Elektrisches Potential – Spannung zwischen zwei Punkten im elektrischen Feld
Elektrisches Potenzial - Vom lateinischen Begriff potentia abgeleitet, beschreibt das elektrische Potenzial die Spannung zwischen einem Ort und einem festen Bezugspunkt. Erfahre mehr über die Formel zur Berechnung des Potenzials und die Potenzialdifferenz zwischen zwei Punkten. Interessiert? Das und mehr erwartet dich im folgenden Text!
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Grundlagen zum Thema Elektrisches Potential – Spannung zwischen zwei Punkten im elektrischen Feld
Das elektrische Potenzial
Den Begriff Potenzial hast du sicher schon häufiger gehört. Er stammt vom lateinischen potentia ab und bedeutet so viel wie Macht. Man spricht zum Beispiel davon, sein Potenzial auszuschöpfen, also das, was man theoretisch erreichen kann, auch umzusetzen. Auch in der Elektrodynamik gibt es ein Potenzial – und zwar das elektrische. Aber was ist ein elektrisches Potenzial?
Das elektrische Potenzial – einfach erklärt
Zunächst schreiben wir eine Definition für das elektrische Potenzial auf, um dann einige Eigenschaften und Berechnungen näher zu betrachten.
Elektrisches Potenzial – Definition:
- Das elektrische Potenzial $\phi (\vec{r})$ gibt an, welche Spannung zwischen dem Ort $\vec{r}$ und einem festen Bezugspunkt besteht.
Wir können auch eine andere Formulierung wählen, wenn wir uns die Einheit der elektrischen Spannung in Erinnerung rufen. Diese wird in Volt angegeben, was sich in SI-Einheiten auch als Joule pro Coulomb schreiben lässt – und das gibt Arbeit pro Ladung an. Wir können also auch schreiben:
- Das elektrische Potenzial gibt an, in welchem Maß das elektrische Feld imstande ist, Arbeit an einer Ladung zu verrichten.
Elektrisches Potenzial – Formel
Um eine Formel für das elektrische Potenzial herzuleiten, betrachten wir das elektrische Feld einer Punktladung. Für das Feld gilt die Formel:
$E = \frac{1}{4 \pi \epsilon} \frac{Q}{r^{2}}$
Hier ist $Q$ die Ladung, $r$ der Abstand zur Ladung und $\epsilon$ die elektrische Feldkonstante. Der Graph dieser Funktion sieht folgendermaßen aus:
Man sieht sofort, dass die Feldenergie sehr schnell mit dem Abstand abfällt.
Die Arbeit $W$, die an einer Ladung im elektrischen Feld geleistet wird, ist definiert als:
$W = E \cdot Q \cdot s$
Dabei ist $s$ die Strecke, die längs des Felds zurückgelegt wird. Da wir wissen, dass das Potenzial einer Spannung entspricht und die Spannung gerade Arbeit pro Ladung ist, müssen wir nur durch $Q$ teilen, um $\phi$ zu erhalten:
$\phi = E \cdot s$
Elektrisches Potenzial berechnen – Beispiel
Nehmen wir an, die Punktladung ist positiv geladen. Wir wollen herausfinden, wie groß das Potenzial am Punkt $r_0$ ist. Dazu müssen wir berechnen, wie viel Arbeit wir aufwenden müssten, um eine weitere positive Ladung aus dem Unendlichen bis an den Punkt $r_0$ zu bewegen. Das gesuchte Ergebnis ist also die schraffierte Fläche unter dem Graphen:
Das ist das Integral von $\infty$ bis $r_0$ über $E(r)$. Wir können im Fall einer Punktladung das elektrische Potenzial also so berechnen:
$\phi (r_0) = \int_{r_0}^{\infty} E(r) \,dr = \biggl\lbrack \frac{-1}{4 \pi \epsilon} \frac{Q}{r}\biggr\rbrack_{\infty}^{r_0} = 0 + \frac{1}{4 \pi \epsilon} \frac{Q}{r_0}$
Führt man zusätzlich die Einheitenrechnung durch, sieht man, dass das elektrische Potenzial die Einheit Joule pro Coulomb hat, also die gleiche Einheit wie die Spannung:
$[\phi] = [U] = \frac{\text{J}}{\text{C}}$
Potenzialdifferenz zwischen zwei Punkten
Die elektrische Spannung ist gerade die Potenzialdifferenz zwischen zwei Punkten $A$ und $B$, also:
$U_{AB} = \phi_A - \phi_B$
Die Potenziale für $A$ und $B$ berechnet man nach dem gleichen Verfahren wie weiter oben beschrieben. Die Potenzialdifferenz ergibt sich dann aus der Differenz der Potenziale für $A$ und $B$. Damit erhält man zum Beispiel für eine Punktladung:
$U_{AB} = \phi_A - \phi_B = \frac{Q}{4 \pi \epsilon} \Bigl( \frac{1}{r_A} - \frac{1}{r_B} \Bigr)$
Weil das Feld einer Punktladung ein konservatives Kraftfeld ist, spielt der genaue Weg dabei keine Rolle – nur Anfangs- und Endpunkt bestimmen, wie viel Arbeit aufgebracht werden muss.
