Sachaufgaben zum Sinken, Schweben und Steigen

Steigen, schweben, sinken – Physik

In diesem Text schauen wir uns an konkreten Beispielen an, wie man berechnet, ob etwas im Wasser steigt, schwebt oder sinkt. Dafür wiederholen wir zunächst einige Grundlagen zu Auftrieb, Auftriebskraft und Dichte.

Wann steigt, schwebt oder sinkt ein Körper?

Ob ein Körper steigt, schwebt oder sinkt, wird von den Beträgen der Auftriebskraft $F_A$ und der Gewichtskraft $F_G$ bestimmt. Die Auftriebskraft wirkt im Wasser der Gewichtskraft entgegen.

$\vert F_A \vert > \vert F_G \vert \quad \text{Körper steigt}$
$\vert F_A \vert = \vert F_G \vert \quad \text{Körper schwebt}$
$\vert F_A \vert < \vert F_G \vert \quad \text{Körper sinkt}$

Der Betrag der Auftriebskraft berechnet sich aus der Masse des verdrängten Wassers $m_W$ und dem Ortsfaktor $g$.

$\vert F_A \vert = m_W \cdot g$

Die auf den Körper wirkende Gewichtskraft berechnet sich aus der Masse des Körpers $m_K$ und dem Ortsfaktor $g$.

$\vert F_G \vert = m_K \cdot g$

Die Masse berechnet sich aus der Dichte $\rho$ mal dem Volumen $V$. Für die Masse des Wassers können wir schreiben:

$m_W = \rho_W \cdot V_W$

Für die Masse des Körpers können wir schreiben:

$m_K = \rho_K \cdot V_K$

Schwebt ein Körper im Wasser, so entspricht die Auftriebskraft der Gewichtskraft. Setzen wir für die Beträge die entsprechenden Terme ein, so erhalten wir die Formel:

$\rho_W \cdot V_W \cdot g = \rho_K \cdot V_K \cdot g$

Ist der Körper komplett unter Wasser, so entspricht sein Volumen $V_K$ dem des verdrängten Wassers. Es gilt:

$V_W = V_K$

Somit können das Volumen und der Ortsfaktor gekürzt werden. Übrig bleiben die Dichten:

$\rho_W = \rho_K$

Das Verhältnis der Dichte eines Körpers zur Dichte des Wassers entscheidet, ob der Körper steigt, schwebt oder sinkt.

• Steigen: Die Dichte des Körpers ist geringer als die Dichte des Wassers $(\rho_K < \rho_W)$.
• Schweben: Die Dichte des Körpers ist genauso groß wie die Dichte des Wassers $(\rho_K = \rho_W)$.
• Sinken: Die Dichte des Körpers ist größer als die Dichte des Wassers ($\rho_K > \rho_W)$.

Handelt es sich beim Körper oder bei der umgebenden Flüssigkeit um ein Stoffgemisch, wird für diese Berechnungen die Durchschnittsdichte verwendet.

Was bedeutet der Begriff schwimmen in der Physik?

Neben den Begriffen steigen, schweben und sinken gibt es noch den Begriff schwimmen. Aber was bedeutet dieser Begriff physikalisch?

Beim Schwimmen sind Auftriebskraft und Gewichtskraft gleich groß. Im Gegensatz zum Schweben befindet sich jedoch ein Teil des Körpers oberhalb der Flüssigkeitsoberfläche. Beispiele dafür sind Boote oder auch Luftmatratzen auf einem See.

Steigen, schweben, sinken – Aufgaben

Betrachten wir nun das Verhalten verschiedener Körper im Wasser anhand von Beispielaufgaben.

Beispiel 1

Ein Handy, das zu $\frac{2}{3}$ aus Kunststoff und zu $\frac{1}{3}$ aus Kupfer besteht, fällt in den Pool mit einer Wassertemperatur von $25\,^\circ\pu{C}$. Steigt, schwebt oder sinkt es?
Die Dichte des Wassers ist temperaturabhängig, bei einer Temperatur von $25\,^\circ\pu{C}$ beträgt sie $\rho_W(25\,^\circ\pu{C}) = 997,04\,\frac{\pu{kg}}{\pu{m^{3}}}$. Die Dichte von Kunststoff beträgt $\rho_1= 1\,400\,\frac{\pu{kg}}{\pu{m^{3}}}$ und die von Kupfer $\rho_2= 8\,920\,\frac{\pu{kg}}{\pu{m^{3}}}$.

Schreiben wir uns zunächst die gegebenen und gesuchten Werte auf.

Gegeben:
$\rho_W(25\,^\circ\pu{C}) = 997,04\,\frac{\pu{kg}}{\pu{m^{3}}}$
$\rho_1= 1\,400\,\frac{\pu{kg}}{\pu{m^{3}}}$
$\rho_2= 8\,920\,\frac{\pu{kg}}{\pu{m^{3}}}$

Gesucht:
Durchschnittsdichte des Handys $\rho_H$, um zu ermitteln, ob das Handy steigt, schwebt oder sinkt.

Rechnung:
Um die Durchschnittsdichte des Handys $\rho_H$ zu berechnen, multiplizieren wir zunächst die Dichten der beiden Stoffe mit dem Verhältnis, in dem sie auftreten. Die beiden Produkte addieren wir dann zur Durchschnittsdichte.

