis eine Tabelle, in die wir eintragen, wie häufig eine Note auf dem Zeugnis vorkommt:

  Zeugnis 1

  $\begin{array}{c|c|c|c} \text{Note} & 1 & 2 & 3 \\ \hline \text{Anzahl} & 2 & 3 & 1 \end{array}$

  Zeugnis 2

  $\begin{array}{c|c|c|c} \text{Note} & 1 & 2 & 3 \\ \hline \text{Anzahl} & 1 & 2 & 3 \end{array}$

  Zeugnis 3

  $\begin{array}{c|c|c|c} \text{Note} & 1 & 2 & 3 \\ \hline \text{Anzahl} & 2 & 2 & 2 \end{array}$

  Zeugnis 4

  $\begin{array}{c|c|c|c} \text{Note} & 1 & 2 & 3 \\ \hline \text{Anzahl} & 1 & 3 & 2 \end{array}$

  Damit erhalten wir die hier abgebildeten Säulendiagramme.

• Ermittle die jeweiligen statistischen Kennzahlen.

  Tipps

  Du kannst zunächst eine Tabelle erstellen, in die du die jeweiligen Noten und die zugehörigen Anzahlen einträgst.

  Die Spannweite ist die Differenz zwischen dem Maximal- und Minimalwert.

  Die mittlere absolute Abweichung erhältst du wie folgt:

  1. Den Betrag der Differenz zwischen jeder Note und dem arithmetischen Mittel berechnen.
  2. Die Beträge mit der Anzahl der jeweiligen Note multiplizieren.
  3. Alle so entstandenen Produkte addieren.
  4. Summe durch die Gesamtzahl der Fächer teilen.

  Lösung

  Wir erstellen uns zunächst eine Tabelle mit den Noten und den zugehörigen Anzahlen:

  $\begin{array}{c|c} \text{Note} & \text{Anzahl} \\ \hline 1 & 2 \\ 2 & 4 \\ 3 & 4 \end{array}$

  Nun berechnen wir die Kennzahlen.

  arithmetisches Mittel

  Zunächst erweitern wir die Tabelle um eine Spalte, in die wir die Produkte der jeweiligen Noten und ihrer zugehörigen Anzahlen eintragen:

  $\begin{array}{c|c|c} \text{Note} & \text{Anzahl} & \text{Produkt} \\ \hline 1 & 2 & 1\cdot 2=2 \\ 2 & 4 & 2\cdot 4=8 \\ 3 & 4 & 3\cdot 4=12 \end{array}$

  Nun addieren wir die Produkte und teilen durch die Gesamtzahl der Noten bzw. die Anzahl der Fächer, also $10$:

  $(2+8+12):10=22:10=2,2$

  mittlere absolute Abweichung

  Diesmal brauchen wir die Beträge der Differenzen zwischen jeder Note und dem arithmetischen Mittel. Also erweitern wir die Tabelle um eine Spalte, in die wir diese Differenzen eintragen:

  $\begin{array}{c|c|c} \text{Note} & \text{Anzahl} & \text{Differenz} \\ \hline 1 & 2 & \vert 1-2,2\vert = 1,2 \\ 2 & 4 & \vert 2-2,2\vert = 0,2 \\ 3 & 4 & \vert 3-2,2\vert = 0,8 \end{array}$

  Die Beträge der Differenzen multiplizieren wir nun mit den jeweiligen Anzahlen der Noten. So erhalten wir eine weitere Spalte:

  $\begin{array}{c|c|c} \text{Note} & \text{Anzahl} & \text{Differenz} & \text{Produkt} \\ \hline 1 & 2 & \vert 1-2,2\vert = 1,2 & 1,2\cdot 2=2,4 \\ 2 & 4 & \vert 2-2,2\vert = 0,2 & 0,2\cdot 4=0,8 \\ 3 & 4 & \vert 3-2,2\vert = 0,8 & 0,8\cdot 4=3,2 \end{array}$

  Nun addieren wir die Produkte und teilen wieder durch $10$:

  $(2,4+0,8+3,2):10=6,4:10=0,64$

  Spannweite

  Die Spannweite ist die Differenz zwischen dem Maximal- und dem Minimalwert der Daten. Hier ist der größte Wert die Note $3$ und der kleinste Wert die Note $1$. Die Spannweite ist also:

  $3-1=2$

• Definiere die statistischen Kennzahlen.

  Tipps

  Hier siehst du ein Säulendiagramm zu einer Datensammlung. Das arithmetische Mittel ist mittels einer Linie und die Spannweite mittels einer Fläche gekennzeichnet.

