Freier Fall als beschleunigte Bewegung

Freier Fall – einfach erklärt

Der freie Fall ist eine faszinierende Sache. Ob beim Fallschirmspringen, Bungee Jumping oder auf dem Jahrmarkt: Menschen sind fasziniert von der Beschleunigung, die man dabei erfährt. Dass der freie Fall auch physikalisch interessant ist, davon handelt dieser Text. Und natürlich erfährst du hier auch, wie du mit dem freien Fall rechnen kannst.

Wahrscheinlich bist du noch nicht selbst mit einem Fallschirm gesprungen, aber auch bei manchen Fahrgeschäften auf der Kirmes kannst du erfahren, wie sich der freie Fall anfühlt. Doch was ist überhaupt ein freier Fall und wie kann er physikalisch beschrieben werden? Diese und weitere Fragen sollen im Folgenden geklärt werden.

Der freie Fall beschreibt die idealisierte Bewegung eines nach unten fallenden Körpers unter Einfluss der Schwerkraft bzw. der Gravitation. Der Luftwiderstand wird dabei vernachlässigt. Ein einfaches Beispiel wäre das Fallenlassen eines Steins.

Es handelt sich dabei um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung, deren konstante Beschleunigung die Fallbeschleunigung ist. Auf der Erde entspricht diese der Erdbeschleunigung bzw. dem Ortsfaktor $g$.

Die Fallbeschleunigung bzw. der Ortsfaktor ist vor allem eine Folge der Gravitationskraft der Erde, deren Wirkung die Gewichtskraft $F_\text{G}$ von Körpern ist.

Es gilt: $F_\text{G}=m \cdot g$.

Dabei ist $m$ die Masse des Körpers.

Der Ortsfaktor ist allerdings nicht ganz konstant auf der Erde. Dies liegt zu einem am breitengradabhängigen Einfluss der Zentripetalkraft, zum anderen am Höhenprofil der Erde und der Abweichung der Erde von der Kugelgestalt.
Als guter Mittelwert, welcher der Realität (auf der Erde) sehr nahe kommt, wird der Wert $g=9{,}81~\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ verwendet.

Freier Fall – die wichtigsten Formeln

Bevor wir uns die Bewegungsgesetze genauer ansehen, mit denen der freie Fall physikalisch beschrieben werden kann, stellen wir erstmal die beiden wichtigsten Formeln vor, die zur Lösung typischer Fragestellungen am häufigsten genutzt werden.

Für die Fallzeit $t_\text{F}$ sind nur positive Lösungen der Quadratwurzel sinnvoll. Das Vorzeichen der Geschwindigkeit $v(t_\text{F})$ ist allerdings abhängig von der Orientierung der Ortsachse, auf die wir im Folgenden noch näher eingehen.

Freier Fall – Bewegungsgesetze

Nun sehen wir uns genauer an, wie die oben genannten Formeln zustande kommen bzw. wie sie aus den Bewegungsgesetzen der gleichmäßig beschleunigten Bewegung folgen.

Orientierung der Ortsachse

Bevor wir die Bewegungsgesetze für den freien Fall aufstellen, mit denen wir Aussagen über Fallzeiten, Aufprallgeschwindigkeiten und ähnliche Größen machen können, müssen wir uns zunächst über die Orientierung der Ortsachse Gedanken machen.

Die einfachsten Gleichungen erhalten wir mit einer nach unten orientierten Ortsachse.
Hierbei stellst du sozusagen die Welt auf den Kopf. Du lässt den Gegenstand in der Höhe $h$ über dem Boden beim Punkt $0$ los, d. h. der Startpunkt des freien Falls ist als $y(0)=0$ definiert.
Er trifft dann nach der Fallzeit $t_\text{F}$ auf dem Erdboden auf, der dann die Ortskoordinate $y(t_\text{F})=h$ erhält.
Der Vorteil dieses Vorgehens ist, dass keine negativen Werte auftreten.

Bei einer nach oben orientierten Ortsachse ist der Nullpunkt hingegen auf dem Boden und die Ortsachse zeigt nach oben.

