Bedingte Wahrscheinlichkeit – Beispielaufgabe

Bedingte Wahrscheinlichkeit – Beispielaufgabe Übung

• Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse.

  Tipps

  In den Klammern steht eine Beschreibung des Ereignisses.

  Prozentangaben kannst du leicht in Dezimalzahlen umrechnen, indem du durch $100$ teilst:

  $20\,\% = 0,\!2$

  Lösung

  In unserem Leben begegnen uns Wahrscheinlichkeiten an verschiedenen Stellen: Wie wahrscheinlich ist es, dass du im Zug kontrolliert wirst, wenn du ausgerechnet heute die Fahrkarte vergessen hast? Wie hoch ist die Chance, bei einer Auslosung den Hauptgewinn zu ziehen?
  Diese Fragen können wir beantworten, wenn wir die Wahrscheinlichkeit berechnen. Dafür brauchen wir jedoch Angaben:

  • Anzahl der günstigen Ergebnisse (Zum Beispiel: Wie viele Lose sind Gewinnlose?)
  • Anzahl aller Ergebnisse (Wie viele Lose gibt es insgesamt?)

  Daraus können wir die Wahrscheinlichkeit mit folgender Formel berechnen:

  $P(E) = \dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller Ergebnisse}}$

  Einer von 250 Koffern enthält Schmuggelware:

  $P(\text{„Schmuggelware“}) = \dfrac{1}{250} = 0,\!004$

  $75\,\%$ der Koffer mit Schmuggelware werden entdeckt:

  $P(\text{„entdeckt“}) = \dfrac{75}{100} = 0,\!75$

  $20\,\%$ der geöffneten Koffer sind von unschuldigen Touristen:

  $P(\text{„unschuldig“}) = \dfrac{20}{100} = 0,\!2$

• Berechne, wie viel Prozent der Koffer insgesamt geöffnet werden.

  Tipps

  Bevor du etwas berechnen kannst, musst du die Formel aufstellen.

  Anschließend musst die gegebenen Werte in die Formel einsetzen.

  • $S \cap G$: „Ein Koffer wird geöffnet und enthält Schmuggelware.“
  • $S$ unter der Bedingung $G$: „Ein geöffneter Koffer enthält Schmuggelware.“

  Lösung

  Wir verwenden für die Aufgabe diese Ereignisse:

  • $G$: Koffer wird geöffnet.
  • $S$: Koffer enthält Schmuggelware.

  
  

  Gegeben:
  Insgesamt liegt der Anteil der Koffer, die geöffnet werden und Schmuggelware enthalten bei $0,\!3$ Prozent.
  $\Rightarrow P(S \cap G) = 0,\!003$

  $80$ Prozent der geöffneten Koffer enthalten Schmuggelware.
  $\Rightarrow P_{G}(S) = 0,\!8$

  Gesucht:
  Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird ein Koffer geöffnet?
  $\Rightarrow P (G)$

  Lösung:
  Um zu berechnen, wie viele Koffer insgesamt geöffnet werden, brauchen wir die Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit. Diese lautet:

  $P_{G}(S) = \dfrac{P(S \cap G)}{P(G)}$

  Im nächsten Schritt setzen wir alle Werte ein, die wir gegeben haben:

  $0,\!8 = \dfrac{0,\!003}{P(G)}$

  Nun stellen wir die Formel nach $P(G)$ um. Das heißt, wir multiplizieren zuerst mit $P(G)$. Danach teilen wir durch $0,\!8$. Demzufolge steht in der nächsten Zeile:

  $P(G) = \dfrac{0,\!003}{0,\!8}$

  Jetzt müssen wir nur noch berechnen und erhalten als Ergebnis:

  $P(G) = 0,\!00375$

  Das rechnen wir noch in Prozent um. Dazu verschieben wir das Komma um zwei Stellen nach links. Das Ergebnis lautet:

  $P(G) = 0,\!375\,\%$

  Wir wissen somit, dass insgesamt $0,\!375$ Prozent der Koffer geöffnet werden.

• Vervollständige das Baumdiagramm zu der Polizeikontrolle.

