Die Auftriebskraft
Tauche ein in die Welt der Physik und entdecke das Geheimnis, wie riesige Schiffe schwimmen können: die Auftriebskraft! Verstehe, wie das archimedische Prinzip die Wissenschaft hinter schwimmenden Objekten erklärt, und lerne, die Auftriebskraft mit einer klaren Formel zu berechnen. Bist du bereit, mehr über diese faszinierende Kraft zu erfahren? Dann lies weiter und teste dein Wissen mit unseren Übungsaufgaben!
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Grundlagen zum Thema Die Auftriebskraft
Was ist die Auftriebskraft?
Hast du schon einmal ein riesiges Containerschiff gesehen? Dann hast du dich bestimmt gefragt, wie so ein riesiges Schiff überhaupt schwimmen kann. Der Grund dafür ist die sogenannte Auftriebskraft. Doch was ist die Auftriebskraft eigentlich und wie kann man sie berechnen?
Archimedisches Prinzip
Das Prinzip, das hinter der Auftriebskraft steckt, ist schon sehr lange bekannt. Es wurde zum ersten Mal vor über 2.000 Jahren von einem griechischen Gelehrten namens Archimedes formuliert. Deswegen nennt man es auch das archimedische Prinzip. Es besagt, dass die Auftriebskraft eines Körpers gerade so groß ist wie die Gewichtskraft des Mediums, das er verdrängt.
Auftriebskraft Formel
Für die Herleitung einer Formel für die Auftriebskraft, also den physikalischen Auftrieb, schauen wir uns die folgende Situation an:
Ein großes Schiff schwimmt auf dem Ozean. Aufgrund der Erdanziehung wirkt auf das Schiff eine Gewichtskraft, die es nach unten zieht. Da es nicht untergeht, muss eine Kraft wirken, die die Gewichtskraft des Schiffs gerade kompensiert. Beide Kräfte wirken in entgegengesetzte Richtungen, wie du im Bild sehen kannst.
Nach dem archimedischen Prinzip ist die Auftriebskraft gerade so groß wie die Gewichtskraft des verdrängten Wassers und diese können wir wiederum als Produkt aus der Masse des verdrängten Wassers und der Erdbeschleunigung $g$ schreiben, also:
$F_{Auftrieb} = m_{verdrängtes~Wasser} \cdot g = V_{verdrängt} \cdot \rho_{Wasser} \cdot g$
Im letzten Schritt der Gleichung haben wir außerdem ausgenutzt, dass die Masse des Wassers dem Produkt aus verdrängtem Volumen und Dichte entspricht. Wenn wir die Auftriebskraft in einem anderen Medium berechnen wollen, müssen wir natürlich auch die entsprechende Dichte dazu einsetzen.
Nun haben wir also auch eine Formel für die Auftriebskraft. Bisher haben wir einen schwimmenden Körper betrachtet. Insgesamt können aber drei Fälle auftreten, je nachdem wie sich Auftriebskraft und Gewichtskraft zueinander verhalten:
1. $F_{Auftrieb} \gt F_{Gewicht~Körper} \longrightarrow $ Der Körper steigt auf.
2. $F_{Auftrieb} = F_{Gewicht~Körper} \longrightarrow $ Der Körper schwimmt.
3. $F_{Auftrieb} \lt F_{Gewicht~Körper} \longrightarrow $ Der Körper sinkt.
Ist die Auftriebskraft größer als die Gewichtskraft, die auf den Körper wirkt, steigt der Körper auf. Das passiert zum Beispiel dann, wenn du einen mit Luft gefüllten Luftballon unter Wasser loslässt. Wenn Auftriebskraft und Gewichtskraft gleich sind, schwimmt der Körper. Und wenn die Auftriebskraft kleiner als die Gewichtskraft ist, geht der Körper unter.
Auftriebskraft – Beispiele:
Um das Verständnis der Auftriebskraft zu vertiefen, wollen wir gemeinsam ein paar Beispielrechnungen durchgehen.
Beispiel 1: Wie groß ist die Auftriebskraft für ein $100.000~\text{kg}$ schweres schwimmendes Schiff?
