Plattenkondensator (Übungsvideo)

Plattenkondensator (Übungsvideo) Übung

• Nenne wichtige Formeln zur Berechnung der Größen eines Plattenkondensators.

  Tipps

  Die Kapazität beschreibt die Fähigkeit, Ladung aufzunehmen und zu speichern. Beim Kondensator kann sie mithilfe von Plattenabstand und -fläche berechnet werden.

  Die Kapazität könnte auch durch den Quotienten aus Ladung und Spannung berechnet werden. Wie kann dann die Ladung berechnet werden?

  Die Feldstärke beschreibt die Stärke des elektrischen Feldes, welches sich zwischen den Platten bildet. Was ist neben der Spannung dabei wichtig?

  Die elektrische Feldenergie könnte auch durch diese Formel beschrieben werden. Wie kann sie dann durch Ersetzen der Ladung ebenfalls ausgedrückt werden?

  Lösung

  Die (elektrische) Kapazität steht für die Fähigkeit, Ladungen aufzunehmen und zu speichern.
  Zwischen der Kapazität $C$ und der Ladung $Q$ besteht eine Proportionalität.
  Genauer sind sie über die Spannung $U$ verknüpft.

  Es gilt:
  $C=\frac{Q}{U}$ (1).

  Die Kapazität kann aber mithilfe der elektrischen Feldkonstante $\varepsilon_0$, der Plattenfläche $A$ und dem Abstand der Kondensatorplatten $d$ berechnet werden:
  $C=\varepsilon_0 \cdot \dfrac{A}{d}$.

  Darum bietet es sich an, mit der ersten Formel (1) die Ladung $Q$ zu berechnen. Dazu muss die Formel nur nach $Q$ umgestellt werden.

  Zwischen den Kondensatorplatten bildet sich ein elektrisches Feld. Dessen Stärke wird durch die Feldstärke $E$ beschrieben.
  Die Stärke hängt hierbei von der angelegten Spannung und dem Abstand ab, über den sich das Feld verteilt.
  $E=\dfrac{U}{d}$

• Nenne die veränderlichen Größen eines Plattenkondensators bei der Veränderung des Abstandes $d$.

  Tipps

  Welche Größen hängen direkt oder indirekt von dem Plattenabstand $d$ ab?

  Wenn der Plattenkondensator von der Spannungsquelle abgeklemmt wurde, können dann noch Ladungen dazukommen oder abfließen?

  Das elektrische Feld wird durch die Ladung bedingt. Kann sich die Feldstärke ändern, wenn sich die Ladung nicht ändert?

  Lösung

  Für die Kapazität gilt die Formel
  $C=\varepsilon_0 \cdot \dfrac{A}{d}$.

  Die Kapazität hängt damit direkt von dem Abstand der Platten ab. Da dieser im Nenner steht, halbiert sich die Kapazität, wenn sich der Plattenabstand verdoppelt.

  Die Ladung bleibt konstant. Denn wenn der Plattenkondensator an keine Spannungsquelle angeschlossen ist, dann können keine Ladungen dazukommen oder abfließen.

  Wegen
  $Q= C \cdot U$
  und der Veränderlichkeit von $C$ muss sich also auch die Spannung $U$ bei Veränderung des Plattenabstandes verändern. Das Produkt beider muss schließlich konstant bleiben.
  Aus vorherigen Schlüssen zum Kondensator kann geschlossen werden, dass sich die Spannung verdoppelt, wenn der Plattenabstand verdoppelt wird.

  Die elektrische Energie wird mit
  $W_{el}=\dfrac{1}{2} \cdot C \cdot U^2 = \dfrac{1}{2} \cdot Q \cdot U$
  berechnet. Da die Spannung sich verändert und sonst alles konstant bleibt, verändert sich auch die elektrische Energie.
  Wenn sich der Plattenabstand verdoppelt, verdoppelt sich auch die Energie.

  Das elektrische Feld wird durch die Ladung bedingt. Somit entsteht auch die elektrische Feldstärke durch die Ladung. Da sich die Ladung nicht ändert, bleibt auch die elektrische Feldstärke gleich.
  Dies kann auch mit Formeln erklärt werden, wenn die Spannung in der Formel für die elektrische Feldstärke ersetzt wird:
  $E=\dfrac{U}{d}=\dfrac{\frac{Q}{C}}{d}=\dfrac{Q}{C \cdot d}=\dfrac{Q}{\varepsilon_0 \cdot \dfrac{A}{d} \cdot d}=\dfrac{Q}{\varepsilon_0 \cdot A}$.

  Der Plattenabstand kürzt sich raus und die Feldstärke ist somit nur von bei Abstandsänderung unbeeinflussten Größen abhängig.

• Berechne die Ladung des Plattenkondensators.

  Tipps

  Die Ladung ergibt sich aus dem Produkt von Kapazität und Spannung.
  Wie lässt sich die Kapazität mithilfe der gegebenen Größen berechnen?

