Verwenden eines Maßstabes

Verwenden eines Maßstabes Übung

• Beschreibe, wie ein Maßstab angegeben wird.

  Tipps

  Ein typischer Maßstab einer Landkarte ist $1:100\,000$.

  Hier siehst du ein verkleinertes Bild.

  Lösung

  Mit einem Maßstab können wir Strecken aus der Wirklichkeit auf einem Bild verkleinern oder vergrößern. Wir geben dabei das Verhältnis von der Bildstrecke zur Originalstrecke als Maßstab an.

  Verkleinerung:
  Um große Entfernungen zum Beispiel auf einer Landkarte darstellen zu können, müssen wir sie verkleinern. Dazu verwenden wir den Maßstab.

  Ein Maßstab einer Landkarte lautet zum Beispiel:
  $1:10\,000$
  Das bedeutet: $1~\text{cm}$ auf der Karte entspricht in Wirklichkeit $10\,000~\text{cm} = 100~\text{m}$.

  Bei einer Verkleinerung steht im Maßstab vor dem : immer eine 1.

  Vergrößerung:
  Um kleine Gegenstände auf einem Bild genauer darstellen zu können, müssen wir sie vergrößern. Dazu verwenden wir den Maßstab.

  Ein Maßstab für die Zeichnung einer Pflanze lautet zum Beispiel:
  $5:1$
  Das bedeutet: $5~\text{cm}$ auf dem Bild entsprechen in Wirklichkeit $1~\text{cm}$.

  Bei einer Vergrößerung steht im Maßstab nach dem : immer eine 1.

• Gib die Bedeutung des Maßstabes an.

  Tipps

  Um die richtigen Zusammenhänge auszuwählen, musst du wissen, wie man Längen umrechnet. Zum Beispiel gilt:

  $1~\text{km} = 1\,000~\text{m}$

  $1~\text{m} = 100~\text{cm}$

  Der Maßstab $1:50\,000$ bedeutet:

  $1~\text{cm} ≙ 50\,000~\text{cm} $

  Lösung

  Ein Maßstab gibt das Verhältnis von der Bildstrecke zur Originalstrecke an. Wir können mithilfe eines passenden Maßstabs die Wirklichkeit vergrößert oder verkleinert abbilden.

  Wir betrachten den gegebenen Maßstab $1:100\,000$:

  Dies bedeutet: $1~\text{cm}$ in der Zeichnung entspricht in Wirklichkeit $100\,000~\text{cm} $.
  Wir schreiben:
  $1~\text{cm} ≙ 100\,000~\text{cm}$

  Um diese Angabe anzupassen, müssen wir wissen, wie wir Längeneinheiten ineinander umwandeln. Es gilt:

  • $1~\text{km} = 1\,000~\text{m}$
  • $1~\text{m} = 100~\text{cm}$
  • $1~\text{km} = 100\,000~\text{cm}$

  Folgende Angaben sind somit richtig:

  $1~\text{cm} ≙ 100\,000~\text{cm} $
  $1~\text{cm} ≙ 1~\text{km} $
  $5~\text{cm} ≙ 5~\text{km} $

  Folgende Angaben sind falsch:

  $100\,000~\text{cm} ≙ 1~\text{km} \quad \mapsto$ Hierbei handelt es sich um eine Vergrößerung.
  $5~\text{cm} ≙ 500~\text{m} \quad \mapsto$ Hier wurde nicht richtig umgerechnet.
  $5~\text{cm} ≙ 1~\text{km} \quad \mapsto$ Hier passen die beiden Größen nicht zum Maßstab.

• Berechne jeweils die gesuchte Größe in Wirklichkeit.

  Tipps

  Je nachdem, ob es sich um eine Verkleinerung oder eine Vergrößerung handelt, musst du die Bildgröße mit der größeren Zahl im Maßstab multiplizieren oder dividieren. Anschließend musst du noch die Längeneinheit anpassen.