  Tipps

  In der ersten Stufe geht es um die Anzahl der kontrollierten Autos und in der zweiten Stufe um den Besitz eines Führerscheins – abhängig davon, ob kontrolliert wird oder nicht.

  Prozentangaben kannst du leicht in Dezimalzahlen umrechnen, indem du durch $100$ teilst:

  $20\,\% = 0,\!2$

  Die Schnittwahrscheinlichkeit zweier Ereignisse rechnest du aus, indem die Wahrscheinlichkeiten entlang des entsprechenden Pfades multiplizierst.

  Lösung

  Um ein Baumdiagramm für ein Ereignis zu erstellen, brauchen wir Angaben. Das sind in diesem Beispiel folgende:

  • $10$ Prozent der Autofahrer und Autofahrerinnen werden kontrolliert (Ereignis $K$).
  • Jede fünfte kontrollierte Person besitzt keinen Führerschein (Ereignis $\overline{F}$).
  • Insgesamt liegt der Anteil der Autofahrenden, die keinen Führerschein haben und nicht kontrolliert werden, bei $27$ Prozent (Ereignis $\overline{K} \cap \overline {F}$).

  
  

  In der ersten Stufe geht es um die Kontrolle der Autofahrerinnen und Autofahrer. Dabei können zwei Ereignisse eintreten:

  Die fahrende Person wird kontrolliert. Das sind $10$ Prozent. Somit ist die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis:

  $P(K) = 0,\!1$

  Die fahrende Person wird nicht kontrolliert. Das sind folglich $90$ Prozent. Damit ist die Wahrscheinlichkeit dafür:

  $P(\overline{K}) = 0,\!9$

  
  

  In der zweiten Stufe, die von dem Ereignis $K$ ausgeht, dreht es sich um den Besitz eines Führerscheins abhängig davon, ob die fahrende Person kontrolliert wird. Dabei können zwei Ereignisse eintreten:

  Die Person, die kontrolliert wird, besitzt keinen Führerschein. Das ist jede fünfte Person. Somit ist die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis:

  $P_{K}(\overline{F})= \dfrac{1}{5} = 0,\!2$

  Die Person, die kontrolliert wird, besitzt einen Führerschein. Das sind die verbleibenden $80$ Prozent. Damit ist die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis:

  $P_{K}(F) = 0,\!8$

  
  

  Die dritte Angabe der Aufgabe ist eine Schnittwahrscheinlichkeit der Ereignisse:

  • kein Führerscheinbesitz $(\overline{F})$ und
  • keine Kontrolle $(\overline{K})$.

  Sie liegt bei $27$ Prozent und ergibt sich als Produkt entlang des entsprechenden Pfades ganz unten im Baum. Durch Rückwärtsrechnen können wir $P_{\overline{K}}(\overline{F})$ ermitteln:

  $\begin{array}{ccc} P~(\overline{K} \cap \overline{F}) & = & P (\overline{K}) \cdot P_{\overline{K}}(\overline{F}) \\ 0,\!27 & = & 0,\!9 \cdot P_{\overline{K}}(\overline{F}) \\ P_{\overline{K}}(\overline{F}) & = & \frac{0,27}{0,9} \\ P_{\overline{K}}(\overline{F}) & = & 0,\!3 \end{array}$

  Von denjenigen, die nicht kontrolliert werden, haben also $30$ Prozent keinen Führerschein. Folglich besitzen die verbleibenden $70$ Prozent von ihnen einen Führerschein:

  $P_{\overline{K}}(F) = 0,\!7$

• Berechne die gesuchten Wahrscheinlichkeiten.

  Tipps

  Berechne zuerst die Wahrscheinlichkeit für diese Ereignisse:

  • Ausweis wird kontrolliert $(A)$.
  • Ausweis wird nicht kontrolliert $(\overline{A})$.

  Zeichne ein Baumdiagramm mit den gegebenen Ereignissen und Wahrscheinlichkeiten.

  Für Beispiel 2 musst du die Schnittwahrscheinlichkeit von $A$ und $M$ mit der Schnittwahrscheinlichkeit von $\overline{A}$ und $M$ addieren.

  Für Beispiel 3 brauchst du die allgemeine Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit:

  $P_{B}(A) = \dfrac {P(A \cap B)}{P(B)}$

  Sie musst du nun für die beiden Ereignisse verwenden, die es betrifft.

