Kreise – Einführung

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Einführung
• Kreisfiguren (Mandalas)
• Konstruktion von Tangenten Nun lernst du, wie du eine Tangente an einen Kreis konstruieren kannst. Wir betrachten zwei verschiedene Fälle.
• Die Tangente verläuft durch einen vorgegebenen Punkt $B$ der Kreislinie.
• Die Tangente verläuft durch einen vorgegebenen Punkt $P$ außerhalb des Kreises.
• Gemeinsame Tangenten an zwei Kreisen

Einführung

Zunächst einmal klären wir, was ein Kreis ist und was eine Tangente ist. Ein Kreis ist ein zweidimensionales Objekt, das keine Ecken hat. Es besteht aus einem geschlossenen Kreisbogen, der die Eigenschaft hat, dass alle Punkte auf ihm den gleichen Abstand zum Mittelpunkt $M$ haben. Diesen Abstand nennt man Radius oder kurz $r$. Der Name „Tangente“ kommt vom lateinischen Wort „tangere“, das „berühren“ bedeutet. Eine Tangente ist also eine Gerade, die den Kreis an genau einem Punkt berührt. Daraus folgt eine wichtige Eigenschaft der Tangente: Wenn wir den Radius vom Mittelpunkt zu dem Punkt einzeichnen, in dem die Tangente den Kreis berührt, dann steht die Tangente immer senkrecht auf den Radius.

Kreisfiguren (Mandalas)

Der Name Mandala kommt aus dem Indischen und steht für „Kreis“. Eine alte indische Methode, um Konzentration und Ruhe zu finden. Wie zeichnest du ein Mandala? Du benötigst einen Zirkel, um einen Kreis zu zeichnen, sowie ein Geodreieck. Warum einen Zirkel? Na weil ein Mandala eine Kreisfigur ist. Die Konstruktion von Mandalas basiert auf Kreisen, die in gleichen Abständen zueinander in einen Kreis gezeichnet werden. Hier siehst du ein Mandala. Einzelne Flächen sind bereits ausgemalt. Du kannst nun dieses Mandala auf ein Blatt übertragen und auch noch die verbleibenden Flächen ausmalen:

Konstruktion von Tangenten Nun lernst du, wie du eine Tangente an einen Kreis konstruieren kannst. Wir betrachten zwei verschiedene Fälle.

Die Tangente verläuft durch einen vorgegebenen Punkt $B$ der Kreislinie.

• Verbinde den Mittelpunkt $M$ des Kreises $k$ mit dem Punkt $B$. Die Strecke $\overline{MB}$ entspricht dem Radius des Kreises.
• Fälle nun das Lot im Punkt $B$ auf die Gerade $g$, welche die Punkte $M$ und $B$ enthält.
• Das so gefundene Lot entspricht der gesuchten Tangente $t$.

Die Tangente verläuft durch einen vorgegebenen Punkt $P$ außerhalb des Kreises.

Um eine solche Tangente an einen Kreis zu konstruieren, gehst du wie folgt vor:

• Verbinde den Punkt $P$ mit dem Mittelpunkt $M$ des Kreises.
• Bestimme nun den Mittelpunkt $H$ der Strecke $\overline{MP}$.
• Zeichne einen Kreisbogen um $H$ mit dem Radius $\overline{HP}$.
• Dieser Kreisbogen schneidet den Ausgangskreis in zwei Schnittpunkten $T_{1}$ sowie $T_{2}$.

• Zuletzt verbindest du den Punkt $P$ mit jedem der beiden Schnittpunkte. So erhältst du die beiden Tangenten $t_{1}$ sowie $t_{2}$.

Gemeinsame Tangenten an zwei Kreisen

Du kannst auch gemeinsame Tangenten von zwei Kreisen konstruieren. Das ist allerdings etwas komplizierter, deshalb sehen wir uns hier nur an, wie die fertige Konstruktion aussieht. Du siehst hier zwei nebeneinander liegende Kreise. Der Abstand der beiden Mittelpunkte $M_{1}$ und $M_{2}$ ist größer als die Summe der beiden Radien. (Wenn das nicht der Fall ist, sich die Kreise also überschneiden, dann gibt es nur äußere Tangenten). Gestrichelt ist die Gerade eingezeichnet, auf welcher sich die beiden Mittelpunkte befinden. Symmetrisch zu dieser liegt jeweils ein Paar von Tangenten:

• Die beiden inneren Tangenten sind rot eingezeichnet. Der Schnittpunkt dieser beiden Tangenten liegt auf der gestrichelten Geraden.
• Die beiden äußeren Tangenten sind blau eingezeichnet. Auch deren Schnittpunkt liegt auf der gestrichelten Geraden.