Beschleunigte Bewegung – Darstellung im Diagramm

Beschleunigte Bewegung – Darstellung im Diagramm Übung

• Nenne eine Definition der Beschleunigung.

  Tipps

  Die Beschleunigung ist die Geschwindigkeit pro Zeiteinheit.

  Lösung

  Die Beschleunigung beschreibt, wie schnell sich die Geschwindigkeit eines Objekts in einem bestimmten Zeitraum ändert. Die Beschleunigung hat das Formelzeichen $a$ und die Einheit $\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$.

  
  

  • Die Beschleunigung ist die Rate, mit der die Geschwindigkeit eines Objekts zunimmt oder abnimmt.

  $\implies$ Diese Antwort ist richtig.

  
  

  • Die Beschleunigung ist die Rate, mit der sich die Zeit eines Objekts ändert.

  $\implies$ Diese Antwort ist falsch.

  
  

  • Die Beschleunigung ist die Entfernung, die ein Objekt in einer bestimmten Zeit zurücklegt.

  $\implies$ Diese Antwort ist falsch.

  
  

  • Die Beschleunigung ist die Masse eines Objekts.

  $\implies$ Diese Antwort ist falsch.

• Entscheide, welche Begriffe zu welchen Formeln passen.

  Tipps

  Die Beschleunigung ist die Änderung der Geschwindigkeit pro Zeiteinheit.

  Die Formel für die zurückgelegte Strecke ist quadratisch in der Zeit.

  Die durchschnittliche Geschwindigkeit setzt sich aus dem Quotienten der zurückgelegten Strecke und der Zeit in einem Abschnitt zusammen.

  Die Geschwindigkeit ist proportional zu der Zeit.

  Lösung

  Folgende Begriffe und Formeln passen zueinander:

  
  

  1. $a=\dfrac{v}{t}~\Longleftrightarrow$ Beschleunigung

  
  

  2. $s=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot t^2+v_0\cdot t~\Longleftrightarrow$ zurückgelegte Strecke

  
  

  3. $v=\dfrac{\Delta s}{\Delta t}~\Longleftrightarrow$ durchschnittliche Geschwindigkeit

  
  

  4. $v=a\cdot t + v_0~\Longleftrightarrow$ Geschwindigkeit

• Bestimme die Endgeschwindigkeit aus dem Diagramm.

  Tipps

  Die Geschwindigkeit kann wie im Beispiel bei einem Beschleunigungs-Zeit-Diagramm als Rechteck unter der horizontalen Linie ermittelt werden.

  Die Geschwindigkeit kann über die Formel $v=a\cdot t$ bestimmt werden.

  Die Wertepaare können auf den Achsen der Beschleunigung und der Zeit abgelesen und sie können mit der Formel für die Geschwindigkeit berechnet werden.

  Lösung

  Bei einer gleichmäßigen Beschleunigung ist die Fläche unter der Kurve eines Beschleunigungs-Zeit-Diagramms ein Rechteck. Die Größe dieses Rechtecks entspricht der Änderung der Geschwindigkeit während des entsprechenden Zeitintervalls. Die Wertepaare können aus dem Diagramm abgelesen werden und sie können über die Flächenformel eines Rechtecks, was der Formel für die Geschwindigkeit entspricht, berechnet werden.

  
  

  Folgende Informationen lesen wir aus dem Beschleunigungs-Zeit-Diagramm ab:

  • Die Beschleunigung ist konstant bei $a=2{,}5~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$.
  • Die Zeit beträgt $t=\pu{25 s}$.

  
  

  Diese Werte können wir jetzt in die Formel für die Geschwindigkeit einsetzen:

  $v=a\cdot t=\pu{2,5\dfrac{m}{s^2}}\cdot \pu{25 s}=\pu{62,5 \dfrac{m}{s}}$

  Somit beträgt die Endgeschwindigkeit nach $25$ Sekunden gleichmäßiger Beschleunigung $62$ Meter pro Sekunde.