  Wenn du erst Zwischenergebnisse berechnest, schleichen sich häufig Rundungsfehler ein. Um dies zu vermeiden, ist es sinnvoll, eine Gleichung aufzustellen, in die die gegebenen Werte nur noch eingesetzt werden.

  Achte auf die richtigen Einheiten. Du kannst dafür eine Einheitenrechnung anlegen. Der Abstand muss in Meter und die Fläche in Quadratmeter angegeben werden.

  Beachte auch die richtige Umrechnung der Einheiten. Um Flächen von $cm^2$ in $m^2$ umzurechnen, musst du das Komma nicht zwei, sondern vier Stellen verschieben.

  Lösung

  Die Ladung $Q$ ergibt sich aus dem Produkt von Kapazität $C$ und Spannung $U$.
  Es gilt hier die Formel:
  $Q=C \cdot U$ (1).

  Die Kapazität lässt sich dabei mit elektrischer Feldkonstante $\varepsilon_0$, Flächeninhalt der Platten $A$ und Plattenabstand $d$ berechnen:
  $C=\varepsilon_0 \cdot \frac{A}{d}$ (2).

  Es könnte nun erst $C$ und damit anschließend $Q$ berechnet werden. Dies ist aber grundsätzlich zu vermeiden, da sich so häufig Rechenfehler oder Rundungsfehler einschleichen.
  Besser ist es, die Formel (2) in die (1) einzusetzen.
  Dann haben wir eine Formel, mit der wir das Ergebnis direkt berechnen können.

  $Q=\varepsilon_0 \cdot \frac{A}{d} \cdot U$

  Wir haben alle Werte gegeben und können einsetzen.
  Es müssen jedoch noch die Einheiten betrachtet und beachtet werden.
  Um das richtige Ergebnis zu erhalten, müssen Längen in Meter und Flächen in Quadratmeter angegeben werden.
  Mit einer Einheitenrechnung lässt sich das leicht überprüfen.

  $ [\varepsilon_0] \cdot \dfrac{[A]}{[d]} \cdot [U] = \dfrac{A\cdot s}{V \cdot m} \cdot \dfrac{m^2}{m} \cdot V = A\cdot s = C $

  Für die Umrechnung gilt:
  $d=1 ~ cm = 0,01 ~ m$
  $A=3 ~ cm^2 = 3 \cdot 10^{-4} ~m^2 = 0,0003 ~m^2$

  Die gegebenen Werte werden eingesetzt und es folgt:
  $Q=8,85 \cdot 10^{-10} \cdot \frac{0,0003}{0,01} \cdot 50=13,275 \cdot 10^{-10}$.

• Berechne die Änderung der Energie.

  Tipps

  Berechne zuerst die Spannung $U_2$ nach der Abstandsänderung. Nutze den Ansatz, dass die Ladung gleich bleibt. $U_2$ kann so mithilfe von dem alten, dem neuen Abstand und der alten Spannung $U_1$ ausgedrückt werden.

  Um die Änderung der elektrischen Energie zu berechnen, muss die Differenz aus der Energie vor und nach der Abstandsänderung berechnet werden. Welche Größen ändern sich hier durch die Abstandsänderung?

  Für die Spannung nach der Abstandsänderung folgt diese Formel.

  Werden alle Überlegungen zusammengefügt, dann folgt eine Formel für die Änderung der elektrischen Energie.

  Lösung

  Für die elektrische Energie gilt die Formel:
  $W_{el}=\frac{1}{2} \cdot Q \cdot U $.

  Wir suchen aber die Änderung der elektrischen Energie, da sich diese bei der Abstandsänderung ändert. Es muss hier die Differenz aus alter und neuer elektrischer Energie gebildet werden.
  Da der Abstand vergrößert wird, vergrößert sich auch die Spannung. Die Ladung bleibt konstant.
  Es folgt:
  $\Delta W_{el} = \frac{1}{2} \cdot Q \cdot (U_2 - U_1)$ (1).

  Bei Verkleinerung des Abstandes muss entweder der Betrag oder direkt $U_1-U_2$ gebildet werden, da sich sonst ein negatives Vorzeichen ergibt.

  Es muss nun noch die Spannung $U_2$ nach der Abstandsänderung berechnet werden.
  Da die Ladung konstant ist, gilt
  $Q= C_1 \cdot U_1 = C_2 \cdot U_2$ und damit
  $\begin{align} U_2 &= \frac{C_1}{C_2} \cdot U_1 \\ &= \dfrac{\frac{\varepsilon_0 \cdot A}{d_1}}{\frac{\varepsilon_0 \cdot A}{d_2}} \cdot U_1 \\ &= \frac{d_2}{d_1} \cdot U_1 \end{align} $.

  Setzen wir diese Formel in (1) ein, dann folgt:
  $\begin{align} \Delta W_{el} &= \frac{1}{2} \cdot Q \cdot ( \frac{d_2}{d_1} \cdot U_1 - U_1) \\ &= \frac{1}{2} \cdot Q \cdot U_1 \cdot ( \frac{d_2}{d_1} - 1) \end{align}$.

