Isotherme Zustandsänderungen

Isotherme Zustandsänderungen Übung

• Gib an, was der erste Hauptsatz der Thermodynamik besagt.

  Tipps

  Orientiere dich an der gegebenen Formel.

  Die beiden ausführlichen Schreibweisen beschreiben die Vorgänge einmal ausgehend von der linken und einmal ausgehend von der rechten Gleichungsseite.

  Lösung

  Für diese Vielzahl an Darstellungsweisen und Formulierungen des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik gilt: Sie sind alle gleichwertig und du solltest mit den Ausdrücken arbeiten, die dir am zugänglichsten sind.

  Wichtig ist dabei, dass der erste Hauptsatz der Thermodynamik nur für geschlossene Systeme gilt. Das bedeutet, dass diese Systeme zwar Energie mit der Umgebung austauschen können, jedoch keine Materie.

• Beschreibe mit Hilfe des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik isothermen Zustandsänderungen formelmäßig.

  Tipps

  Was ist das wesentliche Merkmal isothermer Vorgänge?

  Welche physikalische Größe ändert sich bei isothermen Vorgängen nicht?

  Bei isothermen Vorgängen bleibt die Temperatur $T$ konstant beziehungsweise ist $\Delta T~=~0$.

  Wie verhält sich demnach die innere Energie $\Delta E$?

  Welche Rückschlüsse lässt dies auf die Größen Wärme $Q$ und Arbeit $W$ zu?

  Lösung

  Bei isothermen Vorgängen ändert sich die Temperatur eines Systems nicht. Die Temperaturdifferenz zwischen zwei Zuständen in diesem System ist immer Null: $\Delta T~=~0$.

  Dies bedeutet, dass sich auch die innere Energie $E$ des Systems während der isothermen Zustandsänderungen nicht verändert. Es gilt also: $\Delta E~=~0$. Das ist eine ganz wichtige Feststellung, die hier erst mal noch etwas abstrakt erscheint. Was das an konkreten Beispielen genau bedeutet und wie isotherme Zustandsänderungen in der Praxis erreicht werden können, schauen wir uns in den nächsten Aufgaben noch genauer an.

  Setzt man dies in den ersten Hauptsatz der Thermodynamik ein, so vereinfacht sich die Gleichung außerdem zu: $0~=W~+~Q$. Oder umgestellt nach einer der beiden Größen gilt auch: $W~=~-~Q$ oder $Q~=~-~W$. Hier fallen sofort die entgegengesetzten Vorzeichen zwischen der Wärme und der Arbeit auf. Näheres dazu auch gleich an anschaulicheren Beispielen.

• Entscheide, ob die beschriebenen Zustandsänderungen isotherm sind.

  Tipps

  Überprüfe, ob der vereinfachte erste Hauptsatz der Thermodynamik für isotherme Zustandsänderungen gilt.

  Lösung

  Gase können je nach gewählten Rahmenbedingungen isotherm oder nicht isotherm komprimiert werden.

  Verkleinert man das Volumen eines eingeschlossenen Gases, so muss man an dem Gas Arbeit verrichten. Diese Arbeit wird auch als Volumenarbeit $W$ bezeichnet und mit einem positiven Vorzeichen angegeben, weil die Energie dem System Gas zugeführt wird.

  Die entscheidende Frage ist dann, ob das Gas die durch die Arbeit zugeführte Energie vollständig in Form von Wärme abgeben kann oder nicht.

  Verläuft die Kompression langsam und kann das Gas die gesamte Wärme $-~Q$ nach außen abgeben (daher das negative Vorzeichen), so ist die Zustandsänderung isotherm. Es gilt $W~=~-~Q$. Die innere Energie des Gases und somit auch seine Temperatur bleiben konstant: $\Delta E=0$ und $\Delta T=0$.

  Ist dies dem Gas jedoch nicht möglich, weil es zum Beispiel sehr schnell komprimiert wird, so erhöht sich seine innere Energie und somit auch seine Temperatur. Der Vorgang ist dann nicht isotherm. Im Extremfall kann das Gas gar keine Wärme nach außen abgeben und die Erhöhung der inneren Energie ist maximal.

• Interpretiere die Versuchsergebnisse von Boyle und Mariotte anhand des gezeigten p-V-Diagramms.

  Tipps

  Beachte Diagrammtitel und die Beschriftungen.