  Lösung

  Wir verwenden den Maßstab, um die Länge der Strecken in Wirklichkeit zu ermitteln. Dazu notieren wir die Angaben im Maßstab zunächst in $\text{cm}$ und passen das Verhältnis dann mittels des Dreisatzes so an, dass wir auf der linken Seite die gegebene Bildgröße stehen haben. Die Originalgröße können wir dann auf der rechten Seite ablesen und ggf. noch in die passende Einheit umwandeln.

  Das Haus:
  Maßstab: $1:200 \quad \mapsto$ Verkleinerung
  $1~\text{cm} ≙ 200~\text{cm} $
  $4~\text{cm} ≙ 800~\text{cm} $
  $800~\text{cm} = 8~\text{m}$
  Das Haus ist $8~\text{m} $ hoch.

  Die Landkarte:
  Maßstab: $1:2\,500\,000 \quad \mapsto$ Verkleinerung
  $1~\text{cm} ≙ 2\,500\,000~\text{cm} $
  $4~\text{cm} ≙ 10\,000\,000~\text{cm} $
  $10\,000\,000~\text{cm} = 100~\text{km}$
  Die Entfernung beträgt $100~\text{km} $.

  Der Floh:
  Maßstab: $10:1 \quad \mapsto$ Vergrößerung
  $10~\text{mm} ≙ 1~\text{mm} $
  $30~\text{mm} ≙ 3~\text{mm} $
  Der Floh ist $3~\text{mm} $ groß.

  Der LKW:
  Maßstab: $1:75 \quad \mapsto$ Verkleinerung
  $1~\text{cm} ≙ 75~\text{cm} $
  $4~\text{cm} ≙ 300~\text{cm} $
  $300~\text{cm} = 3~\text{m}$
  Der LKW ist $3~\text{m} $ hoch.

• Bestimme den verwendeten Maßstab.

  Tipps

  Passe zunächst die beiden Angaben so an, dass beide die gleiche Einheit haben.

  Beispiel:

  $2~\text{cm}$ entsprechen $100~\text{m}$

  $2~\text{cm}$ entsprechen $10\,000~\text{cm}$

  $1~\text{cm}$ entspricht $5\,000~\text{cm}$

  Maßstab: $1:5\,000$

  Lösung

  Wir geben den Maßstab an, indem wir die beiden gegebenen Größen in Beziehung setzen: Wir schreiben dazu immer als erstes die Bildgröße und als zweites die Originalgröße auf. Anschließend wandeln wir die Größen so um, dass beide Größen die gleiche Einheit tragen. Wir dividieren dann beide Größen durch die gleiche Zahl, sodass eine der beiden Größen eine $1$ und die andere Größe eine Zahl größer als $1$ ist. Den Maßstab können wir dann ohne Einheiten angeben.

  Beispiel 1: $4~\text{cm}$ entsprechen $10~\text{m}$
  Umwandeln der Einheit: $\quad 4~\text{cm}$ entsprechen $1\,000~\text{cm} $
  Dividieren durch $4$: $~~~ \qquad 1~\text{cm}$ entspricht $250~\text{cm} \qquad$.
  Einheiten weglassen: $~~~ \quad$ Maßstab: $1:250$

  Beispiel 2: $12~\text{cm}$ entsprechen $42~\text{km}$
  Umwandeln der Einheit: $\quad 12~\text{cm}$ entsprechen $4\,200\,000~\text{cm}$
  Dividieren durch $12$: $~~ \qquad 1~\text{cm}$ entspricht $350\,000~\text{cm}$
  Einheiten weglassen: $~~~ \quad$ Maßstab: $1:350\,000$

  Beispiel 3: $12,5~\text{cm}$ entsprechen $0,5~\text{mm} $
  Umwandeln der Einheit: $\quad 12,5~\text{cm}$ entsprechen $0,05~\text{cm}$
  Multiplizieren mit $20$: $~ \qquad 250~\text{cm}$ entsprechen $1~\text{cm}$
  Einheiten weglassen: $~~~ \quad$ Maßstab: $250:1$

