Die Messung der Dichte

Die Messung der Dichte Übung

• Definiere die Dichte.

  Tipps

  In einem Körper mit großer Dichte befindet sich die Masse in weniger Raum.

  Eine Stoffkonstante ist eine physikalische Eigenschaft eines Stoffes, die unabhängig von Menge und Form des Stoffes bleibt.

  Mithilfe der Verdrängungsmethode kann man die Dichte experimentell bestimmen.

  Lösung

  Die Dichte ist eine physikalische Eigenschaft, die angibt, wie viel Masse eines Körpers auf einen bestimmten Raumbereich konzentriert ist. Sie wird definiert als der Quotient aus der Masse eines Objekts und seinem Volumen. Die Dichte ist eine Stoffkonstante, was bedeutet, dass sie unabhängig von der Größe des Körpers bleibt. Das Symbol für die Dichte ist der griechische Buchstabe $\varrho$.

  Die Einheit der Dichte kann in $\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$ oder auch in $\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ angegeben werden.

  Die experimentelle Bestimmung der Dichte eines Festkörpers kann mithilfe einer Waage für die Masse und eines Messzylinders für das Volumen erfolgen. Hierbei wird die Verdrängungsmethode angewendet: Der Körper wird in Wasser getaucht, wodurch der Wasserspiegel steigt. Dem griechischen Ingenieur und Physiker Archimedes haben wir die Erkenntnis zu verdanken, dass das Volumen des verdrängten Wassers dem Volumen des Körpers entspricht.

  Bei Flüssigkeiten ist die Bestimmung der Dichte einfacher: Ein leerer Messzylinder wird auf einer Waage gewogen. Dann wird eine bestimmte Menge der Flüssigkeit in den Messzylinder gegossen. Die Differenz zwischen den beiden Werten gibt die Masse der Flüssigkeit an. Das Volumen kann direkt anhand der Skala des Messzylinders abgelesen werden, wobei Einheiten wie Milliliter $(\text{m}\ell)$ und Liter $(\ell)$ verwendet werden können.

• Führe die Umrechnungen durch.

  Tipps

  In diesem Schaubild siehst du, wie die Umrechnung von Längenangaben erfolgt.

  In diesem Schaubild siehst du, wie die Umrechnung von Massenangaben erfolgt.

  In diesem Schaubild siehst du, wie die Umrechnung von Volumenangaben erfolgt.

  Lösung

  Die Umrechnung der beiden Einheiten ineinander ist gar nicht so einfach. Wir betrachten zunächst Zähler und Nenner getrennt:

  $1~\text{kg}=1\,000~\text{g}$

  $1~\text{m}=100~\text{cm}$

  $1~\text{m}^3=1\,000\,000~\text{cm}^3$

  Wenn wir nun Zähler und Nenner gemeinsam betrachten, dann erhalten wir:

  $1~\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}=1\,000~\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$

• Berechne die Dichte des Gegenstandes.

  Tipps

  Folgendes ist in der Aufgabe gegeben:

  • Masse des Gegenstandes: $m=50~\text{g}$
  • Volumen des Wassers am Anfang: $40~\text{cm}^3$
  • Volumen des Wassers nach dem Eintauchen des Gegenstandes: $60~\text{cm}^3$

  Die Differenz der Wasserstände vor und nach dem Eintauchen des Gegenstandes gibt das Volumen des verdrängten Wassers an.

  Die Formel zur Berechnung der Dichte lautet:

  $\varrho=\dfrac{m}{V}$

  Setze nun die Werte ein und berechne:

  $\varrho=\dfrac{50~\text{g}}{20~\text{cm}^3}$

  Lösung

  Die Dichte eines Körpers wird berechnet, indem die Masse durch das Volumen geteilt wird. In diesem Fall beträgt die Masse des Gegenstandes $50~\text{g}$ und das Volumen des verdrängten Wassers ergibt sich aus der Differenz der Wasserstände vor und nach dem Eintauchen des Gegenstandes: $60~\text{cm}^3-40~\text{cm}^3=20~\text{cm}^3$.

