Bremsvorgang – gleichmäßig verzögerte Bewegung

Bremsvorgang – gleichmäßig verzögerte Bewegung Übung

• Beschreibe die zurückgelegte Strecke eines bremsenden Autos.

  Tipps

  Das Auto fährt vorwärts in Richtung der Bremsung.

  Die Beziehung zwischen der zurückgelegten Strecke und der Zeit ist nicht linear, sondern quadratisch.

  Die zurückgelegte Strecke nimmt ab, da das Auto langsamer wird und schließlich zum Stillstand kommt.

  Lösung

  • Die gesamte zurückgelegte Strecke ist negativ.

  Die zurückgelegte Strecke eines Autos während des Bremsvorgangs kann theoretisch negativ sein, wenn das Auto seine Bewegungsrichtung umkehrt und rückwärts fährt. In praktischen Situationen wird dies jedoch nicht vorkommen, da die meisten Bremsungen dazu dienen, das Auto zum Stillstand zu bringen, ohne die Bewegungsrichtung zu ändern.
  $\implies$ Diese Aussage ist falsch.

  
  

  • Die Zunahme der zurückgelegten Strecke wird immer geringer.

  Wenn ein Auto mit einer konstanten Bremsverzögerung bremst, dann nimmt die Zunahme der zurückgelegten Strecke im Laufe der Zeit tatsächlich immer weiter ab. Dies liegt daran, dass die Bremsverzögerung dazu führt, dass das Auto langsamer wird und schließlich zum Stillstand kommt. Die Beziehung zwischen der zurückgelegten Strecke und der Zeit ist nicht linear, sondern quadratisch.
  $\implies$ Diese Aussage ist richtig.

  
  

  • Die zurückgelegte Strecke nimmt linear ab.

  Die zurückgelegte Strecke nimmt nicht linear ab, sondern in einem nicht linearen Muster. Die Formel, die die Bewegung eines Autos während des Bremsvorgangs beschreibt, ist für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung eine quadratische Funktion, die die Änderung der zurückgelegten Strecke über die Zeit darstellt.
  $\implies$ Diese Aussage ist falsch.

  
  

  • Die zurückgelegte Strecke bleibt unverändert.

  Die zurückgelegte Strecke eines bremsenden Autos bleibt nicht unverändert: Sie nimmt ab, da das Auto langsamer wird und schließlich zum Stillstand kommt. Die zurückgelegte Strecke kann jedoch konstant sein, wenn das Auto bereits zum Stillstand gekommen ist und die Bremsung beendet ist. In diesem Fall bleibt die zurückgelegte Strecke konstant bei null.
  $\implies$ Diese Aussage ist falsch.

• Vervollständige die beiden Diagramme.

  Tipps

  In einem Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm wird die Geschwindigkeit des Fahrzeugs (oder Objekts) über der Zeit dargestellt.

  In einem Weg-Zeit-Diagramm wird der zurückgelegte Weg des Fahrzeugs (oder Objekts) über der Zeit dargestellt.

  Lösung

  Ein Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm und ein Weg-Zeit-Diagramm einer gleichmäßig verzögerten Bewegung, wie sie bei einem Bremsvorgang auftreten, können wie folgt beschrieben werden:

  
  

  Bremsvorgang im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm (blauer Graph)

  In einem Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm wird die Geschwindigkeit des Fahrzeugs (oder Objekts) über der Zeit dargestellt.
  Bei einem Bremsvorgang mit gleichmäßiger Verzögerung beginnt die Geschwindigkeit des Fahrzeugs positiv, da es sich zunächst vorwärts bewegt.
  Die Geschwindigkeit nimmt jedoch kontinuierlich ab, da die Bremskraft wirkt und das Fahrzeug verlangsamt.
  Die Verzögerung erfolgt gleichmäßig. Daher zeigt das Diagramm eine lineare Abnahme der Geschwindigkeit über der Zeit an.
  Die Geschwindigkeit erreicht schließlich den Wert null, wenn das Fahrzeug vollständig zum Stillstand kommt.
  Die Kurve im Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm ist also eine Gerade, die von der Anfangsgeschwindigkeit des Fahrzeugs ausgeht und sich gleichmäßig in Richtung null bewegt.

  
  

  Bremsvorgang im Weg-Zeit-Diagramm (violetter Graph)

  In einem Weg-Zeit-Diagramm wird der zurückgelegte Weg des Fahrzeugs (oder Objekts) über der Zeit dargestellt.
  Da die Geschwindigkeit des Fahrzeugs im Laufe des Bremsvorgangs abnimmt, nimmt auch die Steigung der Kurve im Weg-Zeit-Diagramm ab.
  Am Anfang ist die Steigung der Kurve hoch. Dies deutet darauf hin, dass das Fahrzeug eine große Strecke in kurzer Zeit zurücklegt, da es schnell ist.
  Mit fortschreitender Zeit und zunehmender Bremsung nimmt die Steigung der Kurve ab, da das Fahrzeug langsamer wird und somit weniger Strecke pro Zeiteinheit zurücklegt.
  Schließlich erreicht die Kurve den Punkt, an dem die Steigung null ist. Dies weist darauf hin, dass das Fahrzeug zum Stillstand gekommen ist und keinen zusätzlichen Weg zurücklegt.
  Die Form der Kurve im Weg-Zeit-Diagramm ist gekennzeichnet durch eine allmähliche Abnahme. Sie spiegelt wider, wie die zurückgelegte Strecke im Laufe der Zeit abnimmt.

