Das Volumen

Das ist Nolan, Majas besserwisserischer kleiner Bruder. Er behauptet, in seinen Murmelwürfel passen zehntausend Murmeln und der Würfel wird dann so schwer, dass er ihn nicht mehr anheben kann. Nolan hat natürlich keine zehntausend Murmeln, kann also viel behaupten. Aber den kleinen Angeber einfach damit durchkommen lassen, geht auch nicht. Es geht bei dem Problem ja um den Raumbedarf von zehntausend Murmeln und den Raum, den der Würfel zu bieten hat. Kurz gesagt: um “Das Volumen”. Das Volumen eines Körpers gibt an, wie viel Raum ein Körper einnimmt, wie groß also sein Raumbedarf ist. Das Formelzeichen für das Volumen ist ein großes V. Bei festen und flüssigen Körpern ist das eine nahezu unveränderliche Größe, Gase nehmen hingegen das Volumen ihres Aufbewahrungsgefäßes an. Zurück zum Murmelproblem. Wie bestimmt man überhaupt das Volumen einer Kugel oder eines Würfels? Wie viel Rauminhalt ein gegebener Würfel hat, können wir austesten. Mit einem kleineren Würfel. Wir schauen mal, wie viele Würfel der "Kantenlänge ein Zentimeter" in einen Würfel der "Kantenlänge zehn Zentimeter" passen. Wir fangen mit einer Reihe unten an. In diese passen zehn von den kleinen Würfeln. In die nächste Reihe dahinter passen wieder zehn Würfel. Die untere Lage füllen wir auf diese Weise mit zehn mal zehn Würfeln, also einhundert Würfeln. Um den ganzen, großen Würfel zu füllen, brauchen wir zehn dieser Lagen, also "zehn mal zehn mal zehn" Würfel, also eintausend kleine Würfel. Der Rauminhalt des großen Würfels entspricht also eintausend kleinen Würfeln. Wir haben die Anzahl der kleinen Würfel in der Länge mit der Anzahl der kleinen Würfel in der Breite mit der Anzahl der kleinen Würfel in der Höhe multipliziert. Für das Volumen des Würfels gilt offensichtlich: Volumen gleich Länge mal Breite mal Höhe. Und da alle diese drei Größen gleich groß sind, nämlich gleich der KANTENLÄNGE a, ist V gleich a hoch drei. Nun gibt man ja das Volumen nicht in “kleinen Würfeln” an, sondern in einer Volumeneinheit. Unser kleiner Modellwürfel STEHT schon für eine Volumeneinheit. Sein Volumen ist V gleich ein Zentimeter hoch drei, gleich ein Kubikzentimeter. Kubik ist die Vorsilbe, die man für "hoch drei" benutzt. Unser großer Würfel steht für eine andere Volumeneinheit. Zehn Zentimeter sind ein Dezimeter. Das Volumen des Würfels mit der Länge ein Dezimeter ist ein Kubikdezimeter. Für Kubikdezimeter kennst du noch einen anderen Namen: Liter. Damit haben wir gleichzeitig noch einen anderen Zusammenhang kennengelernt. Ein tausendstel Liter ist ein Milliliter. Und das ist offenbar derselbe Rauminhalt wie ein Kubikzentimeter. Schauen wir uns noch eine letzte Einheit an, den Kubikmeter. Ein Kubikmeter sind eintausend Kubikdezimeter also eintausend Liter, Das sind eine MILLION Kubikzentimeter. Wow. Das ist viel. Vielleicht ist Nolan ja doch kein Angeber. Betrachten wir Nolans Murmelwürfel. Er hat eine Seitenlänge von vierzig Zentimetern. Sein Volumen beträgt also "vierzig Zentimeter mal vierzig Zentimeter mal vierzig Zentimeter", also "vierzig Zentimeter in Klammern hoch drei".Das sind vierundsechzigtausend KUBIKzentimeter. Kann das stimmen? Ja. Es passen tatsächlich vierundsechzigtausend