Volumen von Kegeln – Übung

Volumen von Kegeln – Übung Übung

• Benenne die in der Skizze gesuchten Angaben im Kegel.

  Tipps

  Überlege, welche der Begriffe du bereits von Kreisen oder Dreiecken kennst.

  Welche Größe muss der gesuchte Winkel in einem geraden Kreiskegel immer haben?

  Lösung

  Die Grundfläche des Kegels ist kreisförmig und bezeichnet eine bestimmte Begrenzungsfläche. Im Regelfall findest du in einer Zeichnung die Grundfläche von Körpern stets unten, also die Fläche, auf der die Figur steht.

  Da die Grundfläche ein Kreis ist, bezeichnet man die Strecke vom Kreis-Mittelpunkt zur Kreislinie als den Radius $r$.

  Die vom Mittelpunkt zur Kegelspitze führende Strecke bezeichnet man als die Höhe $h$. Sie gibt an, wie hoch der Kegel insgesamt ist.

  Die Höhe des geraden Kreiskegels steht immer senkrecht zur Grundfläche, daher ist der gesuchte Winkel ein rechter Winkel, also $90°$ groß.

• Berechne die gesuchte Höhe.

  Tipps

  Welche Größe ist gesucht?

  Betrachte eine Seite des Querschnitts des gesamten Kegels, um $r_{b}$ zu berechnen.

  Lösung

  Wir schauen uns den Lösungsweg ganz ausführlich an. Um zu bestimmen, wie tief gebaggert werden darf, müssen wir die Höhe des entfernten (blauen) Kegels berechnen. Also stellen wir als Erstes die Volumenformel des entfernten Kegels nach der gesuchten Höhe $h_{b}$ um.

  $ \begin{align*} V_{b} &=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot r_{b}^{2}\cdot h_{b} ~~~~~ |:\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot r_{b}^{2} \\ h_{b} &=\frac{3\cdot V_{b}}{\pi\cdot r_{b}^{2}} \end{align*} $

  Doch wie groß ist $r_{b}$?

  Wir ersetzen den Radius $r_{b}$ des ausgehobenen Kegels durch die Betrachtung des Querschnitts vom gesamten Kegel (siehe Bild):

  Der zweite Strahlensatz besagt, dass das Verhältnis von $r$ zu $h$ dem Verhältnis von $r_{b}$ zu $h_{b}$ entspricht. Also können wir folgende Gleichung nach $r_{b}$ umstellen:

  $ \begin{align*} \frac{r_{b}}{h_{b}}&=\frac{r}{h} &|& \cdot h_{b} \\ r_{b}&=\frac{r}{h}\cdot h_{b} \end{align*} $

  $r_{b}=\frac{r}{h}\cdot h_{b}$

  Dies setzen wir nun für $r_{b}$ in die Formel

  $h_{b}=\frac{3\cdot V_{b}}{\pi\cdot r_{b}^{2}}$

  ein und erhalten durch weitere Umformungen:

  $ \begin{align*} h_{b}&=\frac{3\cdot V_{b}}{\pi\cdot (\frac{r}{h}\cdot h_{b})^{2}} \\ h_{b}&=\frac{3\cdot V_{b}}{\pi\cdot \frac{r^{2}}{h^{2}}\cdot h_{b}^{2}} \\ h_{b}&=\frac{3\cdot V_{b}\cdot h^{2}}{\pi\cdot r^{2}\cdot h_{b}^{2}} &|& \cdot h_{b}^{2} \\ h_{b}^{3}&=\frac{3\cdot V_{b}\cdot h^{2}}{\pi\cdot r^{2}} \end{align*} $

  Bevor wir die dritte Wurzel ziehen, setzen wir die Zahlen ein.

  $ \begin{align*} h_{b}^{3}&=\frac{3\cdot 30~m^{3}\cdot 36~m^{2}}{\pi\cdot 49~m^{2}} \\ h_{b}^{3}&=\frac{3240~m^{5}}{\pi\cdot 49~m^{2}} \\ h_{b}^{3} &\approx 21,05~m^{3} &|& \sqrt[3]{~~~} \\ h_{b} &\approx 2,76~m \approx 2,80~m \end{align*} $

  Antwort: Will der Bagger $30~m^{3}$ Sand entnehmen, muss er etwa $2,80~m$ von der Spitze entfernen.