Der Gegenstand wird zum Zeitpunkt $t=0$, also zu Beginn der Zeitmessung, losgelassen und befindet sich an der Position $y_0=y(0)=h$. Nach der Fallzeit $t_{F}$ erreicht er den Boden und damit die Position $y(t_\text{F})=0$.
Dieses Vorgehen bildet die Realität zwar sehr genau ab, hat aber den Nachteil, dass zum Beispiel die Geschwindigkeit negativ wird. Das liegt daran, dass die Bewegungsrichtung des fallenden Körpers vom Startpunkt auf der Höhe $h$ hin zu Nullpunkt am Erdboden zeigt und nicht vom Nullpunkt aus startet, wie das bei anderen Bewegungen üblicherweise der Fall wäre.

Freier Fall – Bewegungsgesetze Übersicht

Es gelten die Bewegungsgesetze der gleichmäßig beschleunigten Bewegung.

Auf die einzelnden Gleichungen wollen wir nun noch genauer eingehen.

Freier Fall – Weg-Zeit-Gesetz

Das Weg-Zeit-Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung lautet allgemein:

$y(t)=\dfrac{1}{2} a t^2+v_0 t + y_0$

Dabei ist $v_0=v(0)$ die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t=0$, also zu Beginn der Zeitmessung, und $y_0=y(0)$ der Ort zu diesem Zeitpunkt.

Beim freien Fall hat der Körper im Allgemeinen keine Anfangsgeschwindigkeit, daher ist $v_0=0$ und das Weg-Zeit-Gesetz vereinfacht sich zu:

$y(t)=\dfrac{1}{2} a t^2 + y_0$

Bei der nach unten orientierten Ortsachse wird der Körper zum Zeitpunkt $t=0$, also zu Beginn der Zeitmessung, am Nullpunkt, also bei $y(0)=0$, losgelassen. Dementsprechend gilt bei der nach unten orientierten Ortsachse:

$y_0=y(0)=0$

Die Beschleunigung $a$ entspricht der Fallbeschleunigung $g$. Sie zeigt in dieselbe Richtung wie die Ortsachse, nach unten. Deshalb gilt:

$a=g$

Daher lautet das Weg-Zeit-Gesetz bei der nach unten orientierten Ortsachse also:

$y(t)=\dfrac{1}{2} a t^2 + 0 = \dfrac{1}{2} g t^2$

Bei der nach oben orientierten Ortsachse wird der Startpunkt nicht als Nullpunkt angesehen, sondern liegt auf der Höhe $h$. Es gilt also:

$y_0=y(0)=h$

Die Beschleunigung $a$ ist wieder die Fallbeschleunigung $g$. Da aber jetzt die Ortsachse und damit die Geschwindigkeits- und Beschleunigungsachse nach oben orientiert ist, wirkt die Fallbeschleunigung nach dieser Anschauung in die entgegengesetzte Richtung. Daher gilt:

$a=-g$

Deshalb lautet das Weg-Zeit-Gesetz bei nach oben orientierter Ortsachse:

$y(t)=-\dfrac{1}{2} g t^2 + h = h - \dfrac{1}{2} g t^2$

Freier Fall – Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz

Das allgemeine Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung lautet:

$v(t)=at+v_0$

Wir haben schon festgestellt, dass die Anfangsgeschwindigkeit $v_0=v(0)=0$ ist. Im Allgemeinen steht der Körper ja still und wird einfach losgelassen. Also gilt vereinfacht:

$v(t)=at$

Für die Beschleunigung $a$ gilt dasselbe wie oben. Damit ergibt sich für die nach unten orientierte Ortsachse:

$v(t)=gt$

Für die nach oben gerichtete Ortsachse gilt hingegen:

$v(t)=-gt$

Das Vorzeichen der Geschwindigkeit ist hier negativ, weil sie ja in die andere Richtung zeigt als die Ortsachse, nämlich nach unten.

Freier Fall – Beschleunigung-Zeit-Gesetz

Die grundlegende Eigenschaft der gleichmäßig beschleunigten Bewegung ist, dass die Beschleunigung $a$ konstant ist. Beim freien Fall ist diese konstante Beschleunigung die Fallbeschleunigung $g$.

Aufgrund der Orientierung der Achsen gilt für die nach unten orientierte Ortsachse:

$a(t)=g$

Für die nach oben orientierte Ortsachse gilt hingegen:

$a(t)=-g$

Freier Fall – Ort-Geschwindigkeit-Gesetz

Interessant ist auch der Zusammenhang zwischen Ort und Geschwindigkeit. Wie schnell ist der Körper an welchem Ort der Fallstrecke? Auch hier ist die Formel abhängig von der gewählten Ortsachsenorientierung.