  Wenn die gegebenen Werte in diese Formel eingesetzt werden, dann folgt:
  $ \Delta W_{el}=\frac{1}{2} \cdot 13,275 \cdot 10^{-10} ~C \cdot 50 ~V \cdot \left( \frac{0,03~m}{0,01~m}-1 \right) =663,7 \cdot 10^{-10} ~J$ .

  Dabei ist es egal, ob der Plattenabstand in $cm$ oder in $m$ eingesetzt wird, da es sich um ein Verhältnis handelt und die Einheit deswegen wegfällt.

• Gib die Unterschiede beim Ändern des Plattenabstandes an.

  Tipps

  Welche Größen ändern sich bei einer Änderung des Plattenabstandes unabhängig davon, ob der Kondensator an eine Spannungsquelle angeschlossen ist oder nicht?
  Vergleiche nur die Größen, für die dieser Unterschied wichtig ist.

  Können noch Ladungen auf den Kondensator fließen oder abfließen, wenn der Kondensator nicht an eine Spannungsquelle angeschlossen ist?
  Wie wirkt sich dies auf die Veränderung des Plattenabstandes aus?

  Zwischen Ladung und Spannung gilt dieser Zusammenhang. Die Kapazität ändert sich bei der Änderung des Plattenabstandes immer.
  Was passiert dann mit der jeweils übrigen Größe, wenn eine variabel ist?

  Lösung

  Die Plattenfläche $A$ eines Kondensators ändert sich nicht von alleine. Dies müsste immer mechanisch verändert werden.

  Die Kapazität wird durch die Formel
  $C=\varepsilon_0 \cdot \dfrac{A}{d}$
  beschrieben.
  Sie hängt damit immer vom Plattenabstand ab und verändert sich demnach auch immer, wenn dieser verändert wird.

  Zwischen Ladung $Q$ und Spannung $U$ gilt dieser Zusammenhang:
  $Q = C \cdot U$.
  Da sich die Kapazität immer ändert, ändert sich auch immer eine der beiden anderen Größen.

  Dies lässt sich auch physikalisch erklären:

  Die Ladung kann sich nur ändern, wenn Ladungen beim Plattenkondensator dazukommen oder abfließen können. Dies ist nur möglich, wenn der Kondensator an eine Spannungsquelle angeschlossen ist, die Ladungen liefert.
  Daher gilt:

  • Wenn der Plattenkondensator nicht an eine Spannungsquelle angeschlossen ist, dann kann sich die Ladung nicht ändern. Sie ist konstant.
  • Wenn der Plattenkondensator an eine Spannungsquelle angeschlossen ist, ist die Ladung variabel.

  Aus der Variabilität der Ladung folgt im zweiten Fall das Gleichbleiben der Spannung.

• Berechne den Plattenabstand $d$.

  Tipps

  Welche Formeln kennst du, in denen der Abstand $d$ der Kondensatorplatten vorkommt?

  Wie kann die Kapazität $C$ des Kondensators ebenfalls berechnet werden?

  Setze die Formel in die für die Ladung $Q$ ein und stelle nach dem gesuchten Abstand um.

  Achte darauf, die richtigen Einheiten zu nutzen und die Größen gegebenenfalls richtig umzuformen. Um von Quadratzentimeter zu Meter zu kommen, muss das Komma um vier Stellen nach links verschoben werden.

  $d$ ist eine Längenangabe und muss die entsprechende Einheit tragen. Du kannst eine Einheitenrechnung machen, um deine Einheiten zu überprüfen.

  Lösung

  Es sind die Ladung, die Spannung und die Fläche der Kondensatorplatten gegeben. Gesucht ist der Abstand der Kondensatorplatten
  Es kann zuerst überlegt werden, in welchen Formeln der gesuchte Abstand vorhanden ist.

  Da die Energie nicht gegeben und auch nicht leicht berechnet werden kann, kommt nur die Kapazität in Frage. Diese kann mit
  $C= \frac{\varepsilon_0 \cdot A}{d}$ (1)
  berechnet werden.

  Außerdem gilt:
  $ Q = C \cdot U$ (2).

  Wir setzen (1) in (2) ein. Es folgt:
  $ Q = \frac{\varepsilon_0 \cdot A}{d} \cdot U$.

  Hier sind alle Größen gegeben. Die Formel kann nach $d$ umgestellt und anschließend können die gegebenen Werte eingesetzt werden.
  Die Einheitenrechnung kann dort mit einfließen oder extra betrachtet werden. Hier ist vor allem wichtig, die Quadratzentimeter in Meter umzuwandeln.

  $\begin{align} d&= \dfrac{\varepsilon_0 \cdot A \cdot U}{Q} \\ &=\dfrac{8,85 \cdot 10^{-12} ~ \frac{A\cdot s}{V\cdot m} \cdot 0,006 ~ m^2 \cdot 50 ~V}{1,593 \cdot 10^{-10} ~C} \\ &=0,05 ~m = 5 ~ cm \end{align}$