Carnotscher Kreisprozess

Was ist der Carnot-Prozess?

Der carnotsche Kreisprozess oder auch Carnot-Prozess gehört in der Physik zu den Kreisprozessen. Aber was ist ein Kreisprozess und was versteht man unter dem Carnot-Prozess? In diesem Text wird diese Frage beantwortet und der Carnot-Prozess wird einfach erklärt. Dazu betrachten wir zunächst Kreisprozesse im Allgemeinen, um dann auf die Besonderheiten des carnotschen Kreisprozesses einzugehen.

Was sind Kreisprozesse?

Kreisprozesse beschreiben die periodischen, thermodynamischen Zustandsänderungen eines Fluids, die meist in Wärmekraftmaschinen während ihrer Arbeit auftreten. Nach einem Umlauf wird stets der Ausgangszustand durchlaufen.

Kreisprozesse (manchmal auch: thermodynamische Kreisprozesse) werden in der Regel dazu benutzt, die Funktionsweise von Wärmekraftmaschinen zu veranschaulichen. Es gibt verschiedene Wärmekraftmaschinen, die Wärme in mechanische Energie umwandeln.

Mithilfe der Beschreibung als Kreisprozess kann man verschiedene Größen bestimmen:

• Temperaturänderungen
• Energieumwandlungen
• Verrichtete Arbeit
• Wirkungsgrad

Die Funktionsweise der Wärmekraftmaschine wird meist in einem Diagramm dargestellt, in dem der Druck $p$ über dem Volumen $V$ abgetragen wird. Eine vereinfachte Darstellung ist in der folgenden Grafik zu sehen.

Eine solche Darstellung wird als p-V-Diagramm oder Indikatordiagramm bezeichnet. Die Zahlen $1$ bis $4$ bezeichnen die thermodynamischen Zustände. Der Pfeil gibt die Richtung des Prozesses an.

Carnot-Prozess – Besonderheiten

Carnot entwickelte den nach ihm benannten Kreisprozess im Jahr $1824$. Der carnotsche Kreisprozess ist ein idealer Prozess. Das bedeutet, dass keine realen Energieverluste berücksichtigt werden – Einflüsse wie Reibung oder Undichtigkeiten werden vernachlässigt. Der carnotsche Kreisprozess ist dadurch reversibel. Ein solcher Prozess ist in der Realität nicht umsetzbar, es handelt sich also um ein Gedankenexperiment. Er veranschaulicht dabei den $2.$ Hauptsatz der Thermodynamik. Der maximale theoretische Wirkungsgrad wird in diesem Prozess mit $\eta_c$ beschrieben. Er wird auch thermischer Wirkungsgrad genannt.

Carnot-Prozess – Verlauf

Beim carnotschen Kreisprozess sind beide Richtungen möglich, da der Prozess reversibel ist. Im Folgenden wird der Prozess im Uhrzeigersinn betrachtet. Die folgende Grafik zeigt das $p$–$V$–Diagramm des Carnot-Prozesses.

Die Zahlen $1$ bis $4$ beschreiben die thermodynamischen Zustände. Der Pfeil gibt die Richtung an, in der die Zustände abgelaufen werden. In diesem Fall verläuft der Prozess im Uhrzeigersinn. Die eingeschlossene Fläche entspricht der verrichteten Arbeit.

Im Zustand $1$ besitzt das Gas die Temperatur $T_1$, den höchsten Druck $p_1$ und das kleinste Volumen $V_1$ des Kreisprozesses. Beim Übergang von Zustand $1$ zu Zustand $2$ gibt es eine Vergrößerung des Volumens auf das Volumen $V_2$. Es findet eine isotherme Expansion statt. Isotherm bedeutet, dass die Temperatur konstant bleibt. Es muss also Wärme $Q$ hinzugefügt werden, damit sich das Volumen ändern kann, ohne dass sich die Temperatur ändert. Bei diesem Übergang wird Arbeit verrichtet und der Druck sinkt leicht.