Wir schauen uns zunächst den Fall für die nach unten gerichtete Ortsachse an. Wir kennen die folgenden Gesetze:

$y(t)=\dfrac{1}{2} g t^2$

$v(t)=g t$

Wir suchen nun einen Zusammenhang zwischen $y$ und $v$, der ohne die Variable $t$, also die Zeit, auskommt.
Das einfachste Vorgehen ist, eine der beiden Gleichungen nach $t$ aufzulösen. Wir machen dies vernünftigerweise mit der einfacheren Gleichung und lassen für eine bessere Übersichtlichkeit das Argument (“von t”) weg:

$v=g t~~~\vert~:g$

$t=\dfrac{v}{g}$

Diesen Ausdruck setzen wir nun in das Weg-Zeit-Gesetz ein:

$y=\dfrac{1}{2}g\color{red}{t^2}\color{black}{=\dfrac{1}{2}g}\color{red}{\left(\dfrac{v}{g}\right)^2}\color{black}{=\dfrac{v^2}{2g}}$

Für die nach unten orientierte Ortsachse ergibt sich also folgendes Weg-Geschwindigkeit-Gesetz:

$y=\dfrac{v^2}{2g}$

Für die nach oben orientierte Ortsachse haben wir schon folgende Gesetze hergeleitet:

$y(t)=h-\dfrac{1}{2}gt^2$

$v(t)=-gt$

Unser Vorgehen bleibt genauso wie bei der nach unten orientierten Ortsachse:

$v=-gt~~~\vert~:g$

$t=-\dfrac{v}{g}$

Diesen Ausdruck setzen wir in das Weg-Zeit-Gesetz ein:

$y=h-\dfrac{1}{2}g\color{red}{t^2}\color{black}{=h-\dfrac{1}{2}g}\color{red}{\left(-\dfrac{v}{g}\right)^2}\color{black}{=h-\dfrac{v^2}{2g}}$

Für die nach oben orientierte Ortsachse ergibt sich also folgendes Weg-Geschwindigkeit-Gesetz:

$y=h-\dfrac{v^2}{2g}$

Anwendbarkeit der Gesetze

Nun wollen wir noch näher auf die Anwendungsbereiche der hergeleiteten Formeln eingehen und auf welche Zusammenhänge wir dabei achten sollten.

• Die Gleichungen des freien Falls führen nur beim Fall durch ein Vakuum zu wirklich exakten Ergebnissen.
• Wie in den Gleichungen zu erkennen ist, ist der freie Fall von der Masse $m$ des Körpers unbeeinflusst! Daher fallen beispielsweise eine Feder und eine gleich große Stahlkugel (im Vakuum, also ohne Luftwiderstand) gleich schnell.
• In der Luft gelten die Gesetze des freien Falls nur für Körper mit einem geringen Luftwiderstand, zum Beispiel für einen Stein, oder für geringe Fallhöhen bzw. kurze Fallstrecken, wie etwa beim Sprung vom Drei-Meter-Brett im Schwimmbad.
• Bei allen übrigen Fällen bewirkt der Luftwiderstand, dass sich irgendwann die Reibungskraft und die Schwerkraft aufheben, sodass sich der Körper ab diesem Zeitpunkt mit einer konstanten Geschwindigkeit, also geradlinig-gleichförmig, bewegt (da keine beschleunigende Kraft mehr wirkt).

Freier Fall – Herleitung der wichtigsten Formeln

Wir wollen, ausgehend von den aufgestellten Bewegungsgleichungen, die beiden wichtigsten Formeln des freien Falls für beide Achsenorientierungen herleiten.

Herleitung der wichtigsten Formeln – nach unten orientierte Ortsachse

Nach Ablauf der Fallzeit $t_\text{F}$ hat der Körper den Boden erreicht. Dann gilt (bei der gewählten Achsenorientierung):

$y(t_\text{F})=h$

Nutzen wir nun das entsprechende Weg-Zeit-Gesetz, ergibt sich:

$h=\dfrac{1}{2} g t_{\text{F}}^2$

Diese Gleichung lösen wir nun nach $t_\text{F}$ auf:

$h=\dfrac{1}{2}gt_{\text{F}}^2~~~\big\vert ~\cdot \dfrac{2}{g}$

$t_{\text{F}}^2=\dfrac{2h}{g}~~~\big\vert ~\sqrt{~}$

$t_\text{F}=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}$

Für die Aufprallgeschwindigkeit $v(t_\text{F})$ gilt dann:

$v(t_\text{F})=gt_\text{F}=g\sqrt{\dfrac{2h}{g}}=\sqrt{\dfrac{2\color{red}{g^{2}}\color{black}{h}}{\color{red}{g}}}\color{black}{=\sqrt{2gh}}$

(An der rot markierten Stelle wurde einmal $g$ von außen in die Wurzel gezogen, um es kürzen zu können.)