Da das Schiff schwimmt, wissen wir, dass der Auftrieb gerade die Gewichtskraft kompensiert – sonst würde es ja untergehen. Wir können also festhalten:
$F_{Auftrieb} = F_{Gewicht}$
Da wir die Masse des Schiffs und die Erdbeschleunigung $g$ kennen, können wir diese Werte zur Berechnung der Gewichtskraft einsetzen. So erhalten wir die Auftriebskraft:
$F_{Auftrieb} =m_{Schiff} \cdot g = 100.000~\text{kg} \cdot 10~\frac{\text{m}}{\text{s}^2} = 1.000.000~ \text{N}$
Im letzten Schritt haben wir für die Auftriebskraft noch die Definition für die Einheit Newton verwendet. Es ist also eine Auftriebskraft von $1~\text{Million}~\text{Newton}$ nötig, damit unser Schiff schwimmt. Das ist ganz schön viel!
Beispiel 2: Wie groß ist das Volumen des vom Schiff verdrängten Wassers?
Um das Volumen zu berechnen, nutzen wir das archimedische Prinzip. Wir schreiben die Gleichung noch einmal auf:
$F_{Auftrieb} = m_{verdrängtes~Wasser} \cdot g = V_{verdrängt} \cdot \rho_{Wasser} \cdot g$
Die Auftriebskraft haben wir schon im ersten Beispiel ausgerechnet. Sie beträgt genau $1.000.000$ N. Die Erdbeschleunigung $g$ kennen wir auch und die Dichte von Wasser können wir in einer Datenbank nachschlagen. Sie beträgt gerundet $1.000~\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}$. Wir müssen also nur noch die Formel nach $V$ umstellen, indem wir durch $\rho_{Wasser}$ und $g$ teilen:
$F_{Auftrieb} = V_{verdrängt} \cdot \rho_{Wasser} \cdot g ~ | \, : (\rho_{Wasser} \cdot g)$
$\Longrightarrow V_{verdrängt} = \frac{F_{Auftrieb}}{(\rho_{Wasser} \cdot g)} $
Jetzt müssen wir nur noch alle Werte einsetzen, um das Volumen des verdrängten Wassers zu erhalten:
$V_{verdrängt} = \frac{1.000.000~\text{N}}{1.000~\frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 10\frac{\text{m}}{\text{kg}}} = 100~\text{m}^3 $
Das Schiff verdrängt also $100~\text{Kubikmeter}$ Wasser.
Beispiel 3: Wir schwer muss eine ein Kubikmeter große Kiste sein, damit sie sinkt?
Wir bleiben auf dem Schiff und wollen messen, wie tief das Meer ist. Dazu müssen wir eine Kiste an einem Seil ins Wasser lassen, die bis auf den Meeresboden sinkt. An der Länge des Seils können wir dann die Tiefe ablesen.
Damit die Kiste untergeht, muss ihre Gewichtskraft größer sein als die Auftriebskraft. Das können wir als Gleichung aufschreiben:
$F_{Gewicht} > F_{Auftrieb}$
Wir setzen die Formel für die Gewichtskraft der Kiste ein und nutzen für die Auftriebskraft wieder das archimedische Prinzip. Dann formen wir nach der Masse der Kiste um, indem wir auf beiden Seiten durch $g$ teilen. Also:
$m_{Kiste} \cdot g > V_{verdrängt} \cdot \rho_{Wasser} \cdot g |:g $
$\Longrightarrow m_{Kiste} > V_{verdrängt} \cdot \rho_{Wasser}$
Jetzt müssen wir nur noch das Volumen der Kiste und die Dichte des Wassers einsetzen:
$m_{Kiste} > 1~\text{m}^3 \cdot 1.000~\frac{\text{kg}}{\text{m}^3} = 1.000~\text{kg}$
Die Kiste muss also $1.000~\text{Kilogramm}$ wiegen, damit sie bis auf den Meeresboden absinkt.
Auftriebskraft – Aufgaben
Du findest neben Video und Text interaktive Aufgaben, mit denen du weiterüben kannst.
Sind dir die Aufgaben zu leicht? Dann überleg doch mal, wie du die Auftriebskraft für einen Heißluftballon bestimmen kannst.