Transkript Elektrisches Potential – Spannung zwischen zwei Punkten im elektrischen Feld
Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle! Wir wollen uns heute wieder aus dem Themengebiet Elektriztiät und Magnetismus das elektrische Potential genauer ansehen. Für dieses Video solltet ihr am besten schon die Videos zum Coulombschen Gesetz und zur elektrischen Feldstärke gesehen haben. Dann wollen wir mal. Wir lernen heute, was das elektrische Potential ist, wie man es herleiten kann und wie man eine Potentialdifferenz berechnen kann. Dann mal auf zu Frage 1. Was ist denn das elektrische Potential? Einfach gesagt gibt das elektrische Potential an einem bestimmten Ort r an, welche Spannung zwischen diesem Punkt r und einem festen Bezugspunkt, üblicherweise in unendlicher Entfernung, herrscht. Da Spannung ja Arbeit pro Ladung ist, kann man also sagen: Das Potential ist ein Maß dafür, inwiefern das Feld imstande ist, Arbeit an einer Ladung zu verrichten, unabhängig davon, wie groß sie ist. Als Nächstes wollen wir uns ansehen, wie man eine Formel für das Potential im Punkt r herleiten kann. Wir haben gerade gehört: Das Potential ist ein Maß für die Fähigkeit des Feldes, Arbeit an einer Ladung zu verrichten, egal, wie groß diese Ladung ist. Und diesen Satz (egal, wie groß die Ladung ist) haben wir schon mehrfach gehört, und zwar bei der elektrischen Feldstärke. Deshalb zeichne ich ein Koordinatensystem, in dem der Abstand die x- und die Feldstärke die y-Achse ist, auf. Als Beispiel nehmen wir, denn die kennen wir schon, die elektrische Feldstärke einer Punktladung: E=(1/4πε)×(Q/r2). Wir wissen, einfach gesagt: Arbeit = Kraft × Weg. Und wir wissen auch: Unsere Feldstärke × die Ladung = Kraft. Also ist die Arbeit: Feldstärke × Ladung × Weg. Damit ergibt sich, da unser Potential ja eine Spannungsdifferenz ist und Spannung = Arbeit / Ladung: Potential = Feldstärke × Weg. Das ist aber gar nicht so einfach zu berechnen, wie es sich anhört, wie ihr gleich im Beispiel sehen werdet. Nehmen wir mal an, unser Feld wird von einer positiven Ladung erzeugt. Wenn ich also nun das Potential im Punkt r0 berechnen möchte, muss ich also quasi ausrechnen, wie viel Arbeit pro Coulomb nötig wäre, um eine 2. positive Ladung aus unendlicher Entfernung bis zum Punkt r0 zu bringen. Das gesuchte Ergebnis ist also diese rot schraffierte Fläche. Falls ihr die Integralrechnung noch gut im Kopf habt, könnt ihr das eigentlich schnell ausrechnen. Das ist nämlich das ∫ von r0 bis ∞ über die Feldstärke dr. Für unser konkretes Beispiel der Punktladung heißt das: Ihr müsst erst eine Stammfunktion von E finden, zum Beispiel (-1/4πε)×(Q/r), und dann erst ∞ und dann r0 einsetzen, und dann Zweiteres von Ersterem abziehen. Das ergibt dann, da Q/∞=0 ist, für ∞: 0-(-1), also insgesamt 0+(1/4πε)×(Q/r). Und das ist die Formel für das Potential im Feld einer Punktladung. Als Letztes wollen wir uns noch ansehen, was passiert, wenn nicht einer meiner Punkte in unendlicher Entfernung liegt, also wenn ich eine Potentialdifferenz zwischen 2 Punkten A und B berechnen möchte. Dazu wollen wir uns schnell erinnern: Eine Potentialdifferenz ist eine Spannung zwischen 2 Punkten. Die Berechnung ist eigentlich ganz einfach. Da ich ja die Potentialdifferenz zwischen einem Punkt und ∞ berechnen kann, berechne ich einfach für beide Punkte die Potentialdifferenz (oder Spannung) zwischen dem Punkt und ∞, und ziehe sie dann voneinander ab. Die Spannung Uab zwischen den Punkten A und B ist also: ΦA-ΦB (Potential von A - Potential von B). Wenn wir als Beispiel wieder eine Punktladung nehmen (wie im Bild links), ergibt sich also: Die Spannung zwischen A und B = Q/4πε×(1/ra-1/rb). Da wir uns hier in einem konservativen Kraftfeld befinden (was übrigens so viel heißt wie: ein Körper, der unsere Ladung auf einer Äquipotentiallinie umrundet, gewinnt weder Energie noch verliert er sie), ist es übrigens egal, welchen Weg wir von A nach B nehmen. Es muss immer die gleiche Arbeit verrichtet werden. So, zuletzt wollen wir noch kurz auf die Einheiten des Potentials eingehen. Wie wir mehrfach gehört haben, gibt das Potential uns einen Spannungsunterschied zwischen 2 Punkten an. Es ist also selbst eine Spannung und hat damit die gleiche Einheit wie die Spannung, nämlich V (Volt) oder J/C (Joule/Coulomb). So, und damit sind wir schon wieder am Ende. Wir wollen noch einmal wiederholen, was wir heute gelernt haben. Das Potential gibt uns die Spannung zwischen einem Punkt und einem bestimmten Bezugspunkt an und ist ein Maß für die Fähigkeit eines elektrischen Feldes, Arbeit zu verrichten. Das Potential am Punkt r ist das ∫ über die Feldstärke von r bis ∞. Bei dieser Rechnung ist der Bezugspunkt in unendlicher Entfernung und dort das Potential gleich 0. Natürlich kann man aber auch eine Potentialdifferenz zwischen 2 Punkten A und B berechnen oder anders gesagt, die Spannung zwischen diesen beiden Punkten. Diese Spannung ist einfach ΦA-ΦB (das Potential im Punkt A - das Potential im Punkt B). Auf welchem Weg die von uns betrachtete Ladung dann von A nach B gelangt, ist egal. In konservativen Kraftfeldern ist die verrichtete Arbeit wegunabhängig. So, und das war es schon wieder für heute. Ich hoffe, ich konnte euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen, hoffentlich bis zum nächsten Mal. Euer Kalle
Elektrisches Potential – Spannung zwischen zwei Punkten im elektrischen Feld Übung
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Gib Gleichungen für Feldstärke und Potential an.
TippsWas ist die Feldstärke einer Punktladung?
Wie berechnet man das elektrische Potential aus der Feldstärke?
LösungDas elektrische Potential ergibt sich aus der Feldstärke durch die Integration über den Weg:
$\Phi(r_0)=\int_{r_0}^\infty \, E(r)\,dr$.
Das elektrische Feld eine Punktladung ist:
$E(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon}\frac{Q}{r^2}$.
Durch Integration erhält man
$\Phi(r_0)=\frac{1}{4\pi\epsilon}Q\int_{r_0}^\infty\,\frac{1}{r^2}\,dr=\frac{1}{4\pi\epsilon}Q\frac{1}{r_0}$
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Beschreibe das elektrische Potential.
TippsErinnere dich daran, wie Arbeit, Ladung und elektrisches Feld zusammenhängen.
Was ist die Einheit der elektrischen Feldstärke?
LösungDie Arbeit, die nötig ist, eine Ladung $Q$ in einem ortsabhängigen elektrischen Feld $E(r)$ auf einem Weg $s$ zu verschieben, ergibt sich als Integral über diesen Weg von $Q\cdot E(r)$.
Das elektrische Potential an einem Ort $\vec r$ gibt nun unabhängig von der Ladung ein Maß dafür, wie viel Arbeit das Feld verrichten kann, wenn ich eine Ladung vom Ort $r$ zu einem Fixpunkt verschiebe.
Deshalb erhält man das Potential, indem man die Arbeit durch die Ladung teilt. Dann ist sie das Integral über $E(r)$ vom Punkt $\vec r$ zum Fixpunkt. Der Fixpunkt liegt meistens im Unendlichen. Das Ergebnis ist unabhängig vom genauen Weg. Entscheidend sind nur Anfangs und Endpunkt.
Die Einheit des Potentials ist dann also die Einheit des elektrischen Feldes: Volt pro Meter mal Meter also Volt oder Joule pro Coulomb. Das ist die Einheit der Spannung. Man kann das elektrische Potential also auch als Spannung zwischen zwei Punkten bezeichnen.