Herleitung der wichtigsten Formeln – nach oben orientierte Ortsachse

Nach Ablauf der Fallzeit $t_\text{F}$ hat der Körper den Boden erreicht. Dann gilt (bei der gewählten Achsenorientierung):

$y(t_\text{F})=0$

Nutzen wir nun das entsprechende Weg-Zeit-Gesetz, ergibt sich:

$0=h-\dfrac{1}{2} g t_{\text{F}}^2$

Diese Gleichung lösen wir nun nach $t_\text{F}$ auf:

$0=h-\dfrac{1}{2}gt_{\text{F}}^2~~~\big\vert ~+\dfrac{1}{2} g t_{\text{F}}^2$

$h=\dfrac{1}{2}gt_{\text{F}}^2~~~\big\vert~\cdot \dfrac{2}{g}$

$t_{\text{F}}^2=\dfrac{2h}{g}~~~\big\vert ~\sqrt{~}$

$t_\text{F}=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}$

Für die Aufprallgeschwindigkeit $v(t_\text{F})$ gilt dann:

$v(t_\text{F})=-gt_\text{F}=-g\sqrt{\dfrac{2h}{g}}=-\sqrt{\dfrac{2\color{red}{g^{2}}\color{black}{h}}{\color{red}{g}}}\color{black}{=-\sqrt{2gh}}$

(An der rot markierten Stelle haben wir wieder einmal $g$ von außen in die Wurzel gezogen, damit wir es zumindest einmal kürzen können.)

Freier Fall – berechnen

Im Folgenden werden typische Aufgaben für den freien Fall beschrieben und gelöst. Natürlich kannst du zunächst einmal selbst probieren, die Aufgaben durchzurechnen, bevor du dir jeweils die Lösungswege ansiehst.

Physikalische Bestimmung einer Höhe

Wenn man ein Steinchen von einer Brücke in einen Bach fallen lässt, kann man aus der Fallzeit $t_\text{F}$ in etwa die Höhe der Brücke berechnen. Durch den realen Luftwiderstand und die meist kurzen Fallzeiten ist der Messfehler jedoch relativ groß.

Wenn das Steinchen zwei Sekunden benötigt, bis es ins Wasser eintaucht, lässt sich die Fallhöhe (die ungefähr der Höhe der Brücke entspricht) wie folgt berechnen:

Gegeben:

$t_\text{F}=2~\text{s}$

$g=9{,}81~\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$

Die einfachere Rechnung dürfte sich mit nach unten orientierter Ortsachse ergeben. Dann können wir wie folgt vorgehen:

Gesucht:

$h=y(t_\text{F})=y(2~\text{s})$

Formel:

$y(t)=\dfrac{1}{2}gt^2$

Rechnung:

$h=y(2\,\text{s})=\dfrac{1}{2} \cdot 9{,}81~\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot (2~\text{s})^2=19{,}62~\text{m} \approx 20~\text{m}$

Die Brücke ist also in etwa $20~\text{m}$ hoch.

Berechnung der Fallzeit

Wie lange ist ein Stein unterwegs zum Boden, der aus einer Höhe von $h=25~\text{m}$ fallengelassen wird?

Gegeben:

$h=25~\text{m}$

$g=9{,}81~\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$

Gesucht:

$t_\text{F}$

Die Formel für die Fallzeit $t_\text{F}$ ist für beide möglichen Achsenorientierungen gleich.

Formel:

$t_\text{F}=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}$

Rechnung:

$t_\text{F}=\sqrt{\dfrac{2\cdot 25~\text{m}}{9{,}81~\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}} = 2{,}26~\text{s} \approx 2{,}3~\text{s}$

Der Stein ist in etwa $2{,}3~\text{s}$ lang unterwegs.