• Berechne den Bremsweg des Autos.

  Tipps

  Für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung gilt für die Geschwindigkeit $v$:

  $v=a\cdot t+v_0$

  Da $v$ die Endgeschwindigkeit angibt und das Auto zum Stehen kommen soll, ist $v=0$.

  Um $v_0$ in $\frac{\text{m}}{\text{s}}$ umzurechnen, teilst du durch $3{,}6$.

  Für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung gilt für den Weg $s$:

  $s=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot t^2+v_0\cdot t+s_0$

  Dabei ist $s_0$ der Anfangsweg des Autos, der hier vernachlässigt wird, da das Auto bei $t=0$ bereits fährt.

  Lösung

  Zunächst berechnen wir die Bremszeit $t$ mithilfe dieser Formel:

  $v=a\cdot t+v_0~~~~~~~~~|-v_0$

  $v-v_0=a\cdot t$

  Da $v$ die Endgeschwindigkeit angibt und das Auto zum Stehen kommen soll, ist $v=0$:

  $0-v_0=a\cdot t~~~~~~~~~|:a$

  $\dfrac{-v_0}{a}=t$

  Dabei ist $v_0$ die Anfangsgeschwindigkeit des Autos und $a$ die Bremsverzögerung. Aus der Aufgabenstellung sind folgende Werte gegeben:

  • $v_0=30~\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$
  • $a=-3~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$

  Um $v_0$ in $\frac{\text{m}}{\text{s}}$ umzurechnen, teilen wir durch $3{,}6$:

  $v_0=30~\dfrac{\text{km}}{\text{h}}:3{,}6=8{,}33~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$

  Nun setzen wir die Werte in die Formel ein:

  $t=\dfrac{-8{,}33~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}}{-3~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}}$

  $\Rightarrow t \approx 2{,}78~\text{s}$

  Jetzt können wir den Bremsweg $s$ berechnen, indem wir diese Formel verwenden:

  $s=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot t^2+v_0\cdot t+s_0$

  Dabei ist $s_0$ der Anfangsweg des Autos, der hier vernachlässigt wird, da das Auto bei $t=0$ bereits fährt.

  Wir setzen die Werte ein:

  $s=\dfrac{1}{2}\cdot \left( -3~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}\right)\cdot ({2{,}78~\text{s}})^2+8{,}33~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 2{,}78~\text{s}$

  $\Rightarrow s \approx 11{,}57~\text{m}$

  Der Bremsweg beträgt also ungefähr $11{,}57~\text{m}$.

• Bestimme, ob der Bremsweg ausreicht, um das Hindernis nicht zu treffen.

  Tipps

  Für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung gilt für die Geschwindigkeit $v$:

  $v=a\cdot t+v_0$

  Für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung gilt für den Weg $s$:

  $s=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot t^2+v_0\cdot t+s_0$

  Dabei ist $s_0$ der Anfangsweg des Autos, der hier vernachlässigt wird, da das Auto bei $t=0$ bereits fährt.

  Weil der Fahrer allerdings noch eine Reaktionszeit hat, bevor mit dem Bremsen anfängt, musst du zu der Formel noch $+ v_0\cdot t_R$ hinzufügen.

  Lösung

  Zunächst berechnen wir die Bremszeit $t$ mithilfe folgender Formel:

  $v=a\cdot t+v_0~~~~~~~~~|-v_0$

  $\Rightarrow v-v_0=a\cdot t$

  Da $v$ die Endgeschwindigkeit angibt und das Auto zum Stehen kommen soll, ist $v=0$:

  $0-v_0=a\cdot t~~~~~~~~~|:a$

  $\Rightarrow \dfrac{-v_0}{a}=t$

  Hier beschreibt $v_0$ die Anfangsgeschwindigkeit des Autos und $a$ die Bremsverzögerung. Aus der Aufgabenstellung sind folgende Werte gegeben:

  • $v_0=50~\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$
  • $a=-6~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$

  Um $v_0$ in $\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ umzurechnen, teilen wir durch $3{,}6$:

  $v_0=50~\dfrac{\text{km}}{\text{h}}:3{,}6=13{,}89~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$

  Nun setzen wir die Werte in die Formel ein:

  $t=\dfrac{-13{,}89~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}}{-6~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}}$

  $\Rightarrow t \approx 2{,}32~\text{s}$

  Jetzt können wir den Bremsweg $s$ berechnen, indem wir folgende Formel verwenden:

