Wurzelfunktionen – Kurvendiskussion
Definitionsbereich, Wertebereich, Nullstellen, Symmetrie, Extrema, Wendepunkte, Verhalten im Unendlichen, Schnittpunkt y-Achse, Sattelpunkte, Graph
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- Kurvendiskussion einer Wurzelfunktion
- Definitionsbereich
- Ableitungen
- Nullstellen
- Extrema
- Wendepunkte
- Skizze
Kurvendiskussion einer Wurzelfunktion
Im Folgenden wird die Kurvendiskussion einer Wurzelfunktion betrachtet. Dabei untersuchen wir die Funktion auf folgende Eigenschaften:
- Definitionsbereich
- Symmetrie
- Ableitungen
- Achsenschnittpunkte
- Extrema
- Wendepunkte
Anschließend fertigen wir anhand der ermittelten Eigenschaften eine Skizze des zugehörigen Funktionsgraphen an. Wir betrachten nun beispielhaft folgende Wurzelfunktion:
$f(x) = \sqrt{x} -x$
Definitionsbereich
Der Ausdruck unter einer Wurzel darf größer gleich Null sein. Demnach darf man für $x$ alle positiven reellen Zahlen und die Null einsetzen. Die Funktion $f$ besitzt also folgenden Definitionsbereich:
$D_f = \mathbb{R}^{+}_0$
Symmetrie
Zunächst untersuchen wir die Funktion auf Achsensymmetrie zur $y$-Achse. Hierzu muss $f(x)=f(-x)$ gelten. Wir setzen also in die Funktion $-x$ ein und überprüfen, ob die Bedingung erfüllt ist:
$f(-x)=\sqrt{-x}-(-x)=\sqrt{-x}+x\neq f(x)$
Demnach ist die betrachtete Wurzelfunktion nicht symmetrisch zur $y$-Achse. Sie ist auch nicht punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, da $f(x) \neq -f(-x)$ gilt.
Ableitungen
Die Ableitung einer Wurzelfunktion lässt sich leichter ermitteln, wenn man mit der Potenzschreibweise arbeitet. Für das Ableiten betrachten wir also folgende Funktion:
$f(x) = x^{\frac{1}{2}} - x$
Die erste Ableitung können wir nun nach den bekannten Regeln bilden:
$\begin{array}{lll} f'(x) &=& \frac{1}{2}x^{\frac{-1}{2}} - 1\\ &=& \frac{1}{2\sqrt{x}} - 1 \end{array}$
Die zweite Ableitung erhalten wir auf dieselbe Weise:
$\begin{array}{lll} f''(x) &=& -\frac{1}{4}\cdot x^\frac{-3}{2} \\ &=& -\frac{1}{4\sqrt{x^{3}}} \end{array}$
Wir können hier erkennen, dass die zweite Ableitung nicht $0$ werden kann. Somit ist schon mal ausgeschlossen, dass es einen Wendepunkt gibt. Eine dritte Ableitung wird also nicht gebraucht.
Nullstellen
Wir ermitteln die Nullstellen, indem wir die Funktionsgleichung mit $0$ gleichsetzen. Doch warum erhalten wir auf diese Weise die Nullstellen?
Die Nullstellen sind die $x$-Werte, bei denen der Funktionsgraph die $x$-Achse schneidet. In einem Schnittpunkt mit der $x$-Achse ist der zugehörige Funktionswert (also $y$-Wert) immer gleich $0$. Somit folgt für $f(x)=0$ folgende Gleichung:
$\begin{array}{lll} 0 &=&\sqrt{x} -x \\ 0 &=& \sqrt{x}\cdot \left(1-\sqrt{x}\right) \end{array}$
Laut dem Satz vom Nullprodukt ist ein Produkt genau dann $0$, wenn einer der Faktoren $0$ ist. Daraus folgt für den ersten Faktor:
$\begin{array}{lll} \sqrt{x} &=& 0 \\ x_1 &=& 0 \end{array}$
Mit dem zweiten Faktor erhalten wir:
$\begin{array}{llll} 1-\sqrt{x} &=& 0 & \vert +\sqrt{x} \\ 1 &=& \sqrt{x} & \\ 1 &=& x_2 & \\ \end{array}$
Wir erhalten also die beiden Nullstellen $N_{1} (0|0)$ und $N_{2} (1|0)$.
Extrema
Unter den Extrema verstehen wir die Hoch- und Tiefpunkte der Funktion. Diese können wir durch notwendige und hinreichende Kriterien bestimmen.
notwendiges Kriterium: $f'(x) = 0$
Sehen wir die erste Ableitung als Steigung der Tangente in einem Punkt der Funktion, so hat sie in den Extremstellen eine Steigung von $0$ und verläuft somit parallel zur $x$-Achse.
$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}} - 1 = 0$
Durch Umformen erhalten wir:
$\begin{array}{llll} 2\cdot\sqrt{x} &=& 1 & \vert :2\\ \sqrt{x} &=& \frac{1}{2} & \\ x &=& \frac{1}{4} & \end{array}$
hinreichendes Kriterium: $f''(x)\neq{0}$
$f''(\frac{1}{4}) = -\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{\sqrt{(\frac{1}{4})^{3}}} = -2$
Da $-2\lt0$, handelt es sich um einen Hochpunkt mit der $x$-Koordinate $\frac{1}{4}$.
Die $y$-Koordinate errechnen wir durch Einsetzen des $x$-Wertes in die Ausgangsfunktion:
$f(\frac{1}{4})=\sqrt{\frac{1}{4}} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$
Die Funktion $f$ besitzt somit einen Hochpunkt bei $\text{H}_\text{P}(\frac{1}{4}|\frac{1}{4})$.
Wendepunkte
Ein Wendepunkt ist die Stelle eines Graphen, in dem er sein Krümmungsverhalten ändert. Die notwendige Bedingung für die Existenz eines Wendepunktes ist $f''(x)=0$. Da die zweite Ableitung der hier betrachteten Wurzelfunktion stets ungleich Null ist, ist die Existenz eines Wendepunktes ausgeschlossen.
Skizze
Wir tragen die ermittelten markanten Punkte (Nullstellen und Hochpunkt) in das Koordinatensystem ein und beachten den Grenzwert für $x\rightarrow\infty$.
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