• Vervollständige die Tabelle der ungleichmäßigen Beschleunigung.

  Tipps

  Trage zunächst passend zu der Zeit $t$ die Geschwindigkeit $v$ ein.

  Die einzelnen Abschnitte stellen einen linearen Verlauf der Geschwindigkeit dar.

  Um die verschiedenen Werte für die Beschleunigung $a$ zu ermitteln, müssen wir jeweils die Differenz aus Endpunkt und Anfangspunkt eines Abschnitts über die Formel $a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t} $ berechnen.

  Mit der Beschleunigung $a$ können wir nun auch die zurückgelegte Strecke ermitteln: Die Abschnitte müssen wir als Teilstrecken betrachten und die Strecke kann über die Formel $\Delta s=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot \left(\Delta t\right)^2+v_{vorher}\cdot \Delta t$ berechnet werden.

  Lösung

  Das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm stellt eine ungleichmäßige Beschleunigung dar, denn die Geschwindigkeit nimmt manchmal stark und manchmal weniger stark zu. Allerdings kann man sehen, dass die Geschwindigkeitszunahme zwischen den verschiedenen Zeitpunkten linear verläuft.
  Wir betrachten die Abschnitte einzeln und können die Beschleunigung $a$ und die zurückgelegte Strecke $s$ der Teilabschnitte bestimmen.

  
  

  Zunächst lesen wir die passenden Geschwindigkeiten zu den Zeiten ab. Haben wir die Wertepaare für die Geschwindigkeit und Zeit, berechnen wir die Beschleunigung $a$ über diese Formel:

  $\Delta a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}=\dfrac{v_2-v_1}{t_2-t_1}$

  Die Werte eines Endpunkts und Anfangspunkts für einen Abschnitt setzen wir ein und berechnen die Beschleunigung:

  $a_1=\dfrac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\dfrac{\pu{5 \dfrac{m}{s}}-\pu{0 \dfrac{m}{s}}}{\pu{5 s}-\pu{0 s}}=\pu{1\dfrac{m}{s^2}}$

  $a_3=\dfrac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\dfrac{\pu{10 \dfrac{m}{s}}-\pu{5 \dfrac{m}{s}}}{\pu{15 s}-\pu{10 s}}=\pu{1\dfrac{m}{s^2}}$

  $a_5=\dfrac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\dfrac{\pu{20 \dfrac{m}{s}}-\pu{17,5 \dfrac{m}{s}}}{\pu{25 s}-\pu{20 s}}=\pu{0,5\dfrac{m}{s^2}}$

  
  

  Aus der Beschleunigung und der abgelesenen Geschwindigkeit bestimmen wir nun die zurückgelegte Strecke über folgende Formel:

  $\Delta s=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot (\Delta t)^2+v_{vorher}\cdot \Delta t$

  Jetzt ermitteln wir die zurückgelegte Strecke für Abschnitte durch das Einsetzen der Zeit, der Beschleunigung und der Geschwindigkeit:

  $\Delta s_2=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot (\Delta t_2)^2+v_{vorher}\cdot \Delta t=\dfrac{1}{2}\cdot \pu{0\dfrac{m}{s^2}} \cdot (\pu{10 s - 5 s})^2+\pu{5 \dfrac{m}{s}}\cdot\pu{10 s - 5 s}=\pu{25\dfrac{m}{s^2}}$

  $\Delta s_4=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot (\Delta t_4)^2+v_{vorher}\cdot \Delta t=\dfrac{1}{2}\cdot \pu{1,5\dfrac{m}{s^2}} \cdot (\pu{20 s - 15 s})^2+\pu{10 \dfrac{m}{s}}\cdot\pu{20 s - 15 s}=\pu{68,75\dfrac{m}{s^2}}$

• Ermittle den Diagrammtyp für die Diagramme.

  Tipps

  Ein Weg-Zeit-Diagramm für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung zeigt eine parabelförmige Kurve.

  Ein Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung zeigt eine lineare Zunahme.