  Jetzt berechnen wir:

  $\varrho=\dfrac{m}{V}$

  $\varrho=\dfrac{50~\text{g}}{20~\text{cm}^3}$

  $\varrho=2{,}5~\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$

  Die richtige Antwort ist daher $2{,}5~\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$, da dies die berechnete Dichte des unbekannten Gegenstandes ist.

• Berechne die Dichte der Flüssigkeit.

  Tipps

  Die Differenz aus den Werten des leeren Zylinders und des mit der Flüssigkeit gefüllten Zylinders entspricht der Masse der Flüssigkeit.

  Es ergibt sich also:

  $m=235~\text{g}-25~\text{g}$

  Für die Umrechnung der Volumeneinheiten von $\text{ml}$ zu $\text{cm}^3$ gilt:

  $1~\text{m}\ell=1~\text{cm}^3$

  Die Dichte der Flüssigkeit kannst du mit folgender Formel berechnen:

  $\varrho=\dfrac{m}{V}$

  Lösung

  Die Dichte einer Flüssigkeit wird berechnet, indem die Masse der Flüssigkeit durch das Volumen der Flüssigkeit geteilt wird. Wir müssen zunächst die Masse der Flüssigkeit berechnen.

  Zunächst stellen wir den Messzylinder leer auf eine Waage und notieren seine Masse. Dann gießen wir eine bestimmte Menge der Flüssigkeit in den Messzylinder und lesen nun die Masse ab. Die Differenz aus beiden Werten entspricht der Masse der Flüssigkeit.

  Es ergibt sich also:

  $235~\text{g}-25~\text{g}=210~\text{g}$

  In diesem Fall beträgt die Masse der Flüssigkeit also $210~\text{g}$ und das Volumen der Flüssigkeit $200~\text{m}\ell$.

  Da für die beiden Volumeneinheiten $1~\text{m}\ell = 1~\text{cm}^3$ gilt, entspricht das Volumen der Flüssigkeit $200~\text{cm}^3$.

  Die Dichte der Flüssigkeit beträgt:

  $\varrho=\dfrac{m}{V}$

  $\varrho=\dfrac{210~\text{g}}{200~\text{cm}^3}$

  $\varrho=1{,}05~\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$

  Die richtige Antwort ist daher $1{,}05~\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$.

• Beschreibe, wie man die Dichte eines Körpers experimentell bestimmen kann.

  Tipps

  Die Härte gibt an, wie widerstandsfähig ein Material gegenüber äußeren Kräften ist.

  Die Temperatur beeinflusst zwar die Dichte eines Stoffes, ist aber nicht das primäre Messkriterium für die Dichte eines Körpers.

  Der Klang hängt von vielen Faktoren ab – einschließlich der Schwingungseigenschaften des Materials.

  Wenn ein Körper in Wasser eingetaucht wird, dann verdrängt er eine bestimmte Menge Wasser. Dieses verdrängte Wasservolumen entspricht dem Volumen des Körpers.

  Lösung

  • ... durch das Vergleichen der Härte des Körpers.

  $\Rightarrow$ Diese Antwort ist falsch: Die Härte eines Körpers hat nichts mit seiner Dichte zu tun. Die Härte gibt an, wie widerstandsfähig ein Material gegenüber äußeren Kräften ist, während die Dichte das Verhältnis von Masse zu Volumen beschreibt.

  
  

  • ... durch das Abhören des Klangs des Körpers.

  $\Rightarrow$ Diese Antwort ist falsch: Der Klang eines Körpers beim Aufprall hat keine Verbindung zur Dichte. Der Klang hängt von vielen Faktoren ab – einschließlich der Schwingungseigenschaften des Materials.

  
  

  • ... durch das Eintauchen des Körpers in Wasser und die Verwendung eines Messzylinders zur Volumenbestimmung.