  $s=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot t^2+v_0\cdot t+s_0$

  Dabei ist $s_0$ der Anfangsweg des Autos, der hier vernachlässigt wird, da das Auto bei $t=0$ bereits fährt. Da der Fahrer allerdings noch eine Reaktionszeit hat, bevor er mit dem Bremsen anfängt, müssen wir zu der Formel noch ${+ v_0\cdot t_R}$ hinzufügen:

  $s=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot t^2+v_0\cdot t+v_0\cdot t_R$

  Wir setzen die Werte ein:

  $s=\dfrac{1}{2}\cdot \left(-6~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}\right)\cdot \left({2{,}32~\text{s}}\right)^2+13{,}89~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 2{,}32~\text{s}+13{,}89~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 1~\text{s}$

  $\Rightarrow s \approx 30{,}03~\text{m}$

  Das Auto kommt also noch rechtzeitig zum Stehen mit einem Bremsweg von ungefähr $30{,}03~\text{m}$.

• Benenne die wichtigsten Aspekte einer gleichmäßig verzögerten Bewegung.

  Tipps

  Bei der Verzögerung gibt es eine negative Beschleunigung.

  Beim Bremsvorgang nimmt die Geschwindigkeit ab.

  Im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm erkennt man eine lineare Abnahme.

  Im Weg-Zeit-Diagramm erkennt man eine nach unten geöffnete Parabel.

  Lösung

  Der Bremsvorgang in der Physik beschreibt die gleichmäßig verzögerte Bewegung eines Objekts, wenn es mit einer konstanten Kraft abgebremst wird. Dabei wird eine negative Beschleunigung der Anfangsgeschwindigkeit entgegengesetzt. Der Hauptunterschied zwischen einer gleichmäßig beschleunigten und einer verzögerten Bewegung liegt im Vorzeichen der Beschleunigung:

  Bei der Verzögerung ist die Beschleunigung negativ. Die Geschwindigkeit des Objekts nimmt im Laufe des Bremsvorgangs kontinuierlich ab, was in einem Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm durch eine lineare Abnahme dargestellt wird. Entsprechend nimmt auch der zurückgelegte Weg des Objekts ab, was in einem Weg-Zeit-Diagramm durch eine nach unten geöffnete Parabel beschrieben wird.

• Berechne, wie lange eine Ampel Gelb zeigen muss.

  Tipps

  Die Ampel sollte mindestens so lange auf Gelb stehen, wie das Auto zum Bremsen vor der Ampel braucht, damit die fahrende Person nach ihrer Entscheidung noch genügend Zeit hat.

  Die Formel für die Geschwindigkeit $v$ einer beschleunigten Bewegung lautet:

  $v= a\cdot t + v_0$

  Dabei ist $v_0$ die Anfangsgeschwindigkeit.

  Beim Bremsen wird untersucht, wann das Auto zum Stehen kommt und die Geschwindigkeit $v=0$ erreicht wird.

  Mit dem Ansatz kann für das Ausrechnen die Formel für die Geschwindigkeit nach der Bremszeit $t$ umgestellt werden.

  Um die Zeit für die Ampeln zu ermitteln, muss die Reaktionszeit mitberücksichtigt werden.

  Lösung

  Um die Zeit zu berechnen, die die Ampel Gelb zeigen muss, damit eine sichere Entscheidung zwischen Anhalten oder Durchfahren möglich ist, müssen wir die zur Verfügung stehende Reaktionszeit der fahrenden Person sowie die Bremszeit berücksichtigen.

  Zuerst müssen wir die Bremszeit $t$ berechnen, die das Fahrzeug benötigt, um bei einer Bremsverzögerung von ${a = -4 ~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}}$ von $30~\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ auf $0~\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ abzubremsen. Die Formel für die Geschwindigkeit einer beschleunigten Bewegung lautet:

  $v= a\cdot t + v_0$

  Dabei ist $v_0 = 30~\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ die Anfangsgeschwindigkeit.

  Da wir die Zeit berechnen wollen, die das Auto braucht, um die Geschwindigkeit $v=0$ zu erreichen, setzen wir den Ansatz in die Formel ein:

  $0 = a \cdot t + v_0$

  $\Leftrightarrow t = \dfrac{-v_0}{a}$

  Jetzt müssen wir die Anfangsgeschwindigkeit umrechnen:

  $v_0=30~\dfrac{\text{km}}{\text{h}} = \dfrac{30}{3{,}6}~\dfrac{\text{m}}{\text{s}} = 8{,}33~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$

  Insgesamt ergibt sich dann:

  $\Rightarrow t = \dfrac{-8{,}33~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}}{-4 ~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}} \approx 2{,}08~\text{s}$

  Nun müssen wir noch die Reaktionszeit berücksichtigen:

  $2{,}08~\text{s}+1{,}5~\text{s}=3{,}58~\text{s}$

  Die Ampel sollte somit $3{,}58~\text{s}$ lang Gelb zeigen, damit eine sichere Entscheidung zwischen Anhalten oder Durchfahren möglich ist.