Geraden und Strecken

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Was sind Geraden und Strecken?
• Strecke
• Strahl (Halbgerade)
• Gerade
• Vergleich von Geraden, Strahlen und Strecken
• Geometrische Lage einer Geraden
• Waagerechte bzw. horizontale Geraden
• Senkrechte bzw. vertikale Geraden
• Geometrische Lage zweier Geraden
• Identische Geraden
• Parallele Geraden
• Sich schneidende Geraden

Was sind Geraden und Strecken?

Um dieser Frage nachzugehen, schaust du dir hier erstmal ein Beispiel für eine Strecke an:

Paul wohnt sehr nah an seiner Schule. Auf seinem Schulweg muss er nur eine Straße entlanggehen. Da diese Straße auf diesem Stück keine Kurve hat, ist dies mathematisch gesehen eine Strecke. Hier siehst du eine Darstellung des Wegs:

Im Alltag wird manchmal die Redewendung „eine Strecke zurücklegen“ verwendet. Bei der Redewendung ist eine Strecke oft ein beliebiger Weg, der nicht geradlinig sein muss.

In diesem Text lernst du Geraden, Strecken und Strahlen (auch Halbgeraden genannt) kennen. Diese drei Elemente spielen eine wichtige Rolle in der Geometrie, einem Teilbereich der Mathematik.

Strecke

In dem obigen Beispiel von Pauls Schulweg hast du bereits eine Strecke kennengelernt.

• Eine Strecke ist die geradlinige Verbindung zwischen zwei Punkten. Bei Pauls Schulweg sind dies Pauls Zuhause als Anfangspunkt und seine Schule als Endpunkt. Bei seinem Weg nach Hause sind diese Bezeichnungen dann genau andersherum.
• Eine wichtige Eigenschaft einer Strecke ist, dass sie eine Länge hat. Du kannst bspw. den Weg von Pauls Haus zur Schule messen.

Strahl (Halbgerade)

Strahlen sind ebenfalls geradlinige Elemente, haben jedoch folgende Eigenschaften:

• Im Gegensatz zu Strecken haben Strahlen nur einen Anfangspunkt und keinen Endpunkt.
• Ein Strahl ist also eine Strecke, welche über einen der beiden Punkte hinaus ins Unendliche verlängert wird.
• Das kannst du dir zum Beispiel an einem Sonnenstrahl klarmachen. Der Anfangspunkt ist die Sonne und der Strahl reicht beliebig weit. Das tut er natürlich nicht, aber in der Theorie eines Strahls ist dies so.
• Die Länge eines Strahls kannst du nicht messen. Er ist unendlich lang.

Gerade

Geraden haben diese Merkmale:

• Wenn du eine Strecke über beide Punkte hinaus verlängerst, erhältst du eine Gerade.
• Geraden werden üblicherweise mit Kleinbuchstaben $g$, $h$ oder ... bezeichnet.
• Eine Gerade hat weder einen Anfangs- noch einen Endpunkt.
• Die Länge einer Gerade kannst du ebenso wie die eines Strahls nicht messen.

Vergleich von Geraden, Strahlen und Strecken

Hier siehst du alle drei Elemente, die du bisher in dem Text kennengelernt hast in einem Bild:

• Die rote Gerade ist mit $g$ bezeichnet.
• Der grüne Strahl startet in $S$.
• Die blaue Strecke hat den Anfangspunkt $A$ und den Endpunkt $B$ (oder umgekehrt).

Geometrische Lage einer Geraden

Eine Gerade kann verschiedene spezielle Lagen haben. Du lernst hier geometrische Lagebezeichnungen kennen.

Waagerechte bzw. horizontale Geraden

Wenn du ein Bild aufhängen möchtest, soll dieses Bild gerade hängen. Genauer wäre: Das Bild soll waagerecht hängen. Um das zu garantieren, kannst du eine Wasserwaage benutzen.

Eine Wasserwaage zeigt dir an, ob etwas waagerecht ist. Daher kommt auch der Name. Eine andere Bezeichnung für waagerecht ist horizontal. Kennst du bereits den Begriff „Horizont“? Den Horizont kannst du zum Beispiel am Meer gut sehen: Dies ist die Linie zwischen dem sichtbaren Meer und dem Himmel.

Senkrechte bzw. vertikale Geraden

Wenn ein Bauarbeiter eine Mauer baut, verwendet er ein Senklot. Dies ist ein Werkzeug zur Bestimmung eines Lotes. Daher kommt auch der Name senkrecht. Merke dir auch hier ein anderes Wort: vertikal. Vertikal bedeutet rechtwinklig zur Erdoberfläche beziehungsweise ausgerichtet auf den Erdmittelpunkt.

Hier siehst du zwei Geraden $g$ und $h$. Die Gerade $g$ verläuft waagerecht oder auch horizontal und die Gerade $h$ senkrecht oder auch vertikal.

Geometrische Lage zweier Geraden

Die Bezeichnungen waagerecht bzw. senkrecht beziehen sich in den Beispielen oben oft auf den Boden bzw. die Erdoberfläche. Hier siehst du nun, wie zwei Geraden zueinander liegen können. Man spricht auch von den Lagebeziehungen zweier Geraden.

Beginnen wir hier einmal mit einem Überblick:

Du siehst hier verschiedene Geraden:

• Die beiden Geraden $g$ und $h$ sind parallel zueinander.
• Die Geraden $g$ und $k$ schneiden sich.
• Die beiden Geraden $h$ und $l$ schneiden sich in einem rechten Winkel. Diesen erkennst du an dem Viertelkreis mit einem Punkt darin.

In der Ebene unterscheidet man drei Möglichkeiten, wie Geraden zueinander liegen. Im Dreidimensionalen kommt dann noch eine Möglichkeit hinzu.

Identische Geraden

Wenn zwei Geraden $g$ und $m$ unendlich viele Punkte gemeinsam haben, heißen die Geraden identisch. Du schreibst dafür $g=m$.

Parallele Geraden

Zwei Geraden $g$ und $h$ liegen dann parallel zueinander, wenn sie sich in keinem Punkt schneiden. Du kannst die Parallelität auch über den Abstand erklären: Wenn zwei Geraden immer den gleichen Abstand zueinander haben, heißen diese Geraden parallel. Hier schreibst du $g\parallel h$.

Sich schneidende Geraden

Wenn zwei Geraden $g$ und $k$ weder identisch noch parallel zueinander sind, dann schneiden sie sich. Du schreibst $g\not\parallel k$.

Das bedeutet, dass die beiden Geraden einen gemeinsamen Punkt besitzen. Dieser wird Schnittpunkt genannt.

Ein besonderer Fall liegt vor, wenn der Winkel, in dem sich zwei Geraden $h$ und $l$ schneiden, ein rechter Winkel ist. Das bedeutet, dass der Schnittwinkel $90^\circ$ beträgt. Solche Geraden heißen orthogonal zueinander. Die mathematische Schreibweise dafür ist $h\perp l$.