  Beispiel 4: $1,5~\text{cm}$ entsprechen $60~\text{km}$.
  Umwandeln der Einheit: $\quad 1,5~\text{cm}$ entsprechen $6\,000\,000~\text{cm}$.
  Dividieren durch $1,5$: $ \qquad 1~\text{cm}$ entspricht $4\,000\,000~\text{cm}$.
  Einheiten weglassen: $~~~ \quad$ Maßstab: $1:4\,000\,000$

  Beispiel 5: $10~\text{cm}$ entsprechen $0,2~\text{cm}$.
  Multiplizieren mit $5$: $~~~ \qquad 50~\text{cm}$ entsprechen $1~\text{cm}$.
  Einheiten weglassen: $~~~ \quad$ Maßstab: $50:1$

• Stelle die Länge in der vorgegebenen Einheit dar.

  Tipps

  $1~\text{km} = 1\,000~\text{m}$

  $1~\text{m} = 100~\text{cm}$

  Du kannst auch Zwischenergebnisse bestimmen. Wandle Zentimeter zum Beispiel zuerst in Meter um und dann in Kilometer.

  Lösung

  Mit einem Maßstab können wir Strecken aus der Wirklichkeit auf einem Bild verkleinern oder vergrößern. Wir geben dabei ein Verhältnis von der Bildstrecke zur Originalstrecke an. Um mit einen Maßstab richtig angeben und verstehen zu können, müssen wir Längeneinheiten umwandeln können.

  Es gilt:

  • $1~\text{km} = 1\,000~\text{m}$
  • $1~\text{m} = 100~\text{cm}$
  • $1~\text{km} = 100\,000~\text{cm}$

  Damit ergeben sich folgende Lösungen:

  • $10\,000~\text{cm} = 100~\text{m}$
  • $100\,000~\text{cm} = 1\,000~\text{m} = 1~\text{km}$
  • $10~\text{m} = 1\,000~\text{cm}$

• Ermittle die Bedeutung des jeweiligen Maßstabes.

  Tipps

  Du kannst einen Maßstab immer zunächst so umwandeln:

  $1:10\,000$

  $1~\text{cm}$ entspricht $10\,000~\text{cm}$

  Passe dann die Längeneinheiten entsprechend an.

  Lösung

  Wir verwenden den Maßstab und passen die Längeneinheiten entsprechend an, um die gesuchten Größen zu ermitteln.

  Beispiel 1:
  Maßstab $1:350\,000$
  $1~\text{cm}$ auf der Karte entspricht $350\,000~\text{cm}$ in Wirklichkeit.
  $6~\text{cm}$ auf der Karte entsprechen $2\,100\,000~\text{cm}$ in Wirklichkeit.
  $6~\text{cm}$ auf der Karte entsprechen $\bf{21}~\text{km}$ in Wirklichkeit.

  Beispiel 2:
  Maßstab $5\,000:1$
  $5\,000~\text{cm}$ auf dem Bild entsprechen $1~\text{cm}$ in Wirklichkeit.
  $15\,000~\text{cm}$ auf dem Bild entsprechen $3~\text{cm}$ in Wirklichkeit.
  $15~\text{cm}$ auf dem Bild entsprechen $0,003~\text{cm}$ in der Wirklichkeit.
  $\bf{15}~\text{cm}$ auf dem Bild entsprechen $0,03~\text{mm}$ in der Wirklichkeit.

  Beispiel 3:
  Maßstab $1:150\,000$
  $1~\text{cm}$ auf der Karte entspricht $150\,000~\text{cm}$ in Wirklichkeit.
  $1~\text{cm}$ auf der Karte entsprechen $1,5~\text{km}$ in Wirklichkeit.
  $\bf{5}~\text{cm}$ auf der Karte entsprechen $7,5~\text{km}$ in Wirklichkeit.

  Beispiel 4:
  Maßstab $24:1$
  $24~\text{cm}$ auf dem Bild entsprechen $1~\text{cm}$ in Wirklichkeit.
  $\bf{12}~\text{cm}$ auf dem Bild entsprechen $0,5~\text{cm}$ in Wirklichkeit.