Temperatur, Druck, Volumen (Das Gasgesetz)

Temperatur, Druck, Volumen (Das Gasgesetz) Übung

• Nenne Faktoren, von denen der Zustand eines Gases abhängt.

  Tipps

  Erwärmt man Wasser ein einem Topf, so bilden sich Tropfen am Deckel. Was ist hier passiert und wie hängt das mit der jeweiligen Temperatur der Gases zusammen?

  Bei steigender Temperatur wird ein Luftballon immer größer. Was verändert sich hier, auf das Gas bezogen?

  Wenn viele Menschen in einem Raum sind, wird der Raum schneller warm. Hat die Teilchenanzahl dann auch einen Einfluss auf das Gas?

  Lösung

  Die Temperatur gibt an wie warm oder kalt ein Körper ist.
  Gase dehnen sich bei steigender Temperatur aus. Sie brauchen dann also mehr Platz.

  Das die Temperatur ein Gas beeinflusst lässt sich leicht an einem Kochtopf mit Wasser sehen.
  Erwärmt man dieses Wasser, wird es irgendwann zu Gas. Dieses Gas steigt auf. Der Deckel des Topfes ist jedoch kühler. Das Gas kühlt dort ab und wird wieder zu Wasser.

  Erwärmt man einen geschlossenen Luftballon, dann lassen sich gleich zwei Phänomene beobachten. Zuerst wird der Luftballon immer größer. Das Volumen steigt. Irgendwann kann sich der Ballon nicht weiter dehnen. Der Druck steigt und lässt den Ballon schließlich platzen.

  Somit haben auch der Druck und das Volumen einen Einfluss auf das Gas.

  Die Faktoren die einen Einfluss auf das Gas haben stehen in Wechselwirkung miteinander. Sie beeinflussen sich also direkt. Daraus lässt sich das ideale Gasgesetz herleiten.

• Stelle das ideale Gasgesetz mithilfe der Boltzmann-Konstante dar.

  Tipps

  Die Boltzmann-Konstante wird mit dem Formelzeichen $k$ beschrieben.

  Welche Größen sind bei einem Gas voneinander abhängig und wie kann man dies als Gleichung darstellen?

  Druck, Volumen, Temperatur sind voneinander abhängig. Sie sind proportional zu einer weiteren Größe. Welche Größe ist das?

  Das Produkt von Druck und Volumen geteilt durch die Temperatur ist proportional zur Teilchenzahl. Welche Größe ist die Proportionalitätskonstante?

  Lösung

  Die Boltzmann-Konstante wird mit dem Formelzeichen $k$ beschrieben.
  Es handelt sich, wie der Name schon sagt, um eine Konstante.

  Bei einem Gas sind Druck, Volumen, Temperatur und die Teilchenzahl direkt voneinander abhängig.
  Genauer gilt
  $\dfrac{p \cdot V}{T} \sim N$.
  Das Produkt von Volumen und Druck geteilt durch die Temperatur ist also proportional zur Teilchenzahl.

  Die Teilchenzahl ist hierbei abhängig vom gewählten Gas und der Menge davon.

  Die Proportionalitätskonstante ist die Boltzmann-Konstante $k$.

  Insgesamt gilt also:
  $\dfrac{p \cdot V}{T} = N \cdot k$, das Gasgesetz wird jedoch meist in der Form
  $p \cdot V = N \cdot k \cdot T$
  dargestellt.

• Erkläre, wie sich das ideale Gasgesetz herleiten lässt.

  Tipps

  Bei einem Bruch müssen Nenner und Zähler gleichmäßig größer oder kleiner werden, damit das gleiche Ergebnis herauskommt. Man kann dies mit dem Erweitern in der Mathematik vergleichen.

  Bei einem Produkt muss die eine Größe kleiner werden, wenn die andere größer wird und dennoch dasselbe Ergebnis rauskommen soll.

  Wenn zwei Größen proportional sind, dann gibt die Proportionalitätskonstante an, wie aus der Proportionalität eine Gleichung gemacht werden kann.

  Lösung

  Es gibt eine direkte Abhängigkeit zwischen Druck, Temperatur und Volumen eines Gases.

  Wird eine Größe konstant gehalten, so ändern sich die anderen beiden.

  Es finden sich folgende Abhängigkeiten. Aus diesen können Proportionalitäten gefolgert werden.
  Wenn eine Größe steigt und damit auch die andere Größe steigt, verhalten sich diese Größen direkt proportional.
  Wenn eine Größe steigt und die andere fällt, dann verhalten sich diese Größen indirekt proportional.

  Für die Abhängigkeiten und ihre Proportionalitäten gilt:

  Bleibt $V$ konstant und steigt $p$, dann steigt auch $T$.
  $p \sim T \Rightarrow \frac{p}{T}=const$

  Bleibt $T$ konstant und steigt $p$, dann sinkt $V$.
  $p \sim \frac{1}{V} \Rightarrow p\cdot V=const$

  Bleibt $p$ konstant und steigt $T$, dann steigt auch $V$
  $T \sim V \Rightarrow \frac{V}{T}=const$

  Dies kann dann alles zu einer Gleichung zusammengefasst werden.

• Erkläre, ob das ideale Gasgesetz auch für reale Gase angewendet werden kann.

  Tipps

  Bei idealen Gasen wird angenommen, dass die Teilchen kein Eigenvolumen besitzen und sich bei Stößen untereinander und mit den Wänden vollkommen elastisch verhalten.