$\rho_H = \dfrac{2}{3} \cdot \rho_1 + \dfrac{1}{3} \cdot \rho_2 = \dfrac{2}{3} \cdot 1\,400\,\frac{\pu{kg}}{\pu{m^{3}}} + \dfrac{1}{3} \cdot 8\,920\,\frac{\pu{kg}}{\pu{m^{3}}} \approx 3\,906,7\,\frac{\pu{kg}}{\pu{m^{3}}}$

Daraus schließen wir:

$\rho_H \gg \rho_W$

Antwortsatz:
Die Durchschnittsdichte des Handys ist um ein Vielfaches größer als die Dichte des Wassers, weshalb das Handy im Wasser sinken würde.

Beispiel 2

Was passiert mit einem Fisch in einem Teich, wenn er aufhört, mit seinen Flossen zu schlagen? Der Fisch hat eine Masse von $500\,\pu{g}$ und ein Volumen von $380\,\pu{cm^{3}}$. Die Temperatur des Teichwassers beträgt $25\,^\circ\pu{C}$.

Gegeben:
$\rho_W(25\,^\circ\pu{C}) = 0,997\,\frac{\pu{g}}{\pu{cm^{3}}}$
$m_F = 500\,\pu{g}$
$V_F = 380\,\pu{cm^{3}}$

Die Dichte des Wassers kann auch in Gramm pro Kubikzentimetern angegeben werden. Das ergibt in diesem Beispiel mehr Sinn, da die Werte des Fischs in Gramm und Kubikzentimetern angegeben sind. Bitte beachte, dass man die Dichten jedoch nur direkt miteinander vergleichen kann, wenn sie die gleiche Einheit haben!

Gesucht:
Dichte des Fischs $\rho_F$, um sie mit der Dichte des Wassers zu vergleichen.

Rechnung:
Um herauszufinden, ob der Fisch steigt, schwebt oder sinkt, müssen wir seine Dichte berechnen. Dafür nutzen wir die Formel:

$\rho = \dfrac{m}{V}$

$\rho_F = \dfrac{500\,\pu{g}}{380\,\pu{cm^{3}}} = 1,316\,\frac{\pu{g}}{\pu{cm^{3}}}$

Also wissen wir:

$\rho_F > \rho_W$

Antwortsatz:
Die Dichte des Fischs ist größer als die Dichte des Teichwassers. Er würde also sinken.

Besonderheit bei Fischen

Fische können jedoch mithilfe ihrer Schwimmblase regulieren, ob sie steigen, schweben oder sinken. Diese Blase können sie mit Luft füllen und damit ihre Dichte verändern.

Aufgabe:
Welches Luftvolumen benötigt der Fisch aus dem vorherigen Beispiel, um im Teichwasser schweben zu können? Die Masse des Fischs ändert sich, da auch die Luft in der Schwimmblase etwas wiegt. Somit wählen wir für die Gesamtmasse des Fischs mit Schwimmblase $500,03\,\pu{g}$.

Gegeben:
$V_F = 380\,\pu{cm^{3}}$ (ohne Schwimmblase)
$\rho_W(25\,^\circ\pu{C}) = 0,997\,\frac{\pu{g}}{\pu{cm^{3}}}$
$m_{F+S} = 500,03\,\pu{g}$ (mit Schwimmblase)

Gesucht:
Volumen der Schwimmblase $V_S$ , bei dem der Fisch schwebt.

Rechnung:
Damit der Fisch schwebt, muss seine Dichte mit der Schwimmblase genauso groß sein wie die Dichte des Teichwassers. Wir addieren also die Dichte des Fischs und die Dichte der Schwimmblase und setzen dies gleich der Dichte des Teichwassers.

$\rho_{F+S}= \rho_W$

Die Dichte des Fischs mit Schwimmblase ergibt sich aus:

$\rho_{F+S} = \dfrac{m_{F+S}}{V_{F+S}}$

Das Volumen von Fisch und Schwimmblase ergibt sich aus der Summe vom Volumen des Fischs und vom Volumen der Schwimmblase.

$V_{F+S} = V_F + V_S$

Um das Volumen der Schwimmblase zu erhalten, setzen wir diesen Zusammenhang in die Formel für die Dichte ein und lösen nach dem Volumen der Schwimmblase auf.

$\rho_{F+S} = \dfrac{m_{F+S}}{V_F + V_S} \quad \vert \cdot V_F + V_S$

$\rho_{F+S} \cdot (V_F + V_S) = m_{F+S} \quad \vert : \rho_{F+S} $

$V_F + V_S = \dfrac{m_{F+S}}{\rho_{F+S}} \quad \vert - V_F$

$V_S = \dfrac{m_{F+S}}{\rho_{F+S}} - V_F$

Nun können wir die gegebenen Werte einsetzen. Da der Fisch schweben soll, setzen wir für die Dichte des Fischs mit Schwimmblase die Dichte des Wassers ein.

$ V_S = \dfrac{m_{F+S}}{\rho_W} - V_F$

$ V_S = \dfrac{500,03\,\pu{g}}{0,997\,\frac{\pu{g}}{\pu{cm^{3}}}} - 380\,\pu{cm^{3}}$

$ V_S = 121,535\,\pu{cm^{3}}$

Antwortsatz:
Das Volumen der Schwimmblase muss $121,535\,\pu{cm^{3}}$ betragen, damit der Fisch bei den gegebenen Bedingungen im Teich schwebt.

Steigen, schweben, sinken – Zusammenfassung

Mithilfe dieser Erklärung kannst du die Fragen Warum schweben Sachen im Wasser? und Wann schwebt ein Körper im Wasser? beantworten. Um dein neu erworbenes Wissen zu testen, findest du hier auf der Seite zusätzlich zum Text und dem Video Arbeitsblätter und Übungen zum Thema Steigen, schweben, sinken.