Graphisches Ableiten – Übung (1)

Graphisches Ableiten – Übung (1) Übung

• Erstelle eine Wertetabelle für $f(x)=x^2$.

  Tipps

  Die Funktion ist oben gegeben. Du musst die $x$-Werte in die Funktionsgleichung einsetzen.

  Das ist der Graph von $f$ in einem Koordinatensystem.

  Die Wertetabelle gibt die Koordinaten verschiedenster Punkte des Graphen an.

  Lösung

  Wenn du Werte für eine Wertetabelle berechnest, musst du die $x$-Werte, zu denen du Funktionswerte ($y$-Werte) berechnen möchtest, in die Funktionsgleichung einsetzen.

  Dabei musst du besonders bei Potenzfunktionen auf die Vorzeichen achten.

  Die Werte für die Wertetabelle ergeben sich so:

  $f(x)=x^2$

  $f(-3)=(-3)^2=9$

  $f(-2)=(-2)^2=4$

  $f(-1)=(-1)^2=1$

  $f(0)=(0)^2=0$

  $f(1)=(1)^2=1$

  $f(2)=(2)^2=4$

  $f(3)=(3)^2=9$

  Und somit erhältst du eine vollständige Wertetabelle (Bild).

• Bestimme den Ableitungsgraphen von $g$.

  Tipps

  Eine Wertetabelle für $g$ sieht so aus:

  $\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} x&-3&-2&-1&0&1&2&3 \\ \hline y&-27&-8&-1&0&1&8&27 \end{array}$

  So sieht der Graph von $g$ aus. Du kannst ihn auf ein Blatt übertragen, um dort die Steigung von $g$ an verschiedenen Stellen abzulesen.

  Die Steigung von $g$ an der Stelle...

  • $0$ beträgt $0$

  • $-1$ beträgt $3$

  • $1$ beträgt $3$

  Die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle entspricht dem $y$-Wert der Ableitungsfunktion an dieser Stelle.

  Lösung

  Zunächst musst du dir eine Wertetabelle für die Funktion $g(x)$ erstellen. Diese könnte dann so aussehen:

  $\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} x&-3&-2&-1&0&1&2&3 \\ \hline y&-27&-8&-1&0&1&8&27 \end{array}$

  Mit ihr kannst du dann die Funktion zeichnen. Wenn du den Funktionsgraphen $g$ betrachtest, siehst du, dass sie bis auf eine Stelle monoton steigt, das heißt, unser Ableitungsgraph muss im positiven Wertebereich verlaufen und die $x$-Achse am Ursprung berühren, da unser Graph hier die Steigung $0$ besitzt.

  Das trifft nur auf die erste, dritte und fünfte Parabel zu. Sehen wir uns nun die Steigungen an.

  Unser Ausgangsgraph besitzt bereits an der Stelle $1$ eine Steigung von $3$.

  Das bedeutet, unser Ableitungsgraph $g'$muss den Punkt $(1|3)$ besitzen. Das ist nur bei dem ersten Bild, der in $y$-Richtung gestauchten Parabel der Fall. Sie muss unser Ableitungsgraph zu $g$ sein. Die Funktionsgleichung der Ableitungsfunktion lautet $g'(x)=3\cdot x^2$.

• Ergänze die Wertetabelle zu $f(x)=-x^2$.

  Tipps

  Die Funktionsgleichung ist oben gegeben. Du musst die $x$-Werte oder die Funktionswerte in die Funktionsgleichung einsetzen.

  Vor dem $x^2$ steht ein Minus. Die Parabel ist also nach unten geöffnet.

  $-x^2$ und $(-x)^2$ sind zwei verschiedene Ausdrücke mit verschiedenen Ergebnissen.

  Lösung

  Betrachten wir die Funktionsgleichung: $f(x)=-x^2$

  Das Minus steht vor $x^2$ ist nicht durch eine Klammer an den Exponenten gebunden. Das bedeutet, dass alle Ergebnisse nach dem Quadrieren noch ein Minus erhalten.