Die Spannung zwischen zwei Punkten $A$ und $B$ ergibt sich auch durch eine Integration über den Weg zwischen $A$ und $B$. Da das Potential wegunabhängig ist, können wir auch einfach einen Weg von $A$ zum Fixpunkt und vom Fixpunkt nach $B$ wählen. Dann können wir die Integration aber auch in zwei Abschnitte zerteilen: 1. Integration von $A$ zum Fixpunkt und 2. Integration vom Fixpunkt nach $B$. Die erste Integration ist das Potential am Ort $A$. Die Integration vom Fixpunkt nach $B$ ist minus die Integration von $B$ zum Fixpunkt, da man den Weg einfach in umgekehrter Reihenfolge durchläuft. Letzteres ist das Potential am Ort $B$. Wir schreiben $FP$ für Fixpunkt und erhalten:
$U_{AB}=\int_A^B\,E(r)\,dr=\int_A^{FP}\,E(r)\,dr+\int_{FP}^B\,E(r)\,dr=\Phi(A)-\int_B^{FP}\,E(r)\,dr=\Phi(A)-\Phi(B)$
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Berechne das Potential in einem gegebenen Abstand von einer Punktladung.
TippsWas ist die Formel für das Potential einer Punktladung?
Die Konstante $\epsilon$ ist die elektrische Feldkonstante.
Die elektrische Feldkonstante ist etwa $8,854\cdot 10^{-12}\,\frac{C}{Vm}$.
LösungGegeben sind die Ladung $Q=1\,C$ und der Abstand $r=2\,m$.
Die Formel für das Potential einer Punktladung ist:
$\Phi(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon}\frac{Q}{r}$.
Die elektrische Feldkonstante ist $\epsilon= 8,854\cdot 10^{-12}\,\frac{C}{Vm}$. Wir setzen ein und erhalten:
$\Phi(r)=4,5\cdot 10^9\,\frac{1}{\frac{C}{Vm}}\frac{C}{m}=4,5\cdot 10^9\,V$.
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Finde das Potential zur Feldstärke.
TippsDas Potential ist minus das Integral der Feldstärke über den Weg $x$.
Das Integral einer Kurve ergibt sich als die Fläche zwischen der Kurve und der $x$-Achse.
Überlege dir, wie das Vorzeichen des elektrischen Feldes und das des elektrischen Potentials zusammenhängen.
Anstatt die Feldstärke zu integrieren, kannst du auch das Potential ableiten. Denn die Ableitung eines Integrals einer Funktion ist wieder die Funktion selbst.
Also $E(x)=\frac{d}{dx}\,\Phi(x)$.
LösungDas elektrische Potential $\Phi(x)$ ist das Integral der elektrischen Feldstärke $E(x)$ über $x$ vom Punkt $x_0$ nach unendlich.
$\Phi(x)= \int_{x_0}^\infty\, E(x) \,dx $.
Bei unendlich setzen wir das Potential null. Dann ist das Potential einfach minus die Stammfunktion der Feldstärke. Also:
$\Phi(x)= -\int\, E(x) \,dx $.
Im ersten Bild siehst du eine konstante positive Feldstärke. Das Integral über eine positive Konstante ist eine Gerade mit einem positiven Anstieg. Das Potential ist also eine Gerade, die konstant abfällt.
Im zweiten Bild siehst du eine linear ansteigende Feldstärke. Das Integral über eine konstante Funktion ist eine quadratische Funktion. Das Potential ist also eine umgekehrte Parabel.
Im dritten Bild siehst du eine konstante negative Feldstärke. Das Integral ist also eine Gerade, die kontant abfällt, und das Potential ist eine Gerade, die konstant ansteigt.
Im vierten Bild siehst du eine Feldstärke, die mit eins durch den Weg $x$ abfällt. Das Integral über $\frac{1}{x}$ ist $-\frac{1}{x^2}$. Das Potential verhält sich also wie $\frac{1}{x^2}$.
Anstatt die Feldstärke zu integrieren, kannst du auch immer das Potential ableiten. Denn die Ableitung eines Integrals einer Funktion ist wieder die Funktion selbst. Also:
$E(x)=\frac{d}{dx}\,\Phi(x)$.
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Unterscheide elektrische Feldstärke und elektrisches Potential.
TippsErinnere dich an die Einheit der Spannung.
Volt mal Coulomb ist Joule.
Sagt dir der Begriff Feldlinien etwas? Wie verhalten sich diese?