  Reale Gase besitzen ein Eigenvolumen.

  Bei realen Gasen ziehen sich die Gasmoleküle untereinander an. Können sie dann noch vollkommen elastisch stoßen?

  Lösung

  Bei idealen Gasen werden zur Vereinfachung einige Annahmen getroffen:
  

  • Die Gasmoleküle besitzen kein Eigenvolumen (sind also perfekte Kugeln ohne Ausdehnung).
  • Sie verhalten sich bei Stößen untereinander und mit den Wänden vollkommen elastisch.

  Dies sind Vereinfachungen, die auf reale Gase nicht zutreffen.

  • Gasmoleküle besitzen ein Eigenvolumen.
  • Gasmoleküle ziehen sich untereinander an. Dadurch entsteht ein sogenannter Binnendruck.

  Die ideale Gasgleichung kann somit keine sehr genauen Ergebnisse liefern und nur für Näherungen angewendet werden.

  Es gibt jedoch einen Physiker, der eine genauere Gleichung gefunden hat, die die genannten Parameter mit einbezieht. Diese Gleichung nennt sich Van-der-Waalssche Zustandsgleichung.

• Beschreibe, wie die genannten Größen ein Gas beeinflussen.

  Tipps

  Mit höher werdender Temperatur wird der Luftballon immer größer. Wann ist der Druck bei diesem Vorgang konstant und was verändert sich stattdessen?

  Wenn man einen elastischen Gegenstand zusammendrückt, kann man ihn verkleinern. Dies ist bei Gas ähnlich. Was passiert also bei größerem Druck?

  Wenn in einen unelastischen Beutel immer mehr Teile gestopft werden, reißt dieser irgendwann. Was hat sich hier verändert?

  Die meisten Zusammenhänge stehen in Wechselwirkung miteinander. Wenn der erste Faktor steigt und dadurch der zweite Faktor sinkt, dann wird auch der erste Faktor kleiner wenn der zweite größer wird.

  Lösung

  Wird ein geschlossener Luftballon steigenden Temperaturen ausgesetzt, dann wird er zuerst immer größer und schließlich platzt er.
  Was passiert hier?

  Die Teilchenanzahl ist während des Vorgangs konstant. Es kann kein Gas hinzukommen oder entweichen.
  Der Ballon ist dehnbar, deswegen ist der Druck zuerst annähernd konstant.
  Damit zeigt sich, dass mit steigender Temperatur ein größeres Volumen eingenommen wird.

  Andersherum folgt, das mit steigendem Volumen auch die Temperatur steigen muss.

  Irgendwann kann sich der Ballon nicht weiter dehnen. Das Volumen ist konstant. Der Druck steigt mit der Temperatur und der Luftballon platzt letztendlich.

  Wenn in einen unelastischen Beutel immer mehr Teilchen gestopft werden, dann reißt dieser irgendwann. Da er nicht elastisch ist, ist das Volumen konstant. Die Teilchenzahl wird immer größer. Damit steigt der Druck auf den Beutel.

  Weiter kann man einen elastischen Gegenstand (eigentlich jeden, jedoch können wir meist nicht so viel Druck aufwenden) zusammendrücken. Mit größerem Druck wird also das Volumen kleiner.

• Berechne den Druck.

  Tipps

  Berechne zuerst die neue Temperatur des Reifens. Finde anschließend die Differenz heraus.

  Rechne die Temperatur in Kelvin um. Temperaturdifferenz haben in der Celsius- und der Kelvinskala den gleichen Zahlenwert.

  Wenn das Volumen konstant ist, dann steigt bei steigendem Druck auch die Temperatur.

  Nach der Zustandsänderung muss die gleiche Konstante rauskommen wie vor der Zustandsänderung. Die Gleichungen können dann gleichgesetzt werden.

  Lösung

  Im Reifen befindet sich ein Gas. Da der Reifen sein Volumen praktisch nicht ändert, kann das Volumen als konstant angesehen werden.

  Es sind Druck und Temperatur eines Zustandes des Gases im Reifen, sowie der Druck des zweiten Zustandes bekannt.

  Es ist aus den Überlegungen zum idealen Gasgesetz bekannt, dass die Temperatur steigt, wenn bei konstantem Volumen auch der Druck steigt. Es lässt sich daraus der mathematische Ausdruck
  $\frac{p}{T}=const. ~,V=const.$
  herleiten.

  Da diese Größe konstant ist, muss bei konstantem Volumen gelten:
  $\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2}$.

  Diese Gleichung kann nach $T_2$ umgestellt werden:
  $T_2=\frac{p_2}{p_1}\cdot T_1$ .

  Die Temperaturen müssen in Kelvin genutzt werden. Es gilt hier:
  $T [K] = T [°C] + 273$.

  Folglich gilt: $T_1=18 ~°C + 273 = 291 ~K$.

  Wenn hier die gegebenen Werte eingesetzt werden ergibt sich: $T_2=\dfrac{253 ~kPa}{220 ~ kPa}\cdot 291 ~ K = 334,65 ~ K$ .

  Für die Temperaturdifferenz folgt dann:
  $T_2-T_1=334,65 ~ K - 291 ~ K=43,65 ~ K$.

  Temperaturdifferenzen sind in Kelvin und in Grad vom Zahlenwert her gleich. Somit ist die Temperatur im Reifen um $43,65 ~ °C$ gestiegen.