Rechnen mit Matrizen

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Was ist eine Matrix?
• Spezielle Matrizen
• Rechnen mit Matrizen
• Die Addition von Matrizen
• Die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar
• Die Multiplikation von Matrizen
• Die Matrixmultiplikation ist im Allgemeinen nicht kommutativ
• Die Multiplikation allgemeiner Matrizen
• Die Multiplikation quadratischer Matrizen
• Die Multiplikation von Diagonalmatrizen
• Die Multiplikation mit der Einheitsmatrix
• Die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor

Was ist eine Matrix?

Ein solches rechteckiges Schema

$A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n} \\ a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n} \\ \vdots&\vdots&&\vdots \\ a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn} \\ \end{pmatrix}$

heißt Matrix. Dabei ist $m$ die Anzahl der Zeilen und $n$ die Anzahl der Spalten dieser Matrix. Entsprechend dieser Anzahlen ist die Ordnung der Matrix definiert. Die obige Matrix ist eine $[m\times n]$-Matrix.

Spezielle Matrizen

• Quadratische Matrizen sind Matrizen, welche die gleiche Anzahl an Zeilen wie an Spalten haben.
• Bei Diagonalmatrizen sind alle Elemente außer denen auf der Hauptdiagonale (von oben links nach unten rechts) gleich $0$. Die Diagonale, die von unten links nach oben rechts verläuft, heißt Nebendiagonale.

$\quad~~~D=\begin{pmatrix} a_{11}&0&\dots&0 \\ 0&\ddots&\ddots&\vdots \\ \vdots&\ddots&\ddots&0 \\ 0&\dots&0&a_{nn} \\ \end{pmatrix}$

• Die Einheitsmatrix ist eine spezielle Diagonalmatrix. Auf der Diagonalen stehen nur Einsen. Bei der Matrixmultiplikation ist $I$ das neutrale Element. Eine Matrix, die mit der Einheitsmatrix multipliziert wird, ändert sich nicht.

$\quad~~~I=\begin{pmatrix} 1&0&\dots&0 \\ 0&\ddots&\ddots&\vdots \\ \vdots&\ddots&\ddots&0 \\ 0&\dots&0&1 \\ \end{pmatrix}$

• Bei einer oberen Dreiecksmatrix sind alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen gleich $0$:

$\quad~~~D=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n} \\ 0&a_{22}&\dots&a_{2n} \\ \vdots&\ddots&\ddots&\vdots \\ 0&\dots&0&a_{nn} \\ \end{pmatrix}$

• Entsprechend sind bei einer unteren Dreiecksmatrix alle Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen $0$.

Rechnen mit Matrizen

Die Addition von Matrizen

Die Addition von Matrizen ist nur definiert, wenn diese von der gleichen Ordnung sind. Hierfür addierst du die einander entsprechenden Einträge der Matrizen.

Schaue dir hierfür ein Beispiel an:

$\quad~~~\begin{pmatrix} 1&3 \\ -1&2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 2&3 \\ 1&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1+2&3+3 \\ -1+1&2+1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3&6 \\ 0&3 \end{pmatrix}$

Die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar

Du kannst eine Matrix mit einem Skalar multiplizieren, indem du jeden Eintrag der Matrix mit dem Skalar multiplizierst:

$\quad~~~3\cdot \begin{pmatrix} 1&3 \\ -1&2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \cdot 1 & 3 \cdot 3 \\ 3 \cdot -1& 3 \cdot 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3&9 \\ -3&6 \end{pmatrix}$

Die Multiplikation von Matrizen

Um zwei Matrizen $A$ und $B$ miteinander zu multiplizieren, multiplizierst du jeden Zeilenvektor der linken Matrix mit jedem Spaltenvektor der rechten. Das bedeutet, dass die linke Matrix genauso viele Spalten haben muss wie die rechte Zeilen.

Die Multiplikation von Matrizen ($A\cdot B$) ist also nur definiert, wenn $A$ eine $[m\times n]$- und $B$ eine $[n\times k]$-Matrix ist. Die Ergebnismatrix $C=A\cdot B$ ist eine $[m\times k]$-Matrix.

Das hört sich jetzt vielleicht recht kompliziert an.

Wir üben dies einmal an einem Beispiel. Es wird eine $[2\times 3]$-Matrix mit einer $[3\times 4]$-Matrix multipliziert. Das Ergebnis ist eine $[2\times 4]$-Matrix.

$\quad~~\begin{pmatrix} 2&3&-2 \\ 1&1&2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1&3&-1&-1 \\ -1&2&3&2 \\ 0&1&-1&2 \end{pmatrix}$

Wir schauen uns erst einmal an, wie das Element in der ersten Zeile und ersten Spalte der Ergebnismatrix berechnet werden kann.