  Lösung

  Folgende Angaben sind bekannt:

  • Bei einem Konzert wird jede vierte Person gebeten, den Ausweis zu zeigen.
  • $80$ Prozent der Kontrollierten sind minderjährig.
  • Von denjenigen, die den Ausweis nicht zeigen müssen, sind $40$ Prozent minderjährig.

  Wir definieren die Ereignisse:

  • $A$: Der Ausweis wird kontrolliert.
  • $M$: Eine Person ist minderjährig.

  Nun formulieren wir die gegebenen Wahrscheinlichkeiten:

  • $P(A) = \dfrac{1}{4} = 0,\!25$
  • $P_A(M) = 80\,\% = 0,\!8$
  • $P_{\overline{A}}(M) = 40\,\% = 0,\!4$

  Diese kannst du auch in ein Baumdiagramm eintragen.

  
  

  Beispiel 1

  Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person minderjährig ist und ihren Ausweis zeigen muss?

  Hier ist die Schnittwahrscheinlichkeit von $A$ und $M$ gesucht. Das heißt, dass beide Ereignisse („Ausweiskontrolle“ und „minderjährig“) eintreffen.

  Wir erhalten die gesuchte Wahrscheinlichkeit, indem wir die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades mit $A$ und $M$ multiplizieren:

  $\begin{array}{rcl} P~(A \cap M) & = & P (A) \cdot P_A(M) \\ P~(A \cap M) & = & 0,\!25 \cdot 0,\!8 \\ P~(A \cap M)& = & 0,\!2 \\ \end{array}$

  Antwort auf die Frage: $\color{#99CC00}{P(A \cap M) = 0,\!2}$

  
  

  Beispiel 2

  Wie viel Prozent der Personen auf den Konzert sind minderjährig?

  Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $M$. Diese erhalten wir, indem wir die Wahrscheinlichkeiten dafür addieren, dass eine Person minderjährig ist und kontrolliert wird ($A \cap M$) oder dass eine Person minderjährig ist und nicht kontrolliert wird ($\overline{A} \cap M$). Letztere können wir wieder als Produkt entlang eines Pfades berechnen:

  $\begin{array}{rcl} P~(\overline{A} \cap M) & = & P(\overline{A}) \cdot P_{\overline{A}}(M) \\ P~(\overline{A} \cap M) & = & 0,\!75 \cdot 0,\!4 \\ P~(\overline{A} \cap M)& = & 0,\!3 \\ \end{array}$

  Jetzt addieren wir nur noch die Teilergebnisse und erhalten folgende Wahrscheinlichkeit:

  $\begin{array}{rcl} P (M) & = & P(A \cap M) + P(\overline{A} \cap M) \\ P (M) & = & 0,\!3 + 0,\!2 \\ P (M) & = & 0,\!5 \end{array}$

  Antwort auf die Frage: $\color{#99CC00}{P(M) = 0,\!5}$

  
  

  Beispiel 3

  Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine minderjährige Person ihren Ausweis zeigen muss?

  Hier haben wir es mit der bedingten Wahrscheinlichkeit zu tun. Die Frage ist, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass eine Person ihren Ausweis zeigen muss unter der Bedingung, dass sie minderjährig ist. Wir brauchen also die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit:

  $P_{M}(A) = \dfrac{P(A \cap M)}{P(M)}$

  Die für die Formel benötigten Wahrscheinlichkeiten haben wir bereits berechnet:

  • $P(A \cap M) = 0,\!2~$
  • $P(M) = 0,\!5$

  Diese setzen wir nun in die Formel ein:

  $P_{M}(A) = \dfrac{0{,}2}{0{,}5} = 0,\!4$

  Antwort auf die Frage: $\color{#99CC00}{P_{M}(A) = 0,\!4}$

• Beschreibe das Gegenereignis.

  Tipps

  Gegenereignisse stellen das Gegenteil des Ereignisses dar.

  Beispiel:

  • Ereignis: Es wird eine blaue Kugel gezogen.
  • Gegenereignis: Es wird keine blaue Kugel gezogen. $\to$ Die Kugel kann also gelb, rot oder grün sein.

