Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Begriff Wahrscheinlichkeit
• Begriff Zufallsexperiment
• Absolute Häufigkeit und relative Häufigkeit
• Laplace-Experimente
• Darstellung im Baumdiagramm
• Pfadregeln: Produktregel und Summenregel

Begriff Wahrscheinlichkeit

Den Begriff „Wahrscheinlichkeit“ verwenden wir ganz selbstverständlich, etwa wenn wir sagen: „Wahrscheinlich scheint morgen die Sonne.“ In der Regel geben wir dadurch eine vermutete Sicherheit an, dass eine Aussage zutrifft.

In der Mathematik möchte man den Begriff aber präziser fassen. Dort untersucht man Vorgänge, die in Bezug auf ein bestimmtes Merkmal zufällig ablaufen und eines von mehreren möglichen Ergebnissen hervorbringen. Ein typisches Beispiel ist das Würfeln. Die möglichen Ergebnisse, von denen eines zufällig eintritt, sind die Augenzahlen $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ und $6$.

Begriff Zufallsexperiment

Führt man einen Vorgang mit zufälligem Ausgang unter genau festgelegten Bedingungen einmal oder mehrfach durch, nennt man das Zufallsexperiment.

Werden solche Zufallsexperimente unter immer gleichen Bedingungen durchgeführt, dann kann man Aussagen über die Häufigkeiten bestimmter Ergebnisse bzw. Ereignisse (Mengen von Ergebnissen) treffen.

Absolute Häufigkeit und relative Häufigkeit

Die genaue Anzahl, mit der ein bestimmtes Ereignis auftritt, nennt man absolute Häufigkeit. Das Verhältnis zur Gesamtmenge nennt man relative Häufigkeit.

Wird das Experiment $n$-mal durchgeführt und tritt ein bestimmtes Ereignis $E$ genau $k$-mal auf, dann ist die relative Häufigkeit gegeben durch:

$h_n (E) = \frac{k}{n}$

Beispiel Verkehrsbeobachtung für absolute und relative Häufigkeit:

Beispiel Münzwurf für absolute und relative Häufigkeit:

Wirfst du eine Münze $n$-mal und trägst die relativen Häufigkeiten in ein Diagramm ein, dann erhältst du etwa folgende Diagramme:

Hier machst du die Beobachtung, dass die relativen Häufigkeiten um einen bestimmten Wert schwanken und umso weniger von diesem Wert abweichen, je häufiger du das Experiment wiederholst.

Deshalb kannst du die relative Häufigkeit benutzen, um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses experimentell zu ermitteln. Denn genau die feste Zahl, um die die relativen Häufigkeiten schwanken, ist die Wahrscheinlichkeit $P(E)$ des Ereignisses $E$.

Oder anders formuliert: Die relative Häufigkeit eines Ereignisses $E$ in einem Zufallsexperiment ist eine gute Näherung für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses:

$P(E) \approx \frac{k}{n}$

Je häufiger du das Experiment wiederholst, desto genauer stimmen die relative Häufigkeit und die Wahrscheinlichkeit überein. Diesen Zusammenhang nennt man das Gesetz der großen Zahlen.

Laplace-Experimente

Münzwurf und Würfeln sind bekannte Beispiele eines bestimmten Typs von Zufallsexperimenten, den Laplace-Experimenten. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass jeder Versuchsausgang gleich wahrscheinlich ist.

Wenn es also $a$ mögliche Ergebnisse gibt, dann ist die Wahrscheinlichkeit für jedes einzelne Ergebnis:

$p = \frac1{a}$

Für die Wahrscheinlichkeit $P(E)$ eines bestimmten Ereignisses $E$ eines Laplace-Experiments gilt:

$P(E) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}$

„Günstige Ergebnisse“ sind hierbei diejenigen Ergebnisse, die zu dem Ereignis gehören, dessen Wahrscheinlichkeit man bestimmen möchte.

Beispiel Laplace-Experiment:

Die Wahrscheinlichkeit für $3$ oder $4$ beim Würfeln mit einem Würfel ist

$P (\{3;4\})= \frac26$

Darstellung im Baumdiagramm

Die Ergebnismenge eines $n$-stufigen Zufallsexperimentes lässt sich in einem Baumdiagramm darstellen. Auf jeder Stufe verzweigt sich das Diagramm entsprechend den möglichen Ergebnissen. An die einzelnen Pfade des Baumdiagramms schreibt man die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass ein bestimmtes Ereignis eintritt.

Beispiel Laplace-Experiment Baumdiagramm:

In einer Lostrommel liegen $10$ Lose, davon sind $3$ Gewinne, die restlichen sind Nieten. Nacheinander werden zwei Lose gezogen. Beim ersten Zug gibt es zwei Möglichkeiten: Entweder du ziehst einen Gewinn (G) oder eine Niete (N).

Beim zweiten Zug wiederholt sich dies. Dabei gibt es nur noch $9$ Lose und je nach Ergebnis des 1. Zuges entweder $2$ Gewinne und $7$ Nieten oder $3$ Gewinne und $6$ Nieten, dementsprechend ändern sich die Wahrscheinlichkeiten. Das Baumdiagramm dazu sieht wie folgt aus:

Pfadregeln: Produktregel und Summenregel

Für die Wahrscheinlichkeiten in einem $n$-stufigen Zufallsexperiment bzw. im zugehörigen Baumdiagramm gelten folgende Pfadregeln:

Produktregel: Im Baumdiagramm ist die Wahrscheinlichkeit eines Pfades gleich dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten entlang des Pfades.

Summenregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pfade im Baumdiagramm, die zu dem Ereignis gehören.