Würfelchen "mit dem Volumen ein Kubikzentimeter" hinein! Jetzt müssen wir nur noch herausbekommen, welches Volumen so eine Murmel von Nolan hat. Der Durchmesser einer Murmel beträgt zwei Zentimeter. Wäre die Murmel ein Würfel, dann wäre dies also ihre Kantenlänge a. Ihr Volumen wäre dann acht Kubikzentimeter. Nun ist eine Kugel kein Würfel, aber sie passt hinein in einen Würfel mit ihrem Durchmesser als Kantenlänge. Mit dem Würfelvolumen könnten wir also abschätzen, wie viele Murmeln mindestens in den Murmelwürfel passen, indem wir das Volumen des Murmelwürfels durch das Volumen einer würfelförmigen Murmel teilen. Es sieht so aus, als ob Nolan Recht haben könnte. Und wie bestimmen wir nun das exakte Volumen? Wir könnten die Formel nachschauen. Aber wir können auch ein Experiment machen. Die sogenannte Verdrängungsmethode. Du benötigst einen Messzylinder, der breit genug ist, dass die Murmel hineinpasst, und der eine Skala besitzt. Fülle ihn so hoch mit Wasser, dass die Kugel ganz untergehen kann, und markiere den Wasserstand. Dann lass die Murmel ins Wasser. Du wirst feststellen, dass der Wasserspiegel steigt. Die Murmel verdrängt Wasser – und zwar genau die Menge, die ihrem Volumen entspricht. Du musst also nur den neuen Wasserstand markieren und den Unterschied der beiden Wasserstände berechnen. Wir lesen ab: Wasserstand unten: zehn Milliliter Wasserstand oben: vierzehn komma zwei Milliliter. Das Volumen der Kugel ist also V gleich vier komma zwei Milliliter. Was ist das in Kubikzentimetern? Mach ruhig nochmal eine Pause. Genau: Vier komma zwei Milliliter sind vier komma zwei Kubikzentimeter. Erstaunlich, dass das Volumen einer Kugel nur ein bisschen mehr als halb so groß ist wie das Volumen des Würfels, in den sie gerade reinpasst! Jetzt können wir ausrechnen, wie viele Murmeln in den Murmelwürfel passen würden, wenn man sie OHNE Zwischenräume reinbekäme, was natürlich NICHT geht. Wir dividieren dazu das Murmelwürfelvolumen durch das Murmelvolumen. Das bedeutet wohl, dass Nolan tatsächlich recht haben könnte! Achttausend Murmeln würden reinpassen, wenn die Murmeln Würfel wären, "fünfzehntausend zweihundertachtunddreißig", wenn man die Murmeln ohne Zwischenräume verstauen könnte, wenn sie also zum Beispiel aus Knete wären. FUN FACT: Weil die Murmeln verrutschen und Lücken füllen, passen TATSÄCHLICH ungefähr ZEHNTAUSEND Murmeln in einen solchen Würfel! Jetzt noch kurz zur Frage, wie schwer der mit zehntausend Murmeln gefüllte Würfel wohl wäre. Eine Murmel hat eine Masse von vier Gramm. Zehntausend mal vier Gramm sind vierzigtausend Gramm oder vierzig Kilogramm. Damit könnte Nolan wirklich an seine Grenzen kommen. Und wir kommen zur Zusammenfassung. Wir können das Volumen eines beliebigen Würfels der Kantenlänge a bestimmen, indem wir zählen, wie viele kleine Würfel eines bekannten Volumens, zum Beispiel eines Kubikzentimeters, in ihn hineinpassen. Berechnen können wir das Volumen mit der Formel Volumen gleich Kantenlänge hoch drei. Andere Volumen können wir mit der Verdrängungsmethode bestimmen. Das Volumen des verdrängten Wassers entspricht dem Volumen des verdrängenden Körpers. Sag mal, Nolan, wie viele Kubikzentimeter sind denn jetzt ein Liter?