  Nur bei $(-x)^2$ würde das Minus direkt in die Rechnung eingehen und man würde nur positive Ergebnisse erhalten. In diesem Fall kann es aber nur negative Funktionswerte geben.

  Die Wertetabelle (Bild) ergibt sich so:

  $f(-3)=-(-3)^2=-9$

  $f(-2)=-(-2)^2=-4$

  $f(x)=-1 \Leftrightarrow -x^2 = -1 \Leftrightarrow x=\pm 1$

  Wir setzen $x=-1$ ein, da wir uns auf der linken Seite der Wertetabelle, also im negativen Wertebereich für $x$, befinden. Außerdem gibt es $x=+1$ bereits weiter rechts in der Wertetabelle.

  $f(0)=-(0)^2=0$

  $f(1)=-(1)^2=-1$

  $f(x)=-9 \Leftrightarrow -x^2=-9 \Leftrightarrow x=\pm 3$

  Wir setzen $x=3$ ein, da wir uns auf der rechten Seite der Wertetabelle, also im positiven Wertebereich für $x$, befinden. Außerdem gibt es $x=-3$ bereits ganz links in der Wertetabelle.

  $f(x)=-16 \Leftrightarrow -x^2=-16 \Leftrightarrow x=\pm 4$

  Wir setzen $x=4$ ein, da wir uns auf der rechten Seite der Wertetabelle, also im positiven Wertebereich für $x$, befinden.

• Ermittle zu jeder Funktion ihren Ableitungsgraphen.

  Tipps

  An den Extremstellen von $f'$ kannst du die Wendestellen von $f$ erkennen.

  An den Nullstellen von $f'$ kannst du die Extremstellen von $f$ erkennen.

  Wertetabellen und Skizzen zu den einzelnen, möglichen Funktionen können sehr hilfreich sein.

  Der Funktionswert des Ableitungsgraphen an einer Stelle gibt die Steigung der Ausgangsfunktion an dieser Stelle an.

  Lösung

  Der dritte Graph ist eine Parallele zur x-Achse, die durch $y=3$ verläuft. Da uns die Funktionswerte der Ableitungsgraphen immer die Steigung der Ausgangsfunktion angeben, muss unsere gesuchte Funktion permanent die Steigung $m=3$ besitzen. Das kann nur bei einer linearen Funktion der Fall sein. Die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet $f(x)=m\cdot x+n$. Da wir die Steigung mit $m=3$ als Parameter vor dem $x$ ablesen können, ist unsere gesuchte Funktionsgleichung $f(x)=3x$.

  Wir schauen uns den ersten Graphen an. Dieser Graph verläuft vollständig im positiven Bereich und gibt somit an, dass der Graph der Ausgangsfunktion stetig steigt - bis auf die Stelle $x=0$, dort muss die Steigung null sein. Es handelt sich hierbei um eine quadratische Funktion durch den Ursprung. Bei der Ableitung wird der Grad der Funktion um $1$ vermindert, also kommt für die Ausgangsfunktion nur eine kubische Funktion mit dem Grad $3$ in frage. Wir erhalten also die Funktionsgleichung $f(x)=x^3$.

  Wir schauen uns den zweiten Graphen an. Es ist eine lineare Funktion, die zuerst im negativen Bereich verläuft, dann im Ursprung die $x$-Achse schneidet und dann im positiven Bereich verläuft. Also suchen wir eine Funktion als Ausgangsfunktion, deren Graph erst fällt, im Ursprung eine Extremstelle besitzt und danach wieder steigt. Die Extremstelle ist also ein Tiefpunkt. Ein solches Aussehen kennen wir nur von einer nach oben geöffneten Parabel. Und die einzige, nach oben geöffnete Parabel, wird durch $f(x)=x^2$ beschrieben.

  Wir schauen uns den vierten Graphen an. Gesucht ist ein Graph, der zuerst positiv steigt, im Ursprung eine Extremstelle besitzt und danach negativ steigt bzw. fällt - also eine nach unten geöffnete Parabel. Dieses Bild passt nur auf die Funktion $f(x)=-3x^2$, da die Steigung sehr groß ist.