  Ein Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm für eine ungleichmäßig beschleunigte Bewegung zeigt eine gekrümmte Linie, die die nicht lineare und variierende Beschleunigung über die Zeit darstellt.

  Ein Beschleunigungs-Zeit-Diagramm zeigt eine horizontale Linie, also eine konstante Beschleunigung über die Zeit.

  Lösung

  1. Ein Beschleunigungs-Zeit-Diagramm einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung zeigt eine konstante Beschleunigung: eine horizontale Linie über die Zeit.

  
  

  2. Ein Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung zeigt eine lineare Gerade der Geschwindigkeit über die Zeit.

  
  

  3. Ein Weg-Zeit-Diagramm für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung zeigt eine parabelförmige Kurve.

  
  

  4. Ein Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm für eine ungleichmäßig beschleunigte Bewegung zeigt eine gekrümmte Linie, die eine nicht lineare und variierende Beschleunigung über die Zeit darstellt. Es lassen sich lineare Abschnitte finden, in denen die Beschleunigung konstant bleibt.

• Bestimme die Beschleunigung $a$ und die Endgeschwindigkeit $v$ aus dem Weg-Zeit-Diagramm.

  Tipps

  Die Beschleunigung kann über die Formel $s=\dfrac{1}{2}\cdot a \cdot t^2$ berechnet werden.

  Die Endgeschwindigkeit kann über die Formel $v=a\cdot t$ ermittelt werden.

  Die Wertepaare können aus dem Weg-Zeit-Diagramm für $s$ und $t$ abgelesen werden.

  Setze die Werte für $s$ und $t$ in die Formel $s=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$ ein und forme nach der Beschleunigung $a$ um.

  Mit der Beschleunigung $a$ kann die Endgeschwindigkeit über $v=a\cdot t$ berechnet werden.

  Lösung

  Das Weg-Zeit-Diagramm beschreibt den Verlauf der zurückgelegten Strecke einer gleichmäßigen beschleunigten Bewegung nach der Zeit. Aus der Kurve lassen sich die Wertepaare für die Strecke $s$ und die Zeit $t$ ablesen. Anschließend kann mithilfe des Weg-Zeit-Gesetzes die Beschleunigung berechnet werden. Hat man die Beschleunigung, kann dann über das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz die Endgeschwindigkeit bestimmt werden.

  Folgende Informationen lassen sich aus dem Diagramm ablesen:

  • für die Strecke: $s=\pu{344 m}$
  • für die Zeit: $t=\pu{25 s}$

  
  

  Laut Weg-Zeit-Gesetz gilt diese Formel:

  $s=\dfrac{1}{2}\cdot a \cdot t^2$

  Für die Berechnung der Beschleunigung $a$ stellen wir die Formel durch Multiplizieren von $2$ und durch Dividieren durch $t^2$ um:

  $s=\dfrac{1}{2}\cdot a \cdot t^2~\Leftrightarrow~\dfrac{2\cdot s}{t^2}=a$

  Jetzt setzen wir die Werte ein und ermitteln die Beschleunigung:

  $a=\dfrac{2\cdot s}{t^2}=\dfrac{2\cdot \pu{344 m}}{(\pu{25 s})^2}=\pu{1,1\dfrac{m}{s^2}}$

  
  

  Mit der berechneten Beschleunigung bestimmen wir mithilfe der Formel des Geschwindigkeit-Zeit-Gesetzes die Endgeschwindigkeit, also mit folgender Formel:

  $v=a\cdot t$

  Wir setzen die Werte für die Beschleunigung und die Zeit ein und berechnen die Endgeschwindigkeit:

  $v=a\cdot t=\pu{1,1\dfrac{m}{s^2}} \cdot \pu{25 s} = \pu{27,5 \dfrac{m}{s}}$

  Die Beschleunigung und die Endgeschwindigkeit betragen für den Verlauf der Bewegung:

  $a=\pu{1,1\dfrac{m}{s^2}}$ und $v=\pu{27,5 \dfrac{m}{s}}$