Im Zustand $2$ wird die Wärmezufuhr gestoppt. Das Gas dehnt sich weiterhin aus. Das hat eine Temperaturabnahme zur Folge, da die innere Energie durch die verrichtete Arbeit abnimmt. Es kommt zu einer adiabatischen Expansion. Adiabatisch bedeutet, dass keine Wärme mit der Umgebung ausgetauscht wird. Im Zustand $3$ hat das Gas den geringsten Druck und das höchste Volumen $V_3$. Das Gas hat nun die Temperatur $T_2$ erreicht.

Im Übergang von Zustand $3$ zu Zustand $4$ findet eine isotherme Kompression statt. Das heißt, die Temperatur $T_2$ bleibt gleich, während sich das Volumen verringert. Der Druck steigt an. Für diesen Prozess muss Arbeit aufgewendet werden. Die dabei entstandene Wärme wird an die Umgebung abgegeben.

Der Übergang vom Zustand $4$ zum Zustand $1$ vollendet den Zyklus. Das Volumen wird weiter vermindert, bis es das Ausgangsvolumen $V_1$ erreicht hat. Wärme wird jedoch nicht weiter abgegeben, weshalb es zu einem Anstieg der inneren Energie und damit zu einem Temperaturanstieg von $T_2$ zu $T_1$ kommt. Es findet eine adiabatische Kompression statt.

Carnot-Prozess – verrichtete Arbeit

Die verrichtete Arbeit wird auch als abgegebene Arbeit bezeichnet. Sie ist wichtig, um den Wirkungsgrad $\eta$ der Wärmekraftmaschine zu berechnen. Die Gesamtarbeit $W_{ges}$ des Carnot-Prozesses ergibt sich aus den verrichteten Arbeiten der Teilprozesse.

$W_{ges} = W_{12} + W_{23} + W_{34} + W_{41}$

Nach dem $1.$ Hauptsatz der Thermodynamik gilt:

$\Delta E = W + Q$

Die Änderung der inneren Energie $\Delta E$ ergibt sich aus der Summe aus ausgeführter bzw. abgegebener Arbeit $W$ und aufgenommener bzw. abgegebener Wärme $Q$. Für die beiden adiabatischen Schritte gilt $Q = 0$. Daher berechnet sich die Arbeit für diese Schritte jeweils aus den Differenzen der inneren Energie.

$W_{23} = E\left(T_2\right) - E\left(T_1\right)$

$W_{41} = E\left(T_1\right) - E\left(T_2\right)$

Diese beiden Prozesse gleichen sich gegenseitig aus. Ihre Summe ist $0$.

$W_{23} + W_{41} = 0$

Somit vereinfacht sich der Term für die Gesamtarbeit.

$W_{ges} = W_{12} + W_{34}$

Die beiden verbliebenen Teilprozesse sind isotherm, wodurch die Formel für die Volumenarbeit verwendet werden kann.

$W_{12} = R \cdot T_1 \cdot \ln \frac{V_1}{V_2}$

Dabei ist $R$ die allgemeine Gaskonstante.

$W_{34} = R \cdot T_2 \cdot \ln \frac{V_3}{V_4}$

Da zwischen Zustand $2$ und Zustand $3$ eine adiabatische Zustandsänderung stattfindet, gilt die folgende Gleichung ($1$).

$ (1) \quad T_1 \cdot V_2^{\kappa - 1} = T_2 \cdot V_3^{\kappa -1} $

Eine analoge Beziehung gilt bei dem Übergang von Zustand $4$ zu Zustand $1$.

$ (2) \quad T_2 \cdot V_4^{\kappa - 1} = T_1 \cdot V_1^{\kappa -1} $

Dabei steht $\kappa$ für die Adiabatenkonstante. Vertauschen wir die Seiten in der Gleichung ($1$), so erhalten wir die Gleichung ($1$a).

