Kepler'sche Gesetze

Die keplerschen Gesetze – Physik

Die drei keplerschen Gesetze beschreiben, wie sich die Planeten um die Sonne bewegen, und bilden damit wichtige Grundlagen der Astronomie. Wir wollen uns im Folgenden genauer mit den drei Gesetzen auseinandersetzen.

Keplersche Gesetze – Geschichte

Nachdem im 16. Jahrhundert der Astronom Nikolaus Kopernikus das heliozentrische Weltbild ausgearbeitet hatte, dem zufolge (entgegen früherer Vorstellungen) die Sonne als ruhendes Zentrum von der Erde und den anderen Planeten umkreist wird, versuchten Forscher, die Bewegung der Planeten genauer zu beschreiben. Ein Großteil der Forscher ging dabei davon aus, dass die Planeten die Sonne auf kreisförmigen Bahnen umrunden. Der Astronom Johannes Kepler nutzte zur Beschreibung der Bahnen die detaillierten Beobachtungen von Tycho Brahe, wodurch er zu der Erkenntnis kam, dass die Annahme kreisförmiger Bahnen nicht stimmen konnte. Anhand all dieser Überlegungen entwickelte er schließlich Anfang des 17. Jahrhunderts die drei keplerschen Gesetze.

1. keplersches Gesetz

Das erste keplersche Gesetz wird auch Ellipsensatz genannt und lautet wie folgt:

Die Umlaufbahnen der Planeten sind Ellipsen. In einem Brennpunkt der Ellipse liegt die Sonne.

Die Ellipse ist eine ovale Kurve mit zwei Brennpunkten. Sie hat eine Hauptachse, die durch die beiden Brennpunkte verläuft, und eine Nebenachse, die senkrecht dazu durch den Mittelpunkt der Hauptachse läuft. Die Hälfte der Hauptachse wird in der Regel als große Halbachse $a$ bezeichnet, während die Hälfte der Nebenachse als kleine Halbachse $b$ bezeichnet wird.

Kepler leitete das erste und auch die anderen Gesetze empirisch her. Das bedeutet, dass er sie nicht aus grundlegenden Prinzipien herleitete, sondern versuchte, die Beobachtungen möglichst genau zu beschreiben. Heute können wir das erste keplersche Gesetz allerdings aus dem newtonschen Gravitationsgesetz herleiten.

2. keplersches Gesetz

Das zweite keplersche Gesetz wird auch als Flächensatz bezeichnet und lautet wie folgt:

Der Fahrstrahl zwischen Sonne und Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

Als Fahrstrahl wird die Verbindungslinie zwischen der Sonne und einem Planeten, wie zum Beispiel der Erde, bezeichnet. Während sich der Planet bewegt, überstreicht dieser Strahl eine bestimmte Fläche – nach einer kompletten Umrundung der Sonne die gesamte Fläche der Ellipse. Die pro Zeit überstrichene Fläche ist nach dem zweiten keplerschen Gesetz konstant.

Wenn wir den Fahrstrahl als $\vec{r}(t)$ bezeichnen, bedeutet das Folgendes: Die Fläche $A_1$, die von den Fahrstrahlen $\vec{r}(t_1)$ und $\vec{r}(t_1 + \Delta t)$ aufgespannt wird, ist genauso groß wie die Fläche $A_2$, die von den Fahrstrahlen $\vec{r}(t_2)$ und $\vec{r}(t_2 + \Delta t)$ aufgespannt wird. Dabei ist $\Delta t$ der Zeitunterschied, also die verstrichene Zeit. Die Zeitpunkte $t_1$ und $t_2$ können beliebig sein – da die Zeitdifferenz $\Delta t$ in beiden Fällen dieselbe ist, sind auch die Flächen $A_1$ und $A_2$ gleich groß.

2. keplersches Gesetz – Herleitung

Auch das zweite keplersche Gesetz entwickelte Johannes Kepler empirisch. Wir können es allerdings anhand einfacher Überlegungen auch mathematisch herleiten. Dazu betrachten wir zunächst die folgende Zeichnung.

