Mit Termen rechnen

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Was ist ein Term?
• Beispiele für Terme
• Beispiele für Ausdrücke, die keine Terme sind
• Wofür werden Terme benötigt?
• Ein Beispiel aus der Geometrie
• Wo kommen Terme vor?
• Ein klassisches Beispiel
• Wie können Werte von Termen bestimmt werden?

Was ist ein Term?

Ein Term ist eine sinnvolle Abfolge von

• Zahlen,
• Variablen,
• Rechenzeichen und Klammern.

Beispiele für Terme

Terme müssen gar nicht besonders lang und kompliziert sein. Die folgenden Rechenausdrücke sind bereits Terme:

• $3$
• $x$
• $3+x$
• $3+4\cdot x$
• $(3+x)\cdot 2$

Man kann erkennen, dass bereits eine einzelne Zahl oder eine Variable einen Term darstellt. Allerdings gibt es auch lange und komplizierte Terme wie $n \sqrt{x} + \frac1{x}$. Für alle Terme gelten jedoch dieselben Rechengesetze. Zu diesen gehören die Punkt-vor-Strich-Regel und die Klammern-zuerst-Regel, aber auch allgemeine Gesetze wie das Kommutativgesetz, Assoziativgesetz oder Distributivgesetz.

Beispiele für Ausdrücke, die keine Terme sind

• $3+\cdot 7$
• $3-()$

Wenn zwei mathematische Rechenzeichen wie „$+$“ und „$\cdot$“ direkt hintereinander stehen, handelt es sich nicht um eine sinnvolle Abfolge von Rechenausdrücken. Auch Ausdrücke wie $()$ ergeben keinen Sinn: $3-(1+1)$ ist jedoch ein sinnvoller Ausdruck und somit ein Term.

Wofür werden Terme benötigt?

Terme haben in der Mathematik eine große Bedeutung. Sie dienen dazu, Zusammenhänge mathematisch ausdrücken zu können.

Ein Beispiel aus der Geometrie

Ein gleichschenkliges Dreieck mit zwei gleich langen Schenkeln $a$ hat eine Grundseite der Länge $5$. Wie groß ist der Umfang dieses Dreiecks?

Der Umfang eines Dreiecks ist die Summe der drei Seitenlängen. Da zwei dieser Seiten gleich lang sind und die dritte Seite $5$ Einheiten lang ist, erhältst du den Term $a+a+5$. Dieser kann noch vereinfacht werden. Wir schreiben dann $a+a+5=2a+5$.

Auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens steht ein Term. Betrachtet man den Ausdruck als Ganzes, reden wir von einer Gleichung.

Wo kommen Terme vor?

Wenn wir die Realität beschreiben wollen, benutzen wir dazu in der Mathematik häufig Terme. Diese stehen allerdings in der Regel innerhalb einer Gleichung. Im Rahmen von vielen Textaufgaben werden die entsprechenden Terme aufgestellt und in einer Gleichung miteinander in Verbindung gebracht. In der Regel muss eine solche Gleichung dann gelöst werden.

Kann man mit bestimmten Rechenausdrücken Variablen aufstellen? Es ist es sehr wichtig, bestimmte Signalwörter zu kennen und zu wissen, wie diese in einen mathematischen Term übersetzt werden. Hier werden dir einige solche Signalwörter vorgestellt:

• Die Summe von $2$ und $x$ ist $2+x$.
• Das Doppelte von $x$ ist $2\cdot x$.
• Das Dreifache von $x$ ist $3\cdot x$.
• Die Hälfte von $x$ ist $0,5\cdot x$ oder $\frac12 x$.
• $x$ vermindert um $7$ wird durch den Term $x-7$ dargestellt.

Ein klassisches Beispiel

Die Altersaufgabe gehört zu den klassischen Aufgaben, wenn es um das Aufstellen von Termen geht. Stellen wir uns vor, Paul ist zwölf Jahre alt. Seine Schwester Anna ist vier Jahre älter als Paul. Wir fragen uns nun, wie alt Anna ist. Schauen wir uns die einzelnen Lösungsschritte einmal genauer an:

• Zunächst ordnest du dem unbekannten Alter von Anna eine Variable zu. Nehmen wir die Variable $x$.
• Da Anna $4$ Jahre älter als Paul ist, musst du von Annas Alter $4$ abziehen. Dies führt zu dem Term $x-4$.
• Weil wir Pauls Alter kennen, können wir die Gleichung $x-4=12$ aufstellen.

Mithilfe von Äquivalenzumformungen kann diese Lösung $x=16$ gefunden werden.

Wie können Werte von Termen bestimmt werden?

In Termen, welche Variablen beinhalten, können wir bestimmte Werte für die Variablen einsetzen. Wenn wir dies für alle Variablen tun, erhalten wir anstelle des Terms einen konkreten Wert, welcher natürlich ebenfalls ein Term ist: Für $x=2$ nimmt der Term $3+x$ den Wert $3+2=5$ an.

Wenn du einen Term aufgestellt hast, kannst du verschiedene Werte für diesen Term ermitteln: Dazu kann eine Wertetabelle sehr hilfreich sein. Erinnern wir uns noch einmal an das gleichschenklige Dreieck mit dem Umfang $2a+5$. Nun können wir verschiedene Werte für $a$ einsetzen und den zugehörigen Umfang ausrechnen.

$\begin{array}{c|c} a&2a+5\\ \hline 4&13\\ 5&15\\ 7&19\\ 10&25 \end{array}$

Wie du siehst, sind Terme sehr vielseitig einsetzbar. Du findest sie in vielen Anwendungsbereichen der Mathematik. Wenn du einige Regeln beachtest, kommst du künftig ganz gewiss gut mit Termen zurecht.