• Berechne das Volumen des Sandhaufens.

  Tipps

  Welche Angaben benötigst du, um das Volumen des Sandhaufens zu berechnen?

  Der Durchmesser $d$ ist immer doppelt so lang wie der Radius $r$.

  Achte auf die Maßeinheiten.

  Lösung

  Wir berechnen das Volumen des Sandhaufens der Firma Zemti und vergleichen diesen dann mit dem Volumen des bereits berechneten Sandhaufens $V_{1}=308~m^{3}$.

  Der Durchmesser des Sandhaufens beträgt $d_{2}=10~m$. Halbieren wir diesen, so erhalten wir den Radius $r_{2} = 5~m$.

  Nun setzen wir die Höhe $h_{2} = 10~m$ und den Radius $r_{2} = 5~m$ in die Formel zur Berechnung von Volumina von Kegeln ein und berechnen so das Volumen.

  $ V=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot r^{2}\cdot h = \frac{1}{3}\cdot\pi\cdot(5~m)^{2}\cdot10~m=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot25~m^{2}\cdot10~m=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot250~m^{3}\approx262~m^{3} $

  Der Sandhaufen vom Zementwerk Zemti enthält $262~m^{3}$ Sand. Somit hat der Leiter von Zemti unrecht, da sein Sandhaufen kleiner als $308~m^{3}$ ist.

• Gib die fehlenden Werte des Kegels an.

  Tipps

  Stelle die allgemeine Volumengleichung für Kegel jeweils nach den gesuchten Größen um.

  In welchem Verhältnis stehen Radius und Durchmesser zueinander?

  Achte auf die Maßeinheiten.

  Lösung

  Um uns die Rechenarbeit zu erleichtern, formen wir zunächst die allgemeine Volumenformel für Kegel nach allen Variablen einmal um.

  Fangen wir an mit der Umformung nach $h$:

  $ \begin{align*} V&=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot r^{2}\cdot h &|& \cdot 3 \\ 3 \cdot V&=\pi\cdot r^{2}\cdot h &|& :\pi \\ \frac{3\cdot V}{\pi}&= r^{2}\cdot h &|& :r^{2} \\ \frac{3\cdot V}{\pi\cdot r^{2}}&=h \end{align*} $

  Umformung nach $r$:

  $ \begin{align*} V&=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot r^{2}\cdot h &|& \cdot3 \\ 3\cdot V&=\pi\cdot r^{2}\cdot h &|& :\pi \\ \frac{3\cdot V}{\pi}&= r^{2}\cdot h &|& :h \\ \frac{3\cdot V}{\pi\cdot h}&=r^{2} &|& \sqrt{~~~} \\ \sqrt{\frac{3\cdot V}{\pi\cdot h}}&=r \end{align*} $

  Beachte: Den negativen Wert $r= - \sqrt{\frac{3\cdot V}{\pi\cdot h}}$ können wir außer Acht lassen, da keine negativen Radien existieren.

  Der Durchmesser $d$ ist doppelt so lang wie der Radius $r$: $d=2 \cdot r$.

  Umgestellt nach $r$ ergibt das: $r=\frac{d}{2}$

  Nun können wir unter Berücksichtigung der Maßeinheiten einfach die Werte jeweils in die Formeln einsetzen und berechnen.

  Kegel $1$:

  $ \begin{align*} r&=\frac{46~cm}{2}=23~cm \\ V&=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot (23~cm)^{2}\cdot 25~cm=13849~cm^{3} \end{align*} $

  Kegel $2$:

  $ \begin{align*} h&=\frac{3\cdot 324~m^{3}}{\pi\cdot (1~m)^{2}}=309~m \\ d&=2 \cdot 1~m = 2~m \end{align*} $

  Kegel $3$:

  $ \begin{align*} r&=\sqrt{\frac{3\cdot 520~dm^{3}}{\pi\cdot 36~dm}}=4~dm \\ d&=2\cdot 4~dm=8~dm \\ \end{align*} $

  Kegel $4$:

  $ \begin{align*} d&=2\cdot 32~cm = 64~cm \\ h&=6~dm=60~cm \\ V&=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot (32~cm)^{2}\cdot 60~cm=64340~cm^{3} \end{align*} $

• Gib an, welche Alltagsgegenstände näherungsweise die Form der geometrischen Figuren besitzen.

