Absolute und relative Häufigkeit

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Wozu wird die absolute und relative Häufigkeit berechnet?
• Was sind absolute und relative Häufigkeiten?
• Interessante Eigenschaften und nützlichen Rechenregeln
• Eigenschaften
• Rechenregeln
• Kumulierte Häufigkeiten

Wozu wird die absolute und relative Häufigkeit berechnet?

Wer kennt das nicht, du kaufst dir eine neue Tüte Gummibärchen und deine Lieblingssorte ist gefühlt am wenigsten drin. Doch wie viele sind wirklich in der Tüte? Und wenn du dir $10$ Gummibärchen aus der Tüte nimmst, wie viele sind von deiner Lieblingssorte und in welcher Relation steht das zu den anderen gezogenen Gummibärchen? Mittels absoluter und relativer Häufigkeit können diese Frage beantwortet werden.

Was sind absolute und relative Häufigkeiten?

Im Folgenden wird von einem Zufallsversuch ausgegangen. Die Anzahl der Versuchsdurchgänge wird über die Variable $n$ beschrieben.

Die absolute Häufigkeit $H_n(A)$ gibt die Anzahl der Versuche mit dem Ereignis $A$ an.

Während die absolute Häufigkeit die Anzahl angibt, beschreibt die relative Häufigkeit den Anteil eines Ereignisses $A$ bezüglich der Anzahl der Versuche. Formal berechnet sich die relative Häufigkeit $h_{n}(A)$ aus dem Quotienten der absoluten Häufigkeit und der Gesamtanzahl der durchgeführten Versuche. Als Formel ergibt sich:

$h_{n}(A)= \frac{\textrm{absolute H$\ddot{a}$ufigkeit des Ereignisses}}{\textrm{Anzahl der Versuche}} = \frac{H_{n}(A)}{n}$

Was bedeutet das für deine Tüte voller Gummibärchen? Du nimmst dir $12$-mal ein Gummibärchen aus deiner Tüte und hast $2$-mal ein Gummibärchen deiner Lieblingssorte gezogen. Die Anzahl der Versuche entspricht der Anzahl des Greifens in die Tüte. In diesem Beispiel nimmt $n$ also den Wert $12$ an. Es werden nun die verschieden Sorten betrachtet, mathematisch wird hier von Merkmalen gesprochen. Das Erfolgsereignis ist hier das Ziehen eines Gümmibärchens der Lieblingssorte, zum Beispiel $gelb.$ In diesem Beispiel entspricht die Sorte $gelb$ der Merkmalsausprägung des Ereignisses $gelbes~ Gummib\ddot{a}rchen$.

Die absolute Häufigkeit wäre für dieses Beispiel die Anzahl der gezogenen Gummibärchen deiner Lieblingssorte $gelb$, also: $H_{12}(gelb)=2$

Zur Berechnung der relativen Häufigkeit wird nun der Anteil an $gelben$ Gummibärchen von deinen $12$ gezogen Gummibärchen ermittelt. Werden die Werte in die Formel zur relativen Häufigkeit eingesetzt, ergibt sich:

$h_{12}(gelb)= \frac{\text{Anzahl gelber Gummib}\ddot{a}\text{rchen}}{\text{Anzahl gezogener Gummib}\ddot{a}\text{rchen}} = \frac{H_{12}(gelb)}{12}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$

