Arbeit und Energie im elektrischen Feld

Schönen guten Morgen und willkommen bei "Arbeit und Energie im elektrischen Feld". Ich hab hier eine Koordinatenachse und einen Plattenkondensator auf die Tafel gezeichnet. An diesem Plattenkondensator soll eine Spannung von 50kV, also 50.000 Volt liegen. Jetzt kommt der Herr Worm hier mal angelaufen, der wird sich jetzt mal in den Plattenkondensator hineinstellen. Der Herr Worm hat einen positiv geladenen Koffer in der Hand. Jetzt schalte ich die Spannung mal ein. Wir haben also gesehen, dass der Koffer dem Herrn Worm förmlich aus der Hand gerissen wurde. Herr Worm hielt den Koffer aber fest und zog ihn wieder zurück. Ich markiere jetzt hier die beiden Punkte, wo Herr Worm den Koffer zuerst hatte und dann, wo der Koffer durch das elektrische Feld hingezogen wurde, hier auf der linken Seite. Wir nennen die beiden Punkte x1 und x2. Anhand der Koordinatenachse, die ich da hingezeichnet habe, kann man also x1 mit ungefähr 2m angeben und x2 mit ungefähr 4m. Das ist jeweils die Entfernung von der negativ geladenen Kondensatorplatte. Wpot, das ist die potentielle Energie von der Ladung q, die Ladung von Herrn Worms Koffer an der Stelle x im Plattenkondensator, = q×U×(x/d). d ist der Abstand der Kondensatorplatten, also in diesem Fall 5m. Für das Produkt U×(x/d) schreibt man auch ein kleines φ - φ(x) - das ist das Potential im Plattenkondensator.  Jetzt wollen wir mal die Arbeit ausrechnen, die an dem Koffer verrichtet wurde, als er nach vorne gezogen wurde. Die Arbeit ist gerade die Änderung der potentiellen Energie auf dieser Strecke ΔW. Wir rechnen jetzt also Wpot an der Stelle x2 minus Wpot an der Stelle x1. Jetzt setzen wir also den Ausdruck für die potentielle Energie, der oben auf der Tafel steht, einfach ein. Das q×U und das 1/d, das klammer ich jetzt schon mal gleich aus, und dann erhalten wir: (q×U)/d×(x2-x1). Die Ladung von Herrn Worms Koffer ist, wie schon gesagt, positiv und beträgt 0,1 Coulomb. Wir können jetzt also alle Zahlen einsetzen und ΔW ausrechnen. Für U setzen wir also 50kV ein, für d setzen wir 5m ein, für q die 0,1C und das x2-x1 sind gerade 2m. Das Ergebnis lautet 2.000 Joule oder 2kJ. Jetzt wollen wir dieselbe Rechnung für den Fall machen, als Herr Worm seinen Koffer dann mit einer großen Kraftanstrengung wieder zu sich nach hinten zog. Viel ändert sich nicht an der ganzen Sache, außer dass eben die Bewegungsrichtung des Koffers entgegengesetzt war. Wir rechnen jetzt Wpot(X1)-Wpot(X2), also wir nehmen wieder die Position, wo der Koffer zuerst war, minus die Position, wo der Koffer dann hinterher war. Das ist also gerade andersrum als eben. ΔW ist dann (q×U)/d×(x1-x2). Sonst ändert sich auch an den beteiligten Zahlen nichts und da habt ihr es sicherlich schon erraten, das Ergebnis ist dann -2.000J oder -2kJ. Ich mache an das ΔW hier noch einen Strich ran, um es von dem ΔW aus der ersten Situation zu unterscheiden. Das, was an dieser Rechnung wichtig war, ist, dass wir einen Vorzeichenwechsel gesehen haben, bei der Arbeit ΔW, als wir die Bewegungsrichtung der Ladung umgedreht haben. Als die Kraft den Koffer nach vorne zog, haben wir ein anderes Vorzeichen erhalten als in dem Fall, wo Herr Worm mit einer großen Kraftanstrengung den Koffer entgegengesetzt zur Kraft wieder zu sich zurückzog. Im 1. Fall hat das elektrische Feld Arbeit an dem Koffer verrichtet und im 2. Fall hat Herr Worm diese Arbeit investiert. Welches Vorzeichen man in welchem Fall herausbekommt, das ist Definitionssache. Man muss aber, wenn man sich für eine Variante entschieden hat, zum Beispiel für die, dich ich hier benutzt habe, dann muss man das auch konsequent so beibehalten. Das elektrische Feld, die Kraft, die Koordinatenachse und auch die Bewegungsrichtung des Koffers waren hier parallel zu einander. Jetzt betrachten wir mal den Fall, dass wir den Koffer, der immer noch positiv geladen ist, irgendwie so diagonal durch den Plattenkondensator bewegen. So zum Beispiel, wie hier eingezeichnet. Bei so einer Strecke können wir uns jetzt aber auch vorstellen, dass man zunächst einmal in Richtung der X-Achse geht und dann in einem rechten Winkel nach oben, senkrecht zur X-Achse, geht. Das habe ich jetzt hier gestrichelt eingezeichnet. Der gestrichelte Weg hat denselben Anfangs- und Endpunkt wie der diagonale Weg. Um die Arbeit auszurechnen, die man für eine Bewegung von dem einen Kreuz zum andern Kreuz braucht, sind ja bloß Anfangs- und Endpunkt und die an dieser Stelle vorhandene potentielle Energie von Bedeutung. Das, was ich hier eingezeichnet hab, das nennt man eine Koordinatenzerlegung und anhand des gestrichelten Pfeils, hier parallel zu X-Achse, kann