  $\Rightarrow$ Diese Antwort ist richtig: Wenn ein Körper in Wasser eingetaucht wird, dann verdrängt er eine bestimmte Menge Wasser. Dieses verdrängte Wasservolumen entspricht dem Volumen des Körpers. Durch die Messung der Masse des Körpers und die Division durch sein Volumen (gemessen mit dem verdrängten Wasser) erhältst du die Dichte.

  
  

  • ... durch das Messen der Temperatur des Körpers.

  $\Rightarrow$ Diese Antwort ist falsch: Die Temperatur beeinflusst zwar die Dichte eines Stoffes, ist aber nicht das primäre Messkriterium für die Dichte eines Körpers.

• Berechne das Volumen des Menschen.

  Tipps

  Folgendes ist in der Aufgabe gegeben:

  • Dichte von Sirius B: $\varrho=10^6~\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$
  • Masse des Menschen: $m=75~\text{kg}$

  Um das Volumen des Menschen zu berechnen, der aus dem gleichen Material wie Sirius B besteht, verwendest du die Dichte-Formel:

  $\varrho=\dfrac{m}{V}$

  Da du aber das Volumen suchst, musst du die Formel nach $V$ umstellen:

  $\varrho=\dfrac{m}{V}~~~~~~~~~~|\cdot V$

  $\varrho\cdot V=m~~~~~|:\varrho$

  $V=\dfrac{m}{\varrho}$

  Weil die Dichte in $\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ angegeben ist, musst du die Masse des Menschen ebenfalls in Gramm umrechnen:

  $1~\text{kg}=1\,000~\text{g}~\implies~75~\text{kg}=75\,000~\text{g}$

  Nun setzen wir die Werte in die Formel ein:

  $V=\dfrac{m}{\varrho}$

  $V=\dfrac{75\,000~\text{g}}{10^6~\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}}$

  Lösung

  Folgendes haben wir in der Aufgabe gegeben:

  • Dichte von Sirius B: $\varrho=10^6~\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$
  • Masse des Menschen: $m=75~\text{kg}$

  Um das Volumen des Menschen zu berechnen, der aus dem gleichen Material wie Sirius B besteht, verwenden wir die Dichte-Formel:

  $\varrho=\dfrac{m}{V}$

  Da wir aber das Volumen suchen, müssen wir die Formel nach $V$ umstellen:

  $\varrho=\dfrac{m}{V}~~~~~~~~~~|\cdot V$

  $\varrho\cdot V=m~~~~~|:\varrho$

  $V=\dfrac{m}{\varrho}$

  Weil die Dichte in $\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ angegeben ist, müssen wir die Masse des Menschen ebenfalls in Gramm umrechnen:

  $1~\text{kg}=1\,000~\text{g}~\implies~75~\text{kg}=75\,000~\text{g}$

  Nun setzen wir die Werte in die Formel ein:

  $V=\dfrac{m}{\varrho}$

  $V=\dfrac{75\,000~\text{g}}{10^6~\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}}$

  $V=0{,}075~\text{cm}^3$

  Das Volumen des Menschen beträgt also $0{,}075~\text{cm}^3$. Das entspricht in etwa dem Volumen einer nicht besonders großen Erbse.

  
  

  Die extrem hohe Dichte von $10^6~\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ des weißen Zwergsterns Sirius B impliziert, dass eine große Masse in einem winzigen Volumen komprimiert ist. Wenn wir dieses Dichtemaß auf einen Menschen mit einer Masse von $75~\text{kg}$ anwenden, dann würde der Mensch ein Volumen von nur $0{,}075~\text{cm}^3$ haben, falls er die gleiche hohe Dichte wie der Stern aufweisen würde. Das ist eine erstaunlich geringe Größe im Vergleich zur typischen Größe eines Menschen.

  Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass die Materie in einem weißen Zwergstern so dicht und komprimiert ist, dass selbst eine vergleichsweise große Masse auf winzigstem Raum untergebracht werden kann. Die extrem hohe Gravitationskraft in einem weißen Zwerg ermöglicht eine solche extreme Komprimierung. Diese Interpretation verdeutlicht die außergewöhnlichen physikalischen Bedingungen und die extreme Dichte, die in solchen Sternen vorherrschen.