Interessante Eigenschaften und nützlichen Rechenregeln

Eigenschaften

• Die absolute Häufigkeit beschreibt eine Anzahl, demnach kann sie nicht negativ sein und muss eine ganze Zahl sein. Es gilt $0\le H_n(A)$ und $H_n(A)$ ist eine natürliche Zahl.
• Werden die absoluten Häufigkeiten aller möglichen Ereignisse $\Omega$ aufsummiert, entspricht dies der Anzahl der durchgeführten Versuche, da jeder Versuch ein Treffer ist. In Formelschreibweise ergibt sich $H_n(\Omega)=n$, wobei $n$ die Anzahl der Versuche ist.
• Die relative Häufigkeit beschreibt einen Anteil. Ein Ereignis kann nicht öfter auftreten als die Anzahl der durchgeführten Versuche. $H_n(A)$ ist also immer kleiner gleich $n$. Die relative Häufigkeit kann damit nur kleiner gleich $1$ sein. Also gilt $0\le h_n(A)\le 1$, wobei $h_n(A)$ und $n$ natürliche Zahlen sind und $h_n(A) \le n$ ist.
• Die relative Häufigkeit von $0$ Versuchen kann nicht berechnet werden. Da im Nenner keine $0$ stehen darf.
• $h_n(A)$ ist eine positive rationale Zahl.
• Werden alle möglichen Ereignisse $\Omega$ betrachtet, dann wird von einem sicheren Ereignis gesprochen. Dabei haben $H_n(\Omega) $ und $n$ den gleichen Wert, womit der Quotient gleich $1$ ist. Es gilt demnach:

$~~~~~~~~~ H_n(\Omega)=\frac{n}{n}=1$

• Das Gegenereignis $\bar{A}$ zu einem Ereignis $A$ enthält alle Versuche, die nicht $A$ als Ereignis hatten. Es gilt: $h_n(A)+h_n(\overline{A})=1$
• Wird die letzte Formel umgestellt, ergibt sich direkt die Formel zur Berechnung der relativen Häufigkeit des Gegenereignisses:

  $h_n(\overline{A})=1-h_k(A)$

Rechenregeln

Die folgenden Rechenregeln gelten sowohl für die absoluten, als auch für die relativen Häufigkeiten. Deshalb wird sich im Folgenden exemplarisch auf die Darstellung mit der relativen Häufigkeit beschränkt.

Kommutativgesetz

Das Kommutativgesetz wird auch als Vertauschungsgesetzt bezeichnet. Im Falle der Häufigkeiten können die Summanden der Häufigkeiten zweier Ereignisse $A$ und $B$ vertauscht werden. Gleiches gilt für die Faktoren der Häufigkeiten zweier Ereignisse.

$h_n(A)+h_n(B)=h_n(B)+h_n(A)$

$h_n(A)\cdot h_n(B)=h_n(B)\cdot h_n(A)$

Assoziativgesetz

Das Assoziativgesetz wird auch Verknüpfungs- oder Verbindungsgesetzt genannt. Es besagt, dass in einem Summen- oder Produktterm die Summanden oder Faktoren beliebig mit Klammern verbunden werden können. Klammern dürfen also auch umgesetzt oder weggelassen werden.

$h_n(A)+(h_n(B)+h_n(C))=(h_n(A)+h_n(B))+h_n(C)$

$h_n(A)\cdot(h_n(B)\cdot h_n(C))=(h_n(A) \cdot h_n(B))\cdot h_n(C)=h_n(A) \cdot h_n(B)\cdot h_n(C)$

Distributivgesetz

Das Distributivgesetzes wird auch als Verteilungsgesetz bezeichnet. Wenn eine Summe aus zwei Produkten den jeweils gleichen Faktor besitzen, dann kann dieser Faktor auch ausmultipliziert werden.

$h_n(B)\cdot h_n(A)+h_n(C)\cdot h_n(A)=h_n(A)\cdot(h_n(B)+h_n(C))$

Andersherum gilt, dass bei einer Multiplikation mit einer Summe jeder einzelne Summand mit einem Faktor multipliziert werden kann. Dieser Schritt wird auch als Ausklammern bezeichnet.

$(h_n(A)+h_n(B))\cdot h_n(C)=h_n(A) \cdot h_n(C)+h_n(B)\cdot h_n(C)$

Additionssatz

Der Additionssatz wird genutzt, um die Häufigkeit zweier Ereignisse zu bestimmen. Zu beachten ist hierbei, dass du neben der Addition der beiden Ereignisse $A$ und $B$ anschließend die Häufigkeit für alle Ergebnisse wieder abziehst, in denen $A$ und $B$ gleichzeitig vorhanden sind. Dies kann wie folgt ausgedrückt werden:

$ h_n(A) \cup h_n(B)=h_n(A) +h_n(B)- h_n(A \cap B)$

Warum gilt nicht $h_n(A) \cup h_n(B)=h_n(A) +h_n(B)$ ?