  Tipps

  Skizziere die Formen von Quader und Kegel und vergleiche sie mit den Bildern.

  Bedenke, dass die Alltagsgegenstände nur näherungsweise die gesuchte Form haben, also denke dir alles unnötige Drumherum weg.

  Suche gezielt nach markanten Merkmalen der geometrischen Figuren.

  Die Formen können auch ihre Ausrichtung geändert haben, z.B. kann der Kegel mit der Spitze nach unten zeigen.

  Lösung

  Der Quader besteht aus sechs rechteckigen Flächen und hat ausschließlich rechte Winkel. Also suchen wir in den Bildern nach drei sichtbaren Rechtecken, die dies erfüllen und finden: das Hochhaus, den Milchkarton und das Mathe-Buch.

  Ein markantes Merkmal des Kegels ist seine Spitze. Im Unterschied zur Pyramide ist die Grundfläche des Kegels stets ein Kreis. Wir suchen also nach spitzen Gegenständen mit einem kreisförmigen Ende und finden: die Schultüte, das Indianerzelt und den Zauberhut.

• Berechne das Volumen und den Prozentanteil.

  Tipps

  Wie groß ist der Radius des Glas-Kegels und des Sekt-Kegels?

  Um den Radius des Sekt-Kegels zu bestimmen, benötigst du den zweiten Strahlensatz.

  Es gilt $\frac{G}{100}=\frac{W}{p}$.

  Gesucht ist der Prozentsatz.

  $1~cm^{3}$ entspricht $1~ml$.

  Lösung

  Das Sektglas hat einen Durchmesser von $d = 5~cm$, folglich einen Radius von $r = 2,5~cm$. Die Höhe ist gegeben durch $h = 12,5~cm$. Somit können wir das Gesamtvolumen des Glases berechnen:

  $\begin{align} V_{G} &=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot(2,5~cm)^{2}\cdot12,5~cm\\ &\approx 82~cm^{3} \end{align}$

  Ein Kubikzentimeter entspricht einem Millimeter, also ist $ V_{G} = 82~cm^{3} = 82~ml $.

  Um das Volumen des mit Sekt befüllten Kegels zu berechnen, müssen wir den Radius $r_{S}$ des Sektkegels herausfinden. Dafür nutzen wir den zweiten Strahlensatz.

  Das Verhältnis von $r$ zu $h$ entspricht dem Verhältnis von $r_S$ zu $h_S$. Durch Umformen erhalten wir eine Gleichung für $r_S$.

  $ \begin{align*} \frac{r}{h}&=\frac{r_{S}}{h_{S}} &|& \cdot h_{S} \\ \frac{r}{h}\cdot h_{S}&= r_{S} \end{align*} $

  Durch das Einsetzen der gegebenen Werte erhalten wir für $ r_{S}$:

  $r_{S}=\frac{2,5~cm}{12,5~cm}\cdot 10~cm=\frac{25~cm^{2}}{12,5~cm}=2~cm$

  Nun können wir das Volumen des Sekt-Kegels berechnen:

  $ V_{S}=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot(2~cm)^{2}\cdot 10~cm = 42~cm^{3}=42~ml$

  Es sind $42~ml$ Sekt im Glas enthalten.

  Wie viel Prozent sind $42~ml$ von insgesamt $82~ml$?

  Dafür nutzen wir die Formel für Prozentrechnung und stellen sie nach dem gesuchten Prozentsatz $p$ um:

  $ \begin{align*} \frac{G}{100}&=\frac{W}{p} &|& \cdot p \\ \frac{G}{100}\cdot p&=W &|& \cdot \frac{100}{G} \\ p&=W\cdot\frac{100}{G} \end{align*} $

  $G$ steht für den Grundwert, in unserem Fall ist der Grundwert das Volumen des gesamten Sektglases $V_{G}=82~ml$. $W$ steht für den Prozentwert und entspricht in unserer Aufgabe dem Sekt-Volumen $V_{S}= 42~ml$. Durch das Einsetzen dieser Werte erhalten wir den gesuchten Prozentsatz:

  $p=42~ml\cdot\frac{100}{82~ml}\approx 51~\%$.

  $42~ml$ Sekt in einem $82~ml$ großen Glas entspricht somit $51~\%$.