Zweite kosmische Geschwindigkeit

Zweite kosmische Geschwindigkeit Übung

• Gib an, wie sich die zweite kosmische Geschwindigkeit beschreiben lässt.

  Tipps

  Die potentielle Energie soll gleich der kinetischen Energie eine betrachteten Masse sein.

  Es gilt das Newton'sche Gravitationsgesetz.

  Lösung

  Die zweite kosmische Geschwindigkeit ist definiert als die Geschwindigkeit, die mindestens notwendig ist, um die Erdanziehung zu überwinden.

  Man wählt den Ansatz, dass die kinetische Energie einer Masse gleich ihrer potentiellen Energie im Schwerefeld der Erde ist.

  Mit $E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 $ erhalten wir die kinetische Energie. Die potentielle Energie ergibt sich aus dem Newton'schen Gravitationsgesetz.

  Nach dem Umstellen erhalten wir so $ v_2 = \sqrt{\gamma \cdot \frac{m_E}{r_E}} = 11,1 \frac{km}{s}$.
  Darin ist $\gamma$ die Gravitationskonstante, $r_E$ der Radius der Erdkugel und $m_E$ die Masse der Erde. Wie du siehst, benutzen wir die Kenngrößen der Erde. Damit ist die zweite kosmische Geschwindigkeit nach unserer Berechnung auch nur für die Erde gültig.

  Die zweite kosmische Geschwindigkeit beträgt etwa $ 11,1 \frac{km}{s}$ und ist damit fast $1,5$ mal höher als die erste kosmische Geschwindigkeit.

• Bestimme den Wert für die zweite kosmische Geschwindigkeit.

  Tipps

  Rechne in den Grundeinheiten.

  $\gamma = 6,674 \cdot 10^{-11} \frac{m^3}{kg \cdot s^2}$

  $ v_2 = \sqrt{2 \cdot \gamma \cdot \frac{m_E}{r_E}}$

  Lösung

  Für die Berechnung der zweiten kosmischen Geschwindigkeit nutzen wir die Formel $ v_2 = \sqrt{2 \cdot \gamma \cdot \frac{m_E}{r_E}}$.

  Darin sind die Masse der Erde $m_E$ sowie deren Radius $r_E$ enthalten. Zudem ist die Gravitationskonstante notwendig, um $v_2$ zu berechnen.

  Setzen wir also nun die im Aufgabenkopf gegebenen Werte ein.

  Mit $m_E = 5,9722 \cdot 10^{24} kg$, $r_E = 6.371 km $ und $\gamma = 6,674 \cdot 10^{-11} \frac{m^3}{kg \cdot s^2}$ erhalten wir nun:

  $ v_2 = \sqrt{2 \cdot 6,674 \cdot 10^{-11} \frac{m^3}{kg \cdot s^2} \cdot \frac{5,9722 \cdot 10^{24} kg}{6.371.000 m}} = 11.187 \frac{m}{s}$.

  Um eine praktischere Darstellung zu erhalten, geben wir den Wert besser in der Einheit $\frac{km}{s}$ an.

  So erhalten wir mit $v_2 = 11,187 \frac{km}{s}$ schlussendlich den Wert für die zweite kosmische Geschwindigkeit, den wir auch in der Literatur finden.

• Gib an, welche Annahmen für die zweite kosmische Geschwindigkeit gültig sind.

  Tipps

  Die zweite kosmische Geschwindigkeit gilt für die Erde.

  Im Zuge der Berechnung von $v_2$ kann man die Massen $m$ kürzen.

  Es gilt $v_2 = \sqrt{2 \cdot \gamma \cdot \frac{m_E}{r_E}}$

  Lösung

  Bei der Berechnung der zweiten kosmischen Geschwindigkeit betrachten wir das Modell einer Masse $m$, welche sich auf der Erdoberfläche befindet und mit der Geschwindigkeit $v_2$ vom Erdmittelpunkt weg bewegt wird, sodass die kinetische Energie der Bewegung die potentielle Energie im Schwerefeld der Erde ausgleicht.

  Der Betrag der Masse$m$ ist dabei unerheblich, da diese im Zuge der Äquivalenzumformungen herausgekürzt werden kann. Für jede Masse ergibt sich somit die gleiche Geschwindigkeit $v_2$.

  Die Masse der Erde hingegen, also des anziehenden Körpers, nimmt sehr wohl Einfluss auf die zweite kosmische Geschwindigkeit. Mit anderen Worten auf einem anderen Planeten ergibt sich eine andere zweite Geschwindigkeit, wenn dieser eine geringere oder größere Dichte aufweisen würde.

  Die Probemasse $m$ befindet sich also im Schwerefeld der Erde, sodass man dieser eine potentielle Energie $E_{pot}$ nach dem Gravitationsgesetz zuordnen kann.

  Die Geschwindigkeit, die notwendig wäre, diese Energie zu überwinden, lässt sich mit der kinetischen Energie bestimmen.

  Man wählt also den Ansatz potentielle Energie gleich kinetische Energie.