  Lösung

  Die Statistik ist die Lehre von Methoden, mit denen quantitative Daten, die durch Beobachtungen, Messungen oder Befragungen gewonnen wurden, beurteilt werden können. Diese Daten können tabellarisch und graphisch dargestellt werden. Wesentliche statistische Kennzahlen, mit denen Datensammlungen beschrieben werden können, sind zum Beispiel das arithmetische Mittel, die Spannweite und die mittlere absolute Abweichung.

  Das arithmetische Mittel, auch Durchschnitt genannt, ist ein Lageparameter. Es gibt einen durchschnittlichen Wert der Daten an. In Klassenarbeiten wird zum Beispiel häufig die Durchschnittsnote angegeben. Mit Hilfe des arithmetischen Mittels lassen sich jedoch keine Rückschlüsse auf die Spannweite schließen. Wird die Durchschnittstiefe eines Flusses beispielsweise mit $0,53~\text{m}$ angegeben, kann der Eindruck entstehen, dass der Fluss insgesamt sehr flach ist. Eine Spannweite von $2,5~\text{m}$ ist aber dennoch möglich und zeigt, dass der Fluss an manchen Stellen deutlich tiefer ist.

  Die Spannweite sowie die mittlere absolute Abweichung sind Streuungsparameter, die die Variationsbreite einer Datensammlung beschreiben. Wir können diese wie folgt definieren:

  • Die Spannweite gibt die Differenz zwischen dem Maximal- und Minimalwert einer Datensammlung an.
  • Die mittlere absolute Abweichung gibt die durchschnittliche Abweichung vom Durchschnittswert wieder.

• Bestimme jeweils das arithmetische Mittel und die mittlere absolute Abweichung.

  Tipps

  Um das arithmetische Mittel zu bestimmen, musst du für jede einzelne Person die Anzahl ihrer Siege über die drei Jahre addieren und durch die Anzahl der betroffenen Jahre dividieren.

  Lösung

  Wir müssen nun für jede einzelne Person jeweils das arithmetische Mittel und die mittlere absolute Abweichung berechnen.

  • Um das arithmetische Mittel zu bestimmen, müssen wir für jede einzelne Person die Anzahl ihrer Siege über die drei Jahre addieren und durch die Anzahl der betroffenen Jahre dividieren.
  • Um die mittlere absolute Abweichung zu bestimmen, müssen wir für jede einzelne Person die Beträge der Differenzen zwischen ihren Siegen und dem arithmetischen Mittel addieren und durch die Anzahl der betroffenen Jahre dividieren.

  So erhalten wir folgende Werte:

  Anna

  Zunächst übertragen wir die Siege von Anna in eine Tabelle:

  $\begin{array}{c|c|c|c} \text{Jahr} & 2016 & 2017 & 2018 \\ \hline \text{Anzahl der Siege} & 8 & 5 & 10 \end{array}$

  Nun addieren wir alle Siege und teilen durch die Anzahl der Jahre, also $3$, um das arithmetische Mittel zu berechnen:

  $(8+5+10):3=23:3=7,\overline{6}\approx 7,67$

  Für die mittlere absolute Abweichung addieren wir die Beträge der Differenzen zwischen ihren Siegen und dem arithmetischen Mittel und dividieren die Summe wieder durch $3$:

  $(\vert 8-7,\overline{6}\vert+\vert 5-7,\overline{6}\vert +\vert 10-7,\overline{6}\vert ):3=5,\overline{3}:3=1,\overline{7}\approx 1,78$

  Ben

  Wir gehen genauso vor und erhalten das folgende arithmetische Mittel:

  $(3+2+3):3=2,\overline{6}\approx 2,67$

  Die mittlere absolute Abweichung ist:

  $(\vert 3-2,\overline{6}\vert+\vert 2-2,\overline{6}\vert +\vert 3-2,\overline{6}\vert ):3=1,\overline{3}:3=0,\overline{4}\approx 0,44$

  Leo

  Das arithmetische Mittel ist:

  $(4+7+3):3=4,\overline{6}\approx 4,67$

  Für die mittlere absolute Abweichung erhalten wir:

  $(\vert 4-4,\overline{6}\vert+\vert 7-4,\overline{6}\vert +\vert 3-4,\overline{6}\vert ):3=4,\overline{6}:3=1,\overline{5}\approx 1,56$

  Tim

  Wir erhalten das folgende arithmetische Mittel:

  $(5+6+4):3=5$

  Die mittlere absolute Abweichung ist:

  $(\vert 5-5\vert+\vert 6-5\vert +\vert 4-5\vert ):3=2:3=0,\overline{6}\approx 0,67$