Anwendungsaufgabe zum freien Fall

Wir wollen uns die Bedeutung der quadratischen Abhängigkeit der Fallstrecke von der Zeit in einer kleinen experimentellen Anwendung verdeutlichen:
An einer Schnur befestigen wir einzelne Gewichte in gleichbleibendem Abstand zueinander. Dann halten wir die Schnur an einem Ende fest und senkrecht über dem Boden. Wenn wir die Schnur nun fallen lassen, wird ein immer schnelleres Aufschlagen der aufeinanderfolgenden Gewichte auf dem Boden zu hören sein, da die Schnur immer schneller fällt, also im Fallen beschleunigt.

Wie (also in welchen Abständen) müsste man die Gewichte an der Schnur befestigen, damit sie möglichst gleichmäßig, zum Beispiel immer im zeitlichen Abstand von $0{,}2~\text{s}$, auf dem Boden aufschlagen?

Wir gehen von einer nach unten orientierten Ortsachse aus. Demnach nutzen wir folgende Gleichung:

$y(t)=\dfrac{1}{2} g t^2$

Bei unserem Experiment interessiert uns die Fallhöhe zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gewichten an der Schnur. Diese lässt sich aus der Fallzeit zwischen zwei entsprechenden Aufprallgeräuschen berechnen, die ja für jeweils zwei aufeinanderfolgende Gewichte immer $0{,}2~\text{s}$ betragen soll. Vom Anfang der Schnur gesehen werden sich die verschiedenen Fallzeiten und Fallhöhen aufaddieren, sobald wir die Schnur loslassen. Demnach gibt die Fallhöhe $y(t)$ den jeweiligen Abstand eines Gewichtes vom Anfang der Schnur an und die dazugehörige Fallzeit $t_\text{F}$ ist ein Vielfaches des gewünschten zeitlichen Abstandes von $0{,}2~\text{s}$. Beispielsweise sollten beim Aufprallen des dritten Gewichtes auch dreimal $0{,}2~\text{s}$, also $0{,}6~\text{s}$ vergangen sein. So lassen sich mit der Gleichung des Weg-Zeit-Gesetzes die Fallhöhen berechnen:

$y_1(t)=\dfrac{1}{2} g t_1^2 = \dfrac{1}{2} \cdot 9{,}81~\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot (1 \cdot 0{,}2~\text{s})^2=19{,}6~\text{cm}$

$y_2(t)=\dfrac{1}{2} g t_2^2 = \dfrac{1}{2} \cdot 9{,}81~\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot (2 \cdot 0{,}2~\text{s})^2=78{,}5~\text{cm}$

$y_3(t)=\dfrac{1}{2} g t_3^2 = \dfrac{1}{2} \cdot 9{,}81~\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot (3 \cdot 0{,}2~\text{s})^2=177~\text{cm}$

Der Anfang der Schnur entspricht der Position $y(0)=0$. Von diesem Punkt aus gesehen müssten die ersten drei Gewichte also an folgenden Positionen auf der Schnur befestigt werden:

$\begin{array}{l|c|c|c|c} t \text{ in s}&0&0{,}2&0{,}4&0{,}6 \\ \hline y(t) \text{ in cm}&0&19{,}6&78{,}5&177 \end{array}$

Will man die Abstände zwischen den Gewichten berechnen, müssen die entsprechenden Differenzen zwischen zwei aufeinanderfolgenden (aufaddierten) Fallhöhen gebildet werden. Demnach liegt das erste Gewicht $y_1(t)-0=19{,}6~\text{cm}$ vom Anfang der Schnur entfernt. Das zweite Gewicht befindet sich $y_2(t)-19{,}6~\text{cm}=58{,}9~\text{cm}$ entfernt vom ersten und das dritte Gewicht wiederum $y_3(t)-58{,}9~\text{cm}=118~\text{cm}$ vom zweiten entfernt. Die Abstände zwischen den Gewichten dürfen also nicht gleich groß sein, sondern müssen quadratisch zunehmen, damit die zugehörigen Aufprallgeräusche in gleichmäßigen zeitlichen Abständen zu hören sind.

Ausblick – das lernst du nach Freier Fall als beschleunigte Bewegung

Nach dem spannenden Thema des freien Falls, vertiefst du dein Wissen mit Endgeschwindigkeit und Luftwiderstand. Zudem warten die Themen Bremsvorgang und Rechnen mit geradlinig gleichförmigen und gleichmäßig beschleunigten Bewegungen auf dich. Bereite dich auf spannende neue Einblicke in die Physik vor!

Häufig gestellte Fragen zum Thema Freier Fall