• Beschreibe den Zusammenhang zwischen einer Funktion und seiner Ableitungsfunktion.

  Tipps

  Steigungen an bestimmten Stellen der Ausgangsfunktion geben immer Auskunft über den Funktionswert der Ableitungsfunktion an dieser Stelle.

  An Extremstellen ist die Steigung null, an Wendestellen maximal bzw. minimal.

  Lösung

  Wichtige Merksätze, die du dir aufschreiben solltest, lauten:

  • An Extremstellen von $f$ besitzt $f'$ seine Nullstellen, da dort die Steigung von $f$ null ist.

  • An Wendestellen von $f$ besitzt $f'$ seine Extremstellen, da dort die Steigung von $f$ minimal bzw. maximal ist.

  • Ist die Steigung von $f$ an einer Stelle $a$ positiv, so besitzt $f'$ an dieser Stelle $a$ einen positiven Funktionswert. Es gilt $f'(a)>0$.

  • Ist die Steigung von $f$ an einer Stelle $a$ negativ, so besitzt $f'$ an dieser Stelle $a$ einen negativen Funktionswert. Es gilt $f'(a)<0$.

  • Allgemein gilt, dass die Steigung von $f$ an einer Stelle $a$ den Funktionswert von $f'$ an dieser Stelle $a$ angibt, also $f'(a)$.

• Bestimme den Ableitungsgraphen von $f$.

  Tipps

  So sieht ein Teil der Wertetabelle zu $f$ aus:

  $\begin{array}{c|c|c|c|c} x&-2&-1&0&1 \\ \hline y&-7&2&1&2 \end{array}$

  Das hier ist der Graph zu $f(x)$.

  Die Steigung von $f$ an jeder beliebigen Stelle $a$ gibt den Funktionswert von $f'$ an dieser Stelle $a$ an.

  Lösung

  Zuerst brauchen wir eine Wertetabelle zu $f$ um den Graphen zeichnen zu können. Darin besteht ein Großteil der Schwierigkeit dieser Aufgabe. Eine Wertetabelle könnte so aussehen: $\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} x&-3&-2&-1&0&1&2&3 \\ \hline y&&-7&2&1&2&& \end{array}$

  Weitere Funktionswerte ergeben sich so:

  $f(2)=-(2)^4 + 2\cdot (2)^2 + 1 = -16 + 8 + 1 = -7$

  $f(-3)=-(-3)^4 + 2\cdot (-3)^2 + 1 = -81 + 18 + 1 = -62$

  $f(3)=-(3)^4 + 2\cdot (3)^2 + 1 = -81 + 18 + 1 = -62$

  Wie du siehst, verschwinden dank der positiven Exponenten zwar die negativen Vorzeichen, doch durch das Minus vor dem ersten Summanden wird dieser immer negativ. Da er den größten Exponenten besitzt, wird somit das Ergebnis auch immer stärker negativ.

  Nun kannst du versuchen, die Kurve zu zeichnen (Bild).

  Wir sehen zwischen $x_1=-1$ und $x_2=1$ drei Extremstellen der Ausgangsfunktion. Das bedeutet, dort muss unser Ableitungsgraph drei Nullstellen besitzen. Das trifft nur auf den zweiten und letzten Graphen oben zu.

  Bei $x_1=-0,5$ und $x_2=0,5$ besitzt $f$ Wendestellen, dort muss unser gesuchter Ableitungsgraph Extremstellen besitzen. Was wir auch in Bild zwei und fünf sehen, nämlich den Tief- und den Hochpunkt.

  Der letzte Hinweis ist die Art der Extrempunkte oder die Steigung der Ausgangsfunktion. Wie du in dem Bild sehen kannst, ist die Steigung von links ($-\infty$) bis zum ersten Extrempunkt positiv, also muss die Ableitungsfunktion oberhalb der $x-Achse$ verlaufen. Das trifft eben nur auf den zweiten Funktionsgraphen zu. Die Funktionsgleichung der Ableitungsfunktion lautet $f'(x)=-4 x^3+4 x$.