man jetzt die X-Koordinaten ablesen. Ich schreib die jetzt mal hier unten auch hin. Die potentielle Energie, die hängt nur von den X-Werten ab und bei der Bewegung nach oben oder unten ändert die sich überhaupt nicht. Wenn wir jetzt (q×U)/d mal dem jeweiligen X-Wert ausrechnen, dann kommen wir also auf 3.200J bei x2 und wir erhalten 1.000J als potentielle Energie bei x1. Wie groß die hierbei verrichtete Arbeit ist, das sollt ihr selber für die Verständnisfrage am Ende des Videos ausrechnen. Übrigens könnte man sich auch von x1 nach x2 auf dieser gekrümmten, blau gestrichelten Bahn bewegen, aber auch hier sind Anfangs- und Endpunkt der Bewegung die gleichen wie in den anderen Fällen auch. Die potentielle Energie ändert sich um den selben Wert, die verrichtete Arbeit ist also die gleiche und die Form des Weges ist also vollkommen egal. Das ist in einem elektrischen Feld immer so und deswegen nennt man das ein konservatives Kraftfeld. Mit diesem Wissen können wir also auch leicht sagen, dass, wenn sich eine Ladung in einem elektrischen Feld kreisbewegt, also dort ankommt, wo sie losgeflogen ist, dass dann die verrichtete Arbeit 0 ist. Jetzt verlassen wir den Plattenkondensator und wir kümmern uns jetzt um Punktladungen, wo also die Felder nicht mehr homogen sind. Wir haben hier eine positive Punktladung und jetzt kommt der Herr Worm, der hat jetzt seinen Koffer gerade nicht dabei. Wir nehmen einfach an, er sei selber auch positiv geladen und er ist hier gerade einfach gradlinig vorbeigeflogen. Welche Arbeit in dem elektrischen Feld wurde jetzt eigentlich verrichtet? Gestrichelt zeichne ich hier mal die Flugbahn von Herrn Worm ein. Die Strecke, die uns interessiert, beginnt bei der Unterkante der Tafel und geht bis zur Überschrift auf der Tafel. Da Herr Worm ungefähr 2m groß ist und seine Körperlänge hier 2 mal zwischen diese Punktladung und die Strecke hier passt, sage ich mal, die ist ungefähr 4m, diese Entfernung. Der untere Abschnitt dieser Strecke ist halb so lang, ungefähr 2m, und das hier oben sind dann rund 3m. Und nun zu ΔW, der verrichteten Arbeit. In einem solchen Fall, wo das Feld nicht mehr homogen ist, muss man die Integralrechnung können. Wir müssen das Integral über F nach dr bilden, und zwar in den Grenzen r1 und r2. r1 und r2, das sind die Abstände zwischen Herrn Worm und der anderen Punktladung in der Mitte der Tafel. Ich zeichne das mal ein. Wegen dem Satz des Pythagoras, der in diesem rechtwinkligen Dreieck hier gilt, ist r1=\sqrt(20) und r2, das liegt oben im Bild, das ist 4²+3² und daraus die Wurzel sind \sqrt(25). Wir haben hier jetzt 2 Punktladungen, ich nenne die in der Mitte der Tafel einmal q1 und die Ladung von Herrn Worm soll q2 sein, um das mal zu unterscheiden. Die Kraft, die zwischen diesen beiden Ladungen wirkt, die schreibe ich jetzt mal hier hin, sie ist gleich (q1×q2)/4πε0 - das ist die Dielektrizitätszahl - und geteilt durch r². r ist jetzt in diesem Fall einfach ein beliebiger Abstand zwischen den beiden Ladungen. So, und wenn wir uns dann hier Platz geschafft haben, dann können wir das mal einsetzen, diesen Ausdruck, und das Integral ausrechnen. Das Einsetzen ist erst mal nicht besonders schwer. Wir haben das Integral von r1 nach r2 über q1×q2 durch 4πε0r² nach dr. Wir können alle Konstanten vor das Integralzeichen schreiben und dann müssen wir nur noch über 1/r² integrieren. Die Stammfunktion zu 1/r² ist -1/r und die müssen wir in den Grenzen r1 bis r2 auswerten. Wer das jetzt nicht versteht, der sollte sich nachmal ein Video zur Integralrechnung anschauen. Ich setze jetzt die Grenzen in die Stammfunktion ein, wir bilden also die Differenz -1/r2 (minus minus, das macht plus) 1/r1. Und wem das jetzt nicht gefällt, der kann die Vorzeichen hier vertauschen und dann auch die Indizes an den r vertauschen, und dann stimmt das auch: 1/r1-1/r2 steht dann dort. Jetzt setzen wir für r1 und r2 noch die Zahlen ein, \sqrt(20) war r1 und \sqrt(25) für r2. \sqrt(25)=5, aber ich lasse das jetzt mal so stehen. 1/\sqrt(20) ist größer als 1/\sqrt(25), also ist der Klammerausdruck positiv. Die beiden q sind auch positiv und die Konstanten unter dem Bruchstrich sind auch alle >0. ΔW ist also >0. Das Vorzeichen stimmt, wir haben richtig gerechnet. Herr Worm war am Anfang seiner Flugbahn näher dran, an der Ladung, als am Ende. Er hat sich also insgesamt entfernt und positive Ladungen stoßen sich ja auch ab. Also musste er nicht gegen die Kraft ankämpfen, sondern die Kraft hat ihm auf seiner Bahn geholfen.  Ich bedanke mich für eure Aufmerksamkeit. Schaut euch auch das Video an über die Energie im elektrischen Feld und zum elektrischen Potential. Und dann noch: viel Spaß.