Gravitationsfeld – potentielle Energie

Hallo und herzlich willkommen zur Physik mit Kalle. Wir beschäftigen uns heute mit der potentiellen Energie im Gravitationsfeld. Für dieses Video solltet ihr bereits den Film über das Gravitationsfeld gesehen haben. Wir lernen heute: Was potentielle Energie ist? Potentielle Energie auf der Erdoberfläche (homogenes Feld) Und dann sehen wir uns die generelle Formel an, am Beispiel der potentiellen Energie am Gravitationsfeld der Erde. Die potentielle Energie, man schreibt normalerweise Epot, eines Körpers in einem Feld gibt an, wieviel Arbeit das Feld an dem Körper verrichten könnte. Wir wissen bereits: Auf einem Körper der Masse m, der sich in einem Gravitationsfels befindet, wirkt die Gravitationskraft FG. Daraus folgt, die potentielle Energie im Gravitationsfels ist also ein Maß dafür, wieviel Energie der Körper durch Schwerkraft gewinnen kann. Im nächsten Kapitel wollen wir uns nun ansehen wie die Formel für die potentielle Energie im altäglichen Leben aussieht. Wir betrachten folgende Skizze von mir, in der ich einen Apfel in der Hand halte. Ich stehe auf der Erdoberfläche und wie ihr wisst, wirkt auf mich und den Apfel die Fallbeschleunigung G. Wie ihr wisst, kann sich die Fallbeschleunigung verändern, wenn ich zum Beispiel auf einen Berg steige. Da wir hier aber nur einen sehr kleinen Abschnitt der Erdoberfläche betrachten, kann ich annehmen, dass G überall gleich groß ist. Ich sage also, G ist quasi homogen. So, ich lasse nun meinen Apfel los und wie ihr wisst, wirkt auf ihn die Schwerkraft. Sie beschleunigt ihn und er fällt in Richtung Boden. Die Formel für die Schwerkraft FG ist Masse des Apfels m mal die Fallbeschleunigung g. Wir notieren uns: Auf der Erdoberfläche kann das Gravitationsfeld (wenn der betrachtete Ausschnitt klein genug ist) als homogen angenommen werden. Das bedeutet, das die Feldstärke g überall gleich groß ist und in die selbe Richtung zeigt. Wenn g konstant ist, dann ist auch FG konstant. Für eine konstante Kraft können wir sehr leicht, die von ihr verrichtete Arbeit zeigen. Ihre Formel ist W=F×S. Und S ist dabei der Vektor der dabei von meiner Hand bis zu der Stelle am Boden zeigt, an der der Apfel aufschlägt. Das bringt uns zu der uns sehr bekannten Formel der potentiellen Energie: W=F×S=m×g×(h1-h2). Wenn ich nun h1-h2, den Höhenunterschied, am Beispiel ∆h nenne, wird die Formel zu m×g×∆h. Sie ist die klassische Formel für die potentielle Energie. Wie ich die potentielle Energie für schwierigere Fälle zum Beispiel ein Körper im Schwerefeld der Erde und zwar so weit weg, das es nicht mehr homogen ist, berechnen kann, das sehen wir im nächsten Kapitel. Wir hatten im letzten Video die Feldlinien für das Gravitationsfeld kennengelernt. Ihr erinnert euch die Feldlinienrichtung gibt Aufschluss darüber in welche richtung die anziehenden Kräfte wirken, die von einer Masse ausgehen. Ich kann in dieses Bild nun ebenfalls die Äquipotentiallinien, im Bild rot, einzeichnen. Man betrachtet die potentielle Energie immer zu einem bestimmten Bezugspunkt hin. Die Äquipotentiallinien bedeuten, alle Punkte, die auf dieser Linie sind haben gegebüber dem selben Bezugspunkt die gleiche potentielle Energie. Die Äquipotentiallinien sind also so etwas ähnliches wie die Höhenlinien auf einer Landkarte. Wir befinden nun uns auf einem bestimmten Punkt P1 in dem Feld, wählen wir einen anderen Punkt P2 und begeben uns dorthin. Was wir nun ausrechnen wollen, welche potentielle Energie hat unser neuer Punkt P2 im Vergleich zu unserem alten Punkt P1. Anders gesagt: Haben wir unterwegs Energie verloren oder gewonnen? Da sich die Kraft auf unserem Weg ändert, können wir nicht mehr ganz so einfach rechnen. Die Formel lautet nun: Die potentielle Energie ist das Integral über die Kraft F mal ds von r1 bis r2. Für die Kraft kann ich einfach die Schwerkraft einsetzen und damit erhalte ich: Das Integral über G×m×M geteilt durch r² mal dr von r1 bis r2. Das lässt sich schnell ausrechnen. Das Ergebnis ist G×m×M(1/r1-1/r2). Dies ist die Formel für die potentielle Energie eines Körpers in P2 im Vergleich zu P1. Wir müssen natürlich berücksichtigen, dass diese Formel nur für die Verhältnisse gilt, die wir hier betrachtet haben, nämlich das von einer einzigen Masse erzeugte Gravitationsfeld. Wichtig ist dabei, die potentielle Energie hängt nicht vom Weg ab, der zwischen P1 und P2 gewählt wird. Ich hätte auch auf völlig anderen Wegen laufen können als diesen beiden hier. Der Energieunterschied wäre der gleiche. Oft wird als Bezugspunkt eine unendliche Entfernung gewählt. Dann vereinfacht sich unsere Formel ein wenig und wir erhalten Epot=G×m×M(1/∞ -1/r). da 1/∞ gleich Null ist, wird die Formel zu (G×m×M)/r. Wir wollen nochmal wiederholen, was wir heute gelernt haben. Die potentielle Energie gibt an, wieviel Arbeit das Gravitationsfeld an einem Körper verrichten kann. Die Formel für die potentielle Energie auf der Erdoberfläche, wenn die Fallbeschleunigung als homogen angenommen werden kann, ist: Epot=m×g×∆h.  Die potentielle Energie eines Körpers der Masse m  im Punkt P2, der sich im Gravitationsfeld eines Körpers der Masse M befindet, ist im Vergleich zum Punkt P1: Epot=G×m×M(1/r1-1/r2). Für r1 gegen unendlich ergibt sich Epot=(-G×m×M)/r2. So das war es für heute. Ich hoffe ich konnte euch helfen. Vielen Dank für das Zuschauen und vielleicht bis zum nächsten Mal. Euer Kalle.