LösungDas Formelzeichen für das elektrische Potential ist $\Phi$ und für die elektrische Feldstärke $E$. Die Einheit der Feldstärke ist $\frac{V}{m}$. Das Potential ist das Integral der Feldstärke über einen Weg. Daraus ergibt sich die Einheit des Potentials als $V$. Volt ist auch Joule pro Coulomb.
Das elektrische Feld wird durch Feldlinien dargestellt. Von einer Punktladung gehen diesen senkrecht aus. Das Potential wird durch Flächen dargestellt, auf denen jeder Punkt das gleiche Potential besitzt. Bei einer Punktladung sind diese Flächen Kugeln mit der Punktladung als Mittelpunkt.
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Berechne die Spannung zwischen zwei Punkten im homogenen elektrischen Feld.
TippsErinnere dich daran, wie man das Potential aus der Feldstärke berechnet.
Du erhältst das Potential durch Integration entlang der $x$-Achse.
Da das Feld außerhalb des Plattenkondensators verschwindet, brauchst du nur bis zur rechten Platte integrieren.
LösungGegeben sind die Feldstärke $E=1\,\frac{V}{m}$ und die $x$-Koordinaten der Punkte $A$ und $B$: $x_A=-1\,cm$ und $x_B=1\,cm$.
Um das elektrische Potential für die beiden Punkte zu erhalten, berechnen wir zuerst das elektrische Potential auf der $x$-Achse. Dafür integrieren wir über das elektrische Feld entlang der $x$-Achse. Also:
$\Phi(x_0)=\int_{x_0}^\infty\, E\,dx$.
Da der Plattenkondensator bei $x=2\,cm$ endet und das Feld außerhalb des Plattenkondensators null ist, reicht es, bis zur Platte zu integrieren. Wir erhalten also:
$\Phi(x_0)=\int_{x_0}^{2\,cm}\, E\,dx$.
Da die Feldstärke $E$ im Plattenkondensator konstant ist, ist das Integral einfach zu lösen:
$\int_{x_0}^{2\,cm}\, E\,dx=E\cdot 2\,cm - E\cdot x_0$.
Wir erhalten also für das Potential:
$\Phi(x_0)=E\cdot (2\,cm-x_0)$.
Für die Spannung zwischen den zwei Punkten $A$ und $B$ ergibt sich:
$U_{AB}=\Phi(x_A)-\Phi(x_B)=E\cdot (2\,cm-x_A)-E\cdot (2\,cm-x_B)=E(x_B-x_A)$
und weiter
$U_{AB}=E(x_B-x_A)=2\,cm\cdot E=0,02\,m\cdot 100 \frac{V}{m}=2\,V$.
Coulombsches Gesetz
Konzept der Feldlinien – elektrisches Feld
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Mir würde es sehr helfen, wenn man am Ende des Viedeos eine Beispielaufgabe rechnen würde. Ich habe mich gerade an der Testfrage versucht und leider keinen blassen schimmer wie ich das ausrechnen kann.. :/
Wenn am Ende des Viedeos nur eine kurze Aufgabe gezeigt werden würde, so wüsste ich wie ich vorgehen muss...
Ansonsten hat mir das Viedeo geholfen! :)
@Oktaydemirel: Dein Feedback ist super und wird gerne aufgenommen. Es ist sehr gut und hilfreich, wenn du schreibst, an welcher Stelle dir etwas fehlt bzw. wie genau man es besser machen könnte. Danke dafür!
Dieses Video ist mittlerweile auch schon wieder 3 Jahre alt und wir verbessern unsere Videos seitdem kontinuierlich weiter. Zur Erklärung des elektrischen Potetials findest du z.B. hier noch ein Video: http://www.sofatutor.com/physik/videos/die-felder-punktfoermiger-ladungen
Grüße, Max
Ich finde auch dass es irgendwie Crashkurs-Niveau hat. Also viel Stoff in sehr kurzer Zeit. Ohne auf andere Erklärungen zurückzugreifen werde ich mir das wohl nicht erschließen können...Wäre echt klasse, wenn man sich mehr Zeit nimmt um die Thematik etwas weiter auszuführen.
Zum Beispiel wäre es sehr hilfreich, wenn man nach dem Punkt "Was ist das elektrische Potential", das ganze anhand einer Zeichnung verdeutlicht, bevor man gleich aus dem Nichts eine Herleitung der Formel beginnt. Das macht nämlich mein Lehrer leider schon und deswegen bin ich auf dieser Seite.
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Viel zu schnell erklärt