  Lösung

  Bei Wahrscheinlichkeiten können wir von Ereignissen sowie von Gegenereignissen sprechen. Gegenereignisse stellen das Gegenteil des Ereignisses dar. Oft kannst du das Gegenereignis einfach aufschreiben, indem du „nicht“ oder „kein“ vor das Ereignis setzt.

  
  

  • Ereignis: Die Kugel zeigt eine gerade Zahl.
  • Gegenereignis: Die Kugel zeigt eine ungerade Zahl. (Du könntest genauso gut sagen: Die Kugel zeigt keine gerade Zahl.)

  
  

  • Ereignis: Die Kugel ist gelb.
  • Gegenereignis: Die Kugel ist rot, grün oder blau. (Du könntest genauso gut sagen: Die Kugel ist nicht gelb.)

  
  

  • Ereignis: Die Kugel zeigt eine Zahl, die durch $3$ teilbar ist.
  • Gegenereignis: Die Zahl auf der Kugel ist eine $1$ oder $2$. (Du könntest auch sagen: Die Kugel zeigt eine Zahl, die nicht durch $3$ teilbar ist.)

  
  

  • Ereignis: Die Kugel ist gelb, rot oder blau.
  • Gegenereignis: Die Kugel zeigt die Zahl $9$. Es handelt sich um die einzige grüne Kugel. (Du könntest genauso gut sagen: Die Kugel ist nicht gelb, rot oder blau.)

• Ermittle, welcher Anteil der nicht kontrollierten Personen auf dem Stadtfest minderjährig ist.

  Tipps

  Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit.

  Es gilt:

  $P(M) = P(A \cap M) + P(\overline{A} \cap M)$

  Lösung

  Wir verwenden für die Aufgabe diese Ereignisse:

  • $M$: Person ist minderjährig.
  • $A$: Ausweis wird kontrolliert.

  Gegeben:

  • Insgesamt sind $40$ Prozent der Personen auf dem Stadtfest minderjährig.

  $\Rightarrow$ $P(M) = 0,\!4$

  • Der Anteil der Personen, die minderjährig sind und ihren Ausweis zeigen müssen, liegt bei $22$ Prozent.

  $\Rightarrow P(A \cap M) = 0,\!22$

  • Jede zweite Person muss den Ausweis vorzeigen.

  $\Rightarrow P(A) = 0,\!5$

  Gesucht:
  Welcher Anteil der nicht kontrollierten Personen auf dem Stadtfest ist minderjährig?
  $\Rightarrow P_{\overline{A}}(M) = ~?$

  Lösung:
  Die Wahrscheinlichkeit für $P(M)$ errechnet sich durch die Addition von $P(A \cap M)$ und $P(\overline{A} \cap M)$. Daher können wir durch Rückwärtsrechnen $P(\overline{A} \cap M)$ ermitteln:

  $\begin{array}{rrrr} P(A \cap M) & + & P(\overline{A} \cap M) & = & P(M) & \\ 0,\!22 & + & P(\overline{A} \cap M) & = & 0,\!4 & \vert -0,\!22 \\ ~ & ~~~ & P(\overline{A} \cap M) & = & 0,\!18 \end{array}$

  Somit kennen wir die Schnittwahrscheinlichkeit:

  $P(\overline{A} \cap M) = 0,\!18$

  Wenn wir nun wissen, dass jede zweite Person kontrolliert wird und entsprechend die verbleibenden $50$ Prozent nicht kontrolliert werden, können wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{\overline{A}}(M)$ über die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen:

  $P_{\overline{A}}(M) = \dfrac {P(\overline{A} \cap M)}{P(\overline{A})}$

  Jetzt setzen wir alle Angaben ein:

  $P_{\overline{A}}(M) = \dfrac{0{,}18}{0{,}5}$

  $P_{\overline{A}}(M) = 0,\!36$

  Antwort:
  Unter den nicht kontrollierten Personen auf dem Stadtfest sind $\color{#99CC00}{36}~ \text{Prozent}$ minderjährig.

  
  

  Hinweis: Du kannst die Aufgabe auch durch Zeichnen eines Baumdiagramms lösen.