• Berechne die zweiten kosmischen Geschwindigkeiten für weitere Planeten.

  Tipps

  $v_2 = \sqrt{2 \cdot \gamma \cdot \frac{m_P}{r_P}}$

  Beachte die Einheiten.

  Massereiche Planeten haben in der Regel hohe kosmische Geschwindigkeiten.

  Lösung

  Um die Geschwindigkeiten zu ermitteln, die notwendig sind, um die Anziehung der betrachteten Planeten zu überwinden, müssen die Werte für Masse und Radius eingesetzt werden.

  Dabei ist bereits auf den ersten Blick ersichtlich, dass $v_2$ mit der Wurzel des Verhältnisses der Masse des Planeten zu dessen Radius steigt. Für sehr massereiche Planeten ergibt sich so eine höhere zweite kosmische Geschwindigkeit. So ergibt sich für den Mars oder den Mond, die ja beide leichter und kleiner sind als die Erde, auch eine geringere $v_2$ als die auf der Erde.

  Für größere und schwerere Planeten ergibt sich eine höhere zweite kosmische Geschwindigkeit. Aus diesem Grund sind diese auf Jupiter oder Saturn auch höher als auf der Erde.

  Betrachten wir ein Beispiel: Um zu bestimmen, wie groß $v_2$ auf der Sonne sein müsste, setzen wir die gegebene Masse $m_S$ und $r_S$ ein.

  So erhalten wir mit $v_2 = \sqrt{2 \cdot \gamma \cdot \frac{m_P}{r_P}}$ und $r_S = 696.350 km$, sowie $m_S = 1,99 \cdot 10^{30} kg$ : $v_2 = \sqrt{2 \cdot 6,67 \cdot 10^{11} \cdot \frac{1,99 \cdot 10^{30} kg}{696.350 km}} = 617,43 \frac{km}{s}$.

  Die zweite kosmische Geschwindigkeit auf der Sonne ist demnach etwa um das 60-fache größer als die auf der Erde.

• Bestimme, von welchen physikalischen Größen die zweite kosmische Geschwindigkeit abhängt.

  Tipps

  $v_2$ ist um das $\sqrt2$-fache größer als $v_1$.

  Die zweite kosmische Geschwindigkeit auf dem Mond entspricht nicht der auf der Erde.

  Lösung

  Für die zweite kosmische Geschwindigkeit $v_2$ gilt die gezeigte Formel.

  Darin enthalten sind neben der Gravitationskonstante $\gamma$ auch die Erdmasse $m_E$ und der Erdradius $r_E$.

  Wir können $v_2$ also als eine Konstante verstehen, denn diese gilt für alle Massen, die von der Erde wegbewegt werden sollen.

  Setzen wir nun die Werte für $r_E$ und $m_E$ ein. Diese erhalten wir aus der Literatur. $\gamma$ ist eine Konstante und ebenfalls gegeben.

  Mit $r_E = 6371 km$ und $m_E = 5,97 \cdot 10^{24} kg$, sowie $\gamma = 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{m^3}{kg \cdot s^2}$ erhalten wir nun $v_2 = \sqrt{2 \cdot 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{5,97 \cdot 10^{24}}{6.371.000 m}} $, die zweite kosmische Geschwindigkeit von etwa $v_2 = 11,1 \frac{km}{s}$.

• Leite die zweite kosmische Geschwindigkeit her.

  Tipps

  Ansatz : $E_{kin,v2} =E_{pot}$

  $v_2 = \sqrt{2 \cdot \gamma \cdot \frac{m_E}{r_E}}$.

  Lösung

  Um die zweite kosmische Geschwindigkeit zu bestimmen, wählen wir zunächst den Ansatz $E_{kin,v2} =E_{pot}$.

  Aufgelöst ergibt sich also $\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = E_{pot} $.

  Dabei ist zu beachten, dass die potentielle Energie nicht einfach aus $E_{pot} =m \cdot g \cdot h$ bestimmt werden kann.

  Wir müssen hier das Newton'sche Gravitationsgesetz beachten.

  Des Weiteren vergleichen wir das Potential zweier Punkte in einem Schwerefeld, sodass sich die gesamte potentielle Energie durch Integration der Gewichtskraft über die Strecke zwischen dem Startpunkt und unendlich ergeben muss. Innerhalb dieser Grenzen ergibt sich für $E_{pot} = \frac{\gamma \cdot m \cdot m_E}{r_E}$.

  Nun können wir die {kinetische} Energie und die potentielle Energie {gleichsetzen} und erhalten $\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = \frac{\gamma \cdot m \cdot m_E}{r_E}$.

  Wir multiplizieren mit $2$ und kürzen durch $m$ und erhalten $v^2= 2 \cdot \gamma \frac{m_E}{r_E}$.

  Um nun $v_2$ zu erhalten, müssen wir lediglich noch die Wurzel ziehen, sodass für $v_2$ folgt:

  $v_2 = \sqrt{2 \cdot \gamma \cdot \frac{m_E}{r_E}}$ .