• Hierfür multiplizierst du die erste Zeile der linken Matrix mit der ersten Spalte der rechten:

$\quad~~~\begin{pmatrix} 2&3&-2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}= 2\cdot 1+3\cdot (-1)+(-2)\cdot 0=-1$

Ebenso können die übrigen Einträge in der ersten Zeile der Produktmatrix berechnet werden.

• Multipliziere nun die erste Zeile der linken Matrix mit der zweiten Spalte der rechten:

$\quad~~~\begin{pmatrix} 2&3&-2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}= 2\cdot 3+3\cdot 2+(-2)\cdot 1=10$

• Hier wird die erste Zeile der linken Matrix mit der dritten Spalte der rechten multipliziert:

$\quad~~~\begin{pmatrix} 2&3&-2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}= 2\cdot (-1)+3\cdot 3+(-2)\cdot (-1)=9$

• Nun wird die erste Zeile der linken Matrix mit der vierten Spalte der rechten multipliziert:

$\quad~~~\begin{pmatrix} 2&3&-2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}= 2\cdot (-1)+3\cdot 2+(-2)\cdot 2=0$

Damit ist die erste Zeile der Produktmatrix berechnet. Ebenso kannst du die zweite Zeile berechnen. Das Ergebnis siehst du hier:

$\quad~~~\begin{pmatrix} 2&3&-2 \\ 1&1&2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1&3&-1&-1 \\ -1&2&3&2 \\ 0&1&-1&2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1&10&9&0 \\ 0&7&0&5 \end{pmatrix}$

Die Matrixmultiplikation ist im Allgemeinen nicht kommutativ

Wenn die Matrixmultiplikation kommutativ wäre, dann müsste $A\cdot B=B\cdot A$ gelten.

Die Multiplikation allgemeiner Matrizen

Da die Multiplikation zweier Matrizen ($A\cdot B$) nur dann definiert ist, wenn die Spaltenzahl von $A$ der Zeilenzahl von $B$ entspricht, kann zum Beispiel bei dem obigen Beispiel die Reihenfolge nicht vertauscht werden.

Die Multiplikation quadratischer Matrizen

Wenn überhaupt, dann kann die Matrixmultiplikation nur kommutativ sein, wenn beide Matrizen quadratisch sind und die gleiche Ordnung besitzen.

Schauen wir uns auch hierfür ein Beispiel an:

$\quad~~~\begin{pmatrix} 2&3 \\ 1&1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1&3 \\ -1&2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1&12 \\ 0&5 \end{pmatrix}$ jedoch ist

$\quad~~~\begin{pmatrix} 1&3 \\ -1&2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2&3 \\ 1&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5&6 \\ 0&1 \end{pmatrix}$.

Du siehst, auch die Multiplikation von quadratischen Matrizen ist im Allgemeinen nicht kommutativ.

Die Multiplikation von Diagonalmatrizen

Die Matrixmultiplikation ist kommutativ, wenn beide Matrizen Diagonalmatrizen mit gleicher Ordnung sind.

Dies kannst du hier für $[2\times 2]$-Matrizen sehen:

$\quad~~~\begin{pmatrix} a&0 \\ 0&b \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} c&0 \\ 0&d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ac&0 \\ 0&bd \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} c&0 \\ 0&d \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a&0 \\ 0&b \end{pmatrix}$.

Die Multiplikation mit der Einheitsmatrix

Die Multiplikation einer beliebigen $[m\times m]$-Matrix mit der $[m\times m]$-Einheitsmatrix oder einem Vielfachen dieser Einheitsmatrix ist ebenfalls kommutativ.

Die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor

Du kannst auch eine Matrix mit einem Vektor multiplizieren. Hierfür muss die Spaltenzahl der Matrix übereinstimmen mit der Anzahl der Koordinaten des Vektors.

Allgemein kann dies so geschrieben werden: Wenn $A$ eine $[m\times n]$-Matrix und $\vec v$ ein Vektor mit $n$ Koordinaten sind, dann ist das Ergebnis wiederum ein Vektor $\vec w$. Dieser hat $m$ Koordinaten: $A\cdot \vec v=\vec w$.

Auch dies kannst du dir an einem Beispiel klarmachen. Die Multiplikation führst du ebenso durch wie bei der Matrixmultiplikation.

$\quad~~~\begin{pmatrix} 1&3&1&2 \\ -1&2&0&3\\ 2&3&1&-1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ -2\\ 1\\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 4\\ -6 \end{pmatrix}$