  Welcher mathematische Zusammenhang besteht zwischen p und V sowie zwischen p und T?

  Lösung

  Boyle und Mariotte untersuchten in ihren Versuchsreihen jeweils ein Gas bei verschiedenen Temperaturen. In jeder Versuchsreihe legten sie eine Temperatur fest, die während des gesamten Versuchs konstant blieb. Daher spricht man hier von isothermen Zustandsänderungen.

  Dann untersuchten sie, welche Drücke sich für unterschiedliche Volumina im Gas einstellten. Der Zusammenhang zwischen Volumen und Druck ist unter isothermen Bedingungen umgekehrt proportional. Das heißt, in großen Volumina sind die Gasdrücke geringer als in kleinen Volumina.

  Am Graphen erkennt man dies an der Hyperbelform. Mathematisch lässt sich die Antiproportionalität zwischen den beiden untersuchten Größen Druck und Volumen durch die Konstanz ihres Produktes für jede Versuchsreihe nachweisen: $p\cdot V=\text {konstant}$.

  Die Isothermen mit geringeren Temperaturen liegen im Diagramm näher an der x- und der y-Achse, da der Druck proportional zur Temperatur ist: $p\sim T$.

• Benenne Beispiele, bei denen isotherme Zustände beziehungsweise isotherme Zustandsänderungen eine zentrale Rolle spielen.

  Tipps

  Bei welchen Anwendungen ist die Temperatur konstant, der Zustand also isotherm?

  Autoklaven töten zum Beispiel in heißem Wasserdampf Keime bei einer Temperatur knapp über 120°C ab.

  Bei welchen Anwendungen treten unter anderem isotherme Zustandsänderungen auf?

  Diese Anwendungen liegen im Bereich der Wärmekraftmaschinen.

  Insgesamt sind vier Antworten richtig.

  Lösung

  Es gibt technische Anwendungen, bei denen isotherme Zustände auftreten.

  Das kann zum Beispiel einfach bedeuten, dass durch ein Thermostat die Luft in einem Raum auf einer konstanten Temperatur gehalten wird. Bei Anwendungen wie dem Autoklaven muss ebenfalls eine gewünschte Temperatur über einen bestimmten Zeitraum gehalten werden. So können beispielsweise medizinische Instrumente sterilisiert werden, indem sie heißem Wasserdampf mit einer Temperatur von gut 120° C ausgesetzt werden. Die Linien gleicher Temperatur auf einer Wetterkarte heißen dem entsprechend Isothermen. Isobaren hingegen sind Linien gleichen Luftdrucks.

  Beim Wasserkocher hingegen wird Wasser bis zum Sieden erhitzt: Die Temperatur des Wassers ändert sich beständig, der Vorgang ist nicht isotherm.

  Dampfmaschine und Dampflokomotive gehören zu den Wärmekraftmaschinen. Diese arbeiten unter anderem mit isothermen Zustandsänderungen. Näheres dazu erfährst du beispielsweise beim Carnot´schen Kreisprozess.

• Leite dir eine graphische Auswertung her, mit deren Hilfe du experimentelle Daten auf isotherme Zusammenhänge prüfen kannst.

  Tipps

  Gesucht ist der Ausdruck, der eine direkte Proportionalität zwischen Druck und Volumen beschreibt.

  Lösung

  Eine Ursprungsgerade erhältst du, wenn du den Kehrwert des Volumens gegen den Druck aufträgst. Die Abbildung verdeutlicht dies. So ist es möglich, isotherme Vorgänge einfach graphisch zu identifizieren. Lässt sich durch die Messwertpunkte unter Berücksichtigung der zu erwartenden Fehlerintervalle keine Ursprungsgerade legen, so lag keine isotherme Zustandsänderung vor.

  Diese Möglichkeit besteht generell für alle antiproportionalen Zusammenhänge, denn neben $p\cdot V=\text{konstant}$ gilt ja ebenfalls $p\sim \frac 1V$. Dies kann man sich auch anhand der allgemeinen Gasgleichung $p\cdot V=T\cdot n\cdot R$ überlegen, die für diesen Fall umgestellt nach dem Druck liefert: $p=\frac TV\cdot n\cdot R$. Für höhere Temperaturen ist dabei auch der Anstieg der Ursprungsgeraden höher, wie auch in der Abbildung deutlich wird.