$ (1a) \quad T_2 \cdot V_3^{\kappa - 1} = T_1 \cdot V_2^{\kappa -1} $

Dividieren wir ($1$a) durch ($2$), so kürzen sich die Temperaturen heraus und wir erhalten:

$\frac{V_3^{\kappa - 1}}{V_4^{\kappa - 1}} = \frac{V_2^{\kappa -1}}{V_1^{\kappa -1}}$

Das können wir zusammenfassen als:

$\Bigl(\frac{V_3}{V_4}\Bigr)^{\kappa - 1} = \Bigl(\frac{V_2}{V_1}\Bigr)^{\kappa - 1}$

Durch das Ziehen der $(\kappa - 1)$-ten Wurzel ergibt sich:

$\frac{V_3}{V_4} = \frac{V_2}{V_1}$

Ersetzen wir $\frac{V_3}{V_4}$ durch $\frac{V_2}{V_1}$ in der Formel für $W_{34}$, dann erhalten wir:

$W_{34} = R \cdot T_2 \cdot \ln \frac{V_2}{V_1}$

Im Logarithmus vertauschen wir nun Zähler und Nenner und erhalten dadurch ein negatives Vorzeichen.

$W_{34} = - R \cdot T_2 \cdot \ln \frac{V_1}{V_2}$

Für $W_{ges}$ ergibt sich nun:

$W_{ges} = R \cdot T_1 \cdot \ln \frac{V_1}{V_2} - R \cdot T_2 \cdot \ln \frac{V_1}{V_2}$

Um die Formel zu vereinfachen, können wir $R \cdot \ln \frac{V_1}{V_2}$ ausklammern. Die Formel für die verrichtete Arbeit des Carnot-Prozesses lautet somit:

$ W_{ges} = \left(T_1 - T_2\right) \cdot R \cdot \ln \frac{V_1}{V_2}$

Carnot-Prozess – thermischer Wirkungsgrad

Wir untersuchen, welchen Wirkungsgrad die ideale Wärmekraftmaschine besitzt. Da wir sämtliche Verluste vernachlässigt haben, wird der Wirkungsgrad hoch sein. Er wird sogar eine theoretische Obergrenze darstellen, weil alle reellen Wärmekraftmaschinen Verluste aufweisen werden. Aber wie hoch ist er?

Der Wirkungsgrad unserer Wärmekraftmaschine ist der Quotient aus der verrichteten Arbeit $W_{ges}$ und der aufgenommenen Wärme $Q_{12}$.

$\eta = \frac{W_{ges}}{Q_{12}}$

Die verrichtete Arbeit haben wir im Abschnitt vorher bestimmt. Die aufgenommene Wärme ist gegeben durch:

$Q_{12} = T_1 \cdot R \cdot \ln \frac{V_1}{V_2}$

Da sich die Temperatur von Zustand $1$ zu Zustand $2$ nicht ändert, die aufgenommene Wärme eine Volumenänderung zur Folge hat und Verluste vernachlässigt werden, entspricht die Wärme gerade der Volumenarbeit – deswegen können wir diese Formel verwenden.

Daraus ergibt sich für den Wirkungsgrad:

$\eta = \frac{\left(T_1 - T_2\right) \cdot R \cdot \ln \frac{V_1}{V_2}}{T_1 \cdot R \cdot \ln \frac{V_1}{V_2}}$

Sowohl $R$ als auch der Logarithmus lassen sich herauskürzen.

$\eta = \frac{T_1 -T_2}{T_1}$

Daraus folgt, dass der Wirkungsgrad $\eta$ nur von $T_1$ und $T_2$ abhängig ist. Wir sehen, dass der Wirkungsgrad umso größer ist, je größer der Temperaturunterschied ist. Der Bruch $\frac{T_1 -T_2}{T_1}$ kann sich einem Wirkungsgrad von $1$ zwar annähern, ihn aber nicht erreichen. Das ginge nur, wenn $T_2$ null wäre – der absolute Nullpunkt der Temperatur ist aber nicht erreichbar. $\eta$ ist somit stets kleiner als $1$.

Die ideale Wärmekraftmaschine kann $\eta_c = 1$ niemals erreichen.

Dieses Video

In diesem Video lernst du den Carnot-Prozess und die wichtigsten Formeln zur Berechnung seines Wirkungsgrads kennen. Weitere Aufgaben und Beispiele zum Carnot-Prozess finden sich in den Übungen und Arbeitsblättern zum Thema auf dieser Seite.