Gezeigt ist ein Ausschnitt aus der Ellipse. Mit $\vec{r}(t)$ und $\vec{r}(t+\text{d}t)$ sind die Fahrstrahlen zu den Zeitpunkten $t$ und $t+\text{d}t$ bezeichnet. Wir haben hier $\text{d}t$ statt $\Delta t$ geschrieben, weil der Zeitunterschied sehr klein sein soll, also $\Delta t \to 0$. Der Vektor $\vec{v}(t)$ beschreibt die Bahngeschwindigkeit des Planeten zum Zeitpunkt $t$. Die Punkte $P_1$ und $P_2$ bezeichnen die Endpunkte der Fahrstrahlen auf der Ellipse, also gerade die Punkte, an denen sich der Planet zu den unterschiedlichen Zeitpunkten befindet. Die Fläche $\text{d}A$, die in der Zeit $\text{d}t$ überstrichen wird, ist eigentlich durch einen Ellipsenbogen begrenzt. Für sehr kleine Zeiten $\text{d}t$ kann man die Fläche allerdings durch das Dreieck $SP_1P_2$ annähern. Wir können daher die Fläche dieses Dreiecks berechnen. Dabei hat die Strecke $\overline{P_1P_2}$ die Länge $|\vec{v}|\text{d}t$, denn sie entspricht ja gerade der Strecke, die der Planet in der Zeit $\text{d}t$ zurückgelegt hat.

Die Formel für die Fläche eines Dreiecks ist:

$A_{\triangle} = \text{d}A = \frac{1}{2}gh$

Dabei ist $g$ die Grundseite und $h$ die Höhe. Die Grundseite entspricht in diesem Fall der Länge des Vektors $\vec{r}(t)$, also seinem Betrag $|\vec{r}(t)|$. Die Höhe $h$ können wir mithilfe des Sinus, des Winkels $\alpha$ und der Strecke $\overline{P_1P_2}$ berechnen: $h = |\vec{v}|\text{d}t \sin (\alpha)$. Damit ergibt sich für die überstrichene Fläche:

$\text{d}A = \frac{1}{2} |\vec{r}(t)| \cdot |\vec{v}| \text{d}t \sin (\alpha)$

Jetzt müssen wir uns noch an die Definition des Kreuzprodukts erinnern. Dann können wir $ |\vec{r}(t)| \cdot |\vec{v}| \sin (\alpha)$ auch umschreiben zu $|r(t) \times v|$, erhalten also:

$\text{d}A = \frac{1}{2} |r(t) \times v| \text{d}t$

Jetzt wenden wir einen weiteren Trick an, um unser Ergebnis anders darzustellen. Wir wissen, dass für den Impuls $\vec{p}$ der Zusammenhang $\vec{p} = m \cdot \vec{v}$ gilt, wobei $m$ die Masse des Planeten ist. Das heißt, wir können die Geschwindigkeit schreiben als:

$\vec{v} = \frac{\vec{p}}{m}$

Wir ersetzen $\vec{v}$ in unserer Gleichung durch diesen Term und ziehen $m$ aus dem Betrag, da es sich um ein positives Skalar handelt. Damit erhalten wir:

$\text{d}A = \frac{1}{2m} |\vec{r} \times \vec{p}| \text{d}t= \frac{1}{2m}|\vec{L}| \text{d}t$

Im letzten Schritt haben wir ausgenutzt, dass das Kreuzprodukt $\vec{r} \times \vec{p}$ gerade dem Drehimpuls $\vec{L}$ entspricht. Jetzt ziehen wir den Faktor $\text{d}t$ noch auf die andere Seite:

$\frac{\text{d}A}{\text{d}t} = \frac{1}{2m}|\vec{L}| $

Das ist eine Formel für die pro Zeit überstrichene Fläche. Abgesehen von der Masse $m$ hängt sie nur noch vom Bahndrehimpuls $\vec{L}$ des Planeten ab. Dieser ist in einem Zentralkraftfeld, in dem die Kraft immer in Richtung eines Kraftzentrums zeigt, konstant. Im Fall der Planetenbahn ist die Sonne das Kraftzentrum – die Gravitationskraft der Sonne zeigt immer vom Planeten aus in Richtung der Sonne. Um mathematisch zu zeigen, dass der Drehimpuls konstant ist, müssen wir zeigen, dass seine Ableitung für alle $t$ null ist:

$\frac{\text{d}\vec{L}}{\text{d}t} = \left( \frac{\text{d}\vec{r}}{\text{d}t} \times \vec{p} + \vec{r} \times \frac{\text{d}\vec{p}}{\text{d}t} \right) = \vec{r} \times \vec{F} = 0$

Geschwindigkeit und Impuls zeigen in die gleiche Richtung, ihr Kreuzprodukt ist also null. Die Ableitung des Impulses $\vec{p}$ ergibt gerade die Kraft $\vec{F}$. Im Fall der Planetenbahn ist das gerade die Gravitationskraft, die die Sonne auf den Planeten ausübt. Sie ist immer parallel zum Vektor $\vec{r}$, der ja gerade in Richtung der Verbindungslinie zwischen Sonne und Planeten verläuft. Damit ist auch dieses Kreuzprodukt null und der Drehimpuls konstant. Damit gilt dann aber auch:

$\frac{\text{d}A}{\text{d}t} = konstant$

Damit ist das zweite keplersche Gesetz gezeigt.

3. keplersches Gesetz

Das dritte keplersche Gesetz lautet folgendermaßen:

Das Verhältnis der Umlaufzeit der Planeten $T_i$ zum Quadrat ist gleich dem Verhältnis der großen Halbachsen $a_i$ ihrer Bahnen in der dritten Potenz.

Das Gesetz wird etwas klarer, wenn wir seine mathematische Formulierung betrachten:

$\frac{T_1^{2}}{T_2^{2}} = \frac{a_1^{3}}{a_2^{3}}$

Dabei sind $T_1$ und $T_2$ die Umlaufzeiten zweier Planeten und $a_1$ und $a_2$ die großen Halbachsen ihrer Bahnen. Das dritte keplersche Gesetz kann auch umgeformt werden, indem wir die Terme nach ihrem Index sortieren. Dazu multiplizieren wir mit $T_2^{2}$ und teilen durch $a_1^{3}$:

$\frac{T_1^{2}}{a_1^{3}} = \frac{T_2^{2}}{a_2^{3}}$

Da diese Gleichung für alle beliebigen Paarungen gelten muss, folgt:

$\frac{T_i^{2}}{a_i^{3}} = konstant = C$

Die Konstante $C$ heißt Kepler-Konstante. Sie kann über die folgende Formel berechnet werden:

$C = \frac{4\pi^{2}}{G(M+m)}$

Dabei ist $G$ die Gravitationskonstante, $M$ die Masse des Zentralgestirns (also im Sonnensystem der Sonne) und $m$ die Masse des betrachteten Planeten. Da in der Regel $M$ viel größer ist als $m$, gilt näherungsweise:

$C \approx \frac{4\pi^{2}}{G \cdot M}$

Diese Gleichung kann auf unterschiedliche Weisen hergeleitet werden. Näherungsweise kann man die Planetenbahnen als Kreisbahnen betrachten, in denen die Gravitationskraft als Zentripetalkraft wirkt. Genauer, aber auch mit komplizierteren Berechnungen verbunden, kann sie über das erste und zweite keplersche Gesetz hergeleitet werden.

Die keplerschen Gesetze – Zusammenfassung

Wir fassen die wichtigsten Punkte zu den keplerschen Gesetzen noch einmal zusammen:

• Die keplerschen Gesetze wurden Anfang des 17. Jahrhunderts von Johannes Kepler aufgestellt.
• Es gibt drei keplersche Gesetze, die die Bewegung von Planeten um ein Zentralgestirn beschreiben.
• Das erste keplersche Gesetz besagt, dass sich Planeten auf Ellipsenbahnen bewegen.
• Das zweite keplersche Gesetz besagt, dass die Fahrstrahlen in gleichen Zeiten gleiche Flächen überstreichen.
• Das dritte keplersche Gesetz besagt, dass das Verhältnis der quadrierten Umlaufzeiten gleich dem Verhältnis der großen Halbachsen in der dritten Potenz ist.

In diesem Video werden dir die keplerschen Gesetze einfach erklärt. Du lernst ihre Definition und die wichtigsten Formeln kennen. Du erfährst außerdem, was die einzelnen Gesetze konkret aussagen. Text und Video werden durch Aufgaben zum Lernen ergänzt.