Binomische Formeln – Anwendung

Binomische Formeln – Anwendung Übung

• Beschreibe, wie man die binomische Formel löst.

  Tipps

  Die binomischen Formeln lauten:

  (1) ${(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$

  (2) ${(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$

  (3) ${(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$

  Lösung

  Die binomischen Formeln lauten:

  (1) ${(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$

  (2) ${(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$

  (3) ${(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$

  Auflösen der binomischen Formel

  Um die binomischen Formeln in Terme umzuformen, muss die exakte Form gegeben sein.

  Hierfür ist es ganz wichtig, die binomischen Formeln gut zu kennen.

  Wenn wir binomische Formeln in Termen wiedererkennen, können wir das nutzen, um Terme umzuformen.

  Beispiel: $(3+2x)^2 = 3^2~+~2\cdot3\cdot2x~+~2x^2 = 9+12x+4x^2$

  Bei dieser Aufgabe wird die erste binomische Formel in den entsprechenden Klammerterm aufgelöst.

  Die Zahl $3$ entspricht $a$ und $2x$ entspricht dem $b$ in der Formel. Dementsprechend werden die Terme eingesetzt und vereinfacht.

• Vereinfache den Term mithilfe der binomischen Formel.

  Tipps

  Die binomischen Formeln lauten:

  (1) ${(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$

  (2) ${(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$

  (3) ${(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$

  Lösung

  Die binomischen Formeln lauten:

  (1) ${(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$

  (2) ${(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$

  (3) ${(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$

  Vereinfachen des Terms:

  Aufgabe: $(x-3)^2$

  Um den Term zu vereinfachen, musst du zunächst die Struktur der binomischen Formel erkennen. Die Rechenzeichen geben dir einen ersten Anhaltspunkt, hier findest du das Minus in der Klammer. Daher handelt es sich um die zweite binomische Formel.

  $x$ ist also $a$ und $3$ ist $b$.

  Nach dem Einsetzen erhältst du:

  $(x-3)^2 = x^2-2\cdot{x}\cdot3+3^2 = x^2-6x+9 $

• Überprüfe, ob die binomischen Formeln korrekt angewendet wurden.

  Tipps

  Überprüfe die Formeln auf ihre Richtigkeit. Sie müssen die exakte Struktur haben. Sie lauten:

  (1) ${(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$

  (2) ${(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$

  (3) ${(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$

  Achte auf die Rechenzeichen: Auch sie müssen genau übereinstimmen!

  Lösung

  Lösungen der Klammerterme

  Um in die binomischen Formeln einsetzen zu können, muss die Struktur genau stimmen und man muss sie gut kennen, um sie anzuwenden. Sie lauten:

  (1) ${(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$

  (2) ${(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$

  (3) ${(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$

  Überprüfe die Rechnungen

  Um hier den Fehler zu entdecken, musst du die Rechnung mit der korrekten Formel vergleichen. Achte auf die richtigen Zahlen und Rechenzeichen.

  Diese Rechnungen sind falsch:

  • ${(x+5)^2=x^2+10x~{\color{red}-}~25}$

  Hier ist das Rechenzeichen vor der $25$ nicht korrekt, es gehört ein Pluszeichen hin. Die Lösung lautet:

  ${x^2+10x~{\color{green}+}~25}$

  • ${(x-6)(x+6)=x^2~{\color{red}+}~36}$

  Bei dieser Rechnung wurde falsch in die Formel eingesetzt. Hier stimmt das Pluszeichen nicht, es gehört ein Minuszeichen hin. Die Lösung lautet:

  ${x^2~{\color{green}-}~36}$

  • ${(2x+4y)(2x-4y)=4x^2-~{\color{red}8}~y^2}$

  In dem Fall wurde falsch ausmultipliziert. In der Formel steht ${b^2}$, daher ist die Lösung:

  ${4x^2-~{\color{green}1}{\color{green}6}~y^2}$

  Diese Rechnung ist korrekt:

  • ${(x+7)^2 = x^2+14x+49}$

• Forme die Terme mithilfe der binomischen Formeln um.

  Tipps

  Setze die Werte exakt in die binomischen Formeln ein, dann erhälst du die Klammerterme.

  Beispiel:

  ${(a+3)^2=a^2+2 \cdot a \cdot 3+3^2=a^2+6a+9}$

  Die binomischen Formeln lauten:

  (1) ${(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$

  (2) ${(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$

  (3) ${(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$

  Lösung

  Lösungen der Klammerterme

  Um in die binomischen Formeln einsetzen zu können, muss die Struktur genau stimmen und man muss sie gut kennen, um sie anzuwenden. Sie lauten:

  (1) ${(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$

  (2) ${(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$

  (3) ${(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$

  Die korrekten, ausführlichen Lösungen sind:

  Erste binomische Formel:

  ${(2+a)^2=2^2+2 \cdot 2 \cdot a + a^2 =4+4a+a^2}$

  Zweite binomische Formel:

  ${(2-a)^2=2^2- 2 \cdot 2 \cdot a + a^2=4-4a+a^2}$

  ${(a-2a)^2=a^2 - 2 \cdot a \cdot 2a +(2a)^2 =a^2-4a^2+4a^2=a^2}$

  ${(a-2)^2=a^2-2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 =a^2-4a+4}$

  Dritte binomische Formel:

  ${(a-2)(a+2)=a^2-2^2=a^2-4}$

• Berechne die Aufgabe mithilfe der binomischen Formel.

  Tipps

  Hier wird die dritte binomische Formel angewendet.

  Die dritte binomische Formel lautet:

  ${(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$

  Lösung

  Um diese Aufgabe zu lösen, benötigt man die dritte binomische Formel. Sie lautet:

  ${(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$

  Die Zahl $4$ entspricht hier dem $a$ und das $x$ entspricht dem $b$.

  Somit setzt man wie folgt in die Formel ein:

  ${(4+x)(4-x)=4^2-x^2=16-x^2}$

• Ermittle aus der Formel den Klammerterm.

  Tipps

  Hier wird die dritte binomische Formel in einen Klammerterm umgewandelt.

  Die dritte binomische Formel lautet:

  ${a^2-b^2=(a)^2-(b)^2=(a+b)(a-b)}$

  Bedenke, dass die Umwandlung von zum Beipiel ${49x^2}$ sowohl die 49 als auch die ${x^2}$ betreffen. Die Lösung lautet hier ${7^2x^2}$.

  Lösung

  Ermittlung des Klammerterms

  In dieser Aufgabe musstest du den Klammerterm zurück in die dritte binomische Formel umformen. Dazu muss die Struktur der binomischen Formel exakt gegeben sein. Dann kannst du die Werte in die Formel einsetzen und erhältst das Ergebnis.

  Die dritte binomische Formel lautet:

  ${a^2-b^2=(a)^2-(b)^2=(a+b)(a-b)}$

  Korrekte Reihenfolge des ersten Terms:

  ${9x^2-25y^2=3^2x^2-5^2y^2=(3x)^2-(5y)^2=(3x+5y)\cdot(3x-5y)}$

  Korrekte Reihenfolge des zweiten Terms:

  ${16x^2-64y^2=4^2x^2-8^2y^2=(4x)^2-(8y)^2=(4x+8y)\cdot(4x-8y)}$