Kreise und Ellipsen

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Kreise
• Eigenschaften und Formeln eines Kreises
• Spezielle Geraden oder Strecken im und am Kreis
• Ellipsen
• Bezeichnungen in und an der Ellipse
• Die Kepler'schen Gesetze

Kreise

Ein Kreis ist durch seinen Mittelpunkt und seinen Radius gegeben.

Du kannst einen Kreis mit einem Zirkel zeichnen:

• Du misst mit dem Zirkel den Radius $r$ ab und
• zeichnest so um den Mittelpunkt $M$ einen Kreis.

Du kannst auch einen Kreis mit einer Schnur zeichnen. Dafür befestigst du die Schnur mit der Länge des Radius an einer Stelle, dem Mittelpunkt des Kreises. An dem anderen Ende der Schnur machst du einen Bleistift oder eine Kreide fest. Nun gehst du mit dem Stift oder der Kreide und straff gespannter Schnur einmal um den Mittelpunkt herum. Fertig ist der Kreis.

Eigenschaften und Formeln eines Kreises

• Jeder Punkt auf dem Kreisrand hat zu dem Mittelpunkt den gleichen Abstand, nämlich den Radius.
• Der doppelte Radius wird als Durchmesser $d$ der Kreises bezeichnet. Es gilt: $d=2r$.
• Der Flächeninhalt eines Kreises ist gegeben durch diese Formel: $A=\pi r^2$.
• Der Umfang eines Kreises ist gegeben durch diese Formel: $U=2\pi~ r=\pi~ d$.

Spezielle Geraden oder Strecken im und am Kreis

Was der Radius eines Kreises ist, weißt du ja jetzt schon. Hier siehst du einen Kreis.

• Die gelbe Strecke wird als eine Sehne des Kreises bezeichnet. Sie startet und endet mit einem Kreispunkt.
• Die pinke Gerade schneidet den Kreis in zwei Punkten. Dies ist eine Sekante.
• Die blaue Gerade steht senkrecht auf den Radius. Sie berührt den Kreis in einem Punkt. Dies ist eine Tangente.

Ellipsen

Eine Ellipse hat eine ovale Form. Sie besitzt zwei Brennpunkte $F_1$ und $F_2$. Die Summe der Abstände eines jedes Punktes auf dem Rand der Ellipse zu den Brennpunkten $F_1$ und $F_2$ ist stets gleich groß.

Hier kannst du dies anschaulich sehen.

Mit Hilfe dieser Definition kann eine Ellipse konstruiert werden:

• Schlage zwei Nägel in ein Brett.
• Befestige eine Schnur mit jeweils einem Ende an jeweils einem Nagel.
• Nun spannst du einen Stift so in die Schnur ein, dass diese gespannt ist.
• Zeichne bei gespannter Schnur eine Kurve um die beiden Nägel.
• Die Kurve, welche du erhältst, ist eine Ellipse. Die beiden Nägel sind die Brennpunkte. Die Länge der Schnur ist die konstante Summe der Abstände aus der Definition.

Diese Konstruktion wird übrigens als Gärtner-Konstruktion bezeichnet.

Bezeichnungen in und an der Ellipse

Es ist wichtig, dass du dir verschiedene Bezeichnungen in einer Ellipse merkst.

$~$

• Der Punkt, welcher genau in der Mitte der beiden Brennpunkte liegt, ist der Mittelpunkt der Ellipse. In diesem Bild ist dies der Koordinatenursprung.
• Die Achse, auf welcher sich die beiden Brennpunkte befinden, wird als Hauptachse bezeichnet. Die Achse, welche auf dieser senkrecht steht, heißt Nebenachse.
• Die Punkte der Ellipse, welche auf einer dieser beiden Achsen liegen, werden als Scheitelpunkte bezeichnet. Du unterscheidest dabei zwischen (zwei!) Hauptscheitelpunkten auf der Hauptachse sowie (zwei!) Nebenscheitelpunkten auf der Nebenachse.
• Die Strecke von einem Hauptscheitelpunkt zu dem Mittelpunkt der Ellipse wird als große Halbachse und die von einem Nebenscheitelpunkt zu dem Mittelpunkt als kleine Hauptachse bezeichnet.
• Der Abstand eines, egal welches, Brennpunktes zum Mittelpunkt der Ellipse wird als Exzentrizität der Ellipse bezeichnet. Je kleiner die Exzentrizität ist, desto ähnlicher wird die Ellipse einem Kreis.
• Wenn die Exzentrizität gleich $0$ ist, liegt ein Kreis vor.

Die Kepler'schen Gesetze

Ellipsen und die Kepler'schen Gesetze spielen gemeinsam eine wichtige Rolle für die Gesetzmäßigkeiten der Umlaufbahnen der Planeten, die Johannes Kepler aufgestellt hat.

• Das 1. Kepler'sche Gesetz: Die Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnen. Dabei steht die Sonne in einem der Brennpunkte.
• Die Verbindung des Planeten mit der Sonne wird als Fahrstrahl bezeichnet.
• Das 2. Kepler'sche Gesetz: In jeweils gleich großen Zeitintervallen überstreicht der Fahrstrahl immer gleich große Flächenstücke. Dies kannst du hier anschaulich sehen:

• Das 3. Kepler'sche Gesetz: Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen ihrer großen Halbachsen.