Zur Veranschaulichung werden jetzt Würfelergebnisse betrachtet. Es wurde $6$ mal gewürfelt. Ereignis $A$ steht für das Würfeln einer Zahl kleiner $3$. Ereignis $B$ steht für das Würfeln einer geraden Zahl. Bei $6$ Würfen wurden folgende Zahlen geworfen: $1$, $4$, $5$, $6$, $2$ und $1$. Für Ereignis $A$ ergibt sich also $H_6(A)=3$ und für Ereignis $H_6(B)=3.$ Nun soll die Anzahl der Würfe ermittelt werden, bei denen die geworfene Zahl eines der beiden Ereignisse oder sogar beide erfüllt. Eine direkte Aufsummierung würde $6$ ergeben, also alle Würfe hätten mindestens eine der Eigenschaften. Da jedoch eine $5$ gewürfelt wurde, welche weder kleiner $3$ noch $gerade$ ist, kann das nicht richtig sein. Grund ist, dass in diesem Falle der Wurf der $2$ doppelt gezählt wurde, weil die $2$ Eigenschaften beider Ereignisse ($gerade$ und kleiner $3$) besitzt.

Werden nun die gegebenen Größen in die Formel des Additionssatzes eingesetzt, ergibt sich das richtige Ergebnis:

$ H_6(A) \cup H_6(B)=H_6(A) +H_6(B)- H_6(A \cap B)=3 +3-1=5$

Kumulierte Häufigkeiten

Die kumulierte absolute Häufigkeit gibt an, wie oft ein bestimmtes Ereignis und vorangegangene Ereignisse auftreten. Es handelt sich hierbei um ein weiterführendes Thema, welches in höheren Klassenstufen behandelt wird.

Im Folgenden seien $a_i(i=1,...,N$ mit $N\in\mathbb{N})$ mögliche Merkmalsausprägungen. Diese Merkmalsausprägungen seien ordinal geordnet. Die absolute Häufigkeit der Merkmalsausprägung $a_i$ bei $n$ Versuchsdurchgänge ist gegeben mit $H_n(a_i)$.

Die relative Häufigkeit einer Merkmalsausprägung $a_{i}$ ist dann:

$h_{n}(a_{i})= \frac{\textrm{absolute H$\ddot{a}$ufigkeit der Ereignisses mit Merkmalsauspr$\ddot{a}$gung}~a_i}{\textrm{Anzahl der Versuche}} = \frac{H_{n}(a_{i})}{n}$

Die kumulierte absolute Häufigkeit wird aus der Summe der einzelnen absoluten Häufigkeit bis zur Merkmalsausprägung $a_i$, wobei $j\leq N$, mit folgender Formel berechnet:

$kH_n(x)=\sum_{x \leq a_i }^{~}H_n(a_i)=H_n(a_1)+H_n(a_2)+ \cdots +H_n(a_i)$

Die letzte kumulierte absolute Häufigkeit gibt die Summe aller absoluten Häufigkeiten wie folgt an:

$kH_n(x)=\sum_{x \leq a_N }^{~}H_n(a_N )=n$

Die kumulierte relative Häufigkeit gibt an, wie häufig ein bestimmtes und alle vorherigen Ereignisse eines Merkmals bezüglich der Gesamtanzahl beobachtet wurden. Berechnet wird diese über die Summe der einzelnen relativen Häufigkeiten bis zur Merkmalsausprägung $a_i$. Als Berechnungsvorschrift ergibt sich:

$kh_n(a_i)=\sum_{x \leq a_i }^{~}h_n(a_i )=\sum_{x \leq a_i }^{~} \frac{H_n(a_i)}{n}$

Mit der letzten kumulierten relativen Häufigkeit wird die Summe aller möglichen Anteile angegeben. Es entspricht also der relativen Häufigkeit eines sicheren Ereignisses. Die folgende Formel lässt sich direkt aus den Eigenschaften der relativen Häufigkeit herleiten:

$kh_n(a_N)=\sum_{x \leq a_N }^{~}h_n(a_N )=\sum_{x \leq a_N }^{~} \frac{H_n(a_N)}{n}=1$