Transkript Die Auftriebskraft
Ach ja, so lässt sich's leben. Einfach mal schweben und das Leben genießen. Im Toten Meer. Was hat es eigentlich damit auf sich und warum kann man da drin so seelenruhig schweben? Im SALZIGSTEN Gewässer der Welt. Verantwortlich dafür ist "Die Auftriebskraft". Eine solche Beobachtung dürfte die wenigsten von uns verwundern: Manche Gegenstände schwimmen, manche sind am Grund. Logisch. Das Gewicht ist ja schwerer als der Korken. Das gilt auch für Öltanker. Den Schlüssel zum Verständnis des Schwimmens fand der griechische Ingenieur, Physiker und Mathematiker Archimedes aus Syrakus auf Sizilien. Beim Baden fiel ihm auf, dass das Wasser anstieg und überschwappte. Ihm wurde schlagartig klar, dass er genauso viel Wasservolumen verdrängt hatte, wie seinem eigenen Körpervolumen entsprach. Aber nicht nur das hatte er herausgefunden. Ein Körper wird im Wasser auch leichter! Offenbar wirkt auf einen untergetauchten Körper eine Kraft, die seiner Gewichtskraft F-G entgegenwirkt. Diese Kraft heißt Auftriebskraft F-A. Wenn sie kleiner ist als die Gewichtskraft, sinkt der Körper. Wenn sie genauso groß ist, schwebt der Körper im Wasser. Wenn die Auftriebskraft größer ist, steigt der Körper nach oben und schwimmt. Aber: Wie groß ist die Auftriebskraft und wo kommt sie her? Die Ursache für den Auftrieb ist der Druck des Wassers, der sogenannte hydrostatische Druck. Er wird verursacht durch das Gewicht des Wassers. Stell dir vor, in einem Wassertank befindet sich eine Scheibe der Fläche A in der Tiefe h und parallel zur Oberfläche. Auf diese Scheibe drückt von oben die Wassersäule über ihr. Sie übt auf die Scheibe eine Gewichtskraft F-G der Größe "Masse der Wassersäule m mal Ortsfaktor g" aus. Im folgenden setzen wir den Malpunkt nur noch, wenn es sonst zu unübersichtlich wird. Bei der Wassersäule handelt es sich um einen Zylinder mit dem Volumen A mal h. Mit der Dichte des Wassers rho-W können wir seine Masse ausrechnen: m gleich rho-W mal A mal h. Die Gewichtskraft der Wassersäule über der Scheibe ist dann F-G gleich rho-W mal A mal h mal g. Der Druck p auf die Scheibe ist dann Kraft pro Fläche, also F-G durch A. Dies ist gleich rho-w mal A mal h mal g geteilt durch A, also rho-w mal h mal g. Meistens stellt man die Formel um und sagt: Der hydrostatische Druck in der Wassertiefe h ist rho-W mal g mal h. Anders als die Kraft kennt der Wasserdruck keine Richtung. In einer bestimmten Tiefe h herrscht in alle Richtungen derselbe hydrostatische Druck. Darin liegt das Geheimnis des Auftriebs! Betrachten wir einen Quader unter Wasser. Seine Oberseite befindet sich in der Tiefe h-eins unter der Wasseroberfläche, seine Unterseite in der Tiefe h-zwei. Die Fläche von Ober- oder Unterseite sei jeweils gleich A. Die Drücke an den Seitenflächen führen zu Kräften, die sich gegenseitig aufheben. Der Druck p-zwei in der Tiefe h-zwei auf die Unterseite führt zu einer Kraft F-zwei nach oben, der Druck p-eins in der Tiefe h-eins auf die Oberseite zu einer Kraft F-eins nach unten. F-zwei ist p-zwei mal A, F-eins ist p-eins mal A. Da p-zwei größer ist als p-eins, ist auch F-zwei größer als F-eins! Die Differenz dieser beiden Kräfte ist die Auftriebskraft! Der Körper wird nach oben gedrückt! Wir setzen ein, was wir wissen, und formen um. Die Kräftedifferenz schreiben wir mit p-zwei und p-eins, dann klammern wir A aus. Jetzt setzen wir die Ausdrücke für den Druck ein. Jetzt klammern wir A, rho-w und g aus. h-zwei minus h-eins entspricht der Höhe des Quaders. Dann ist A mal in Klammern h-zwei minus h-eins sein Volumen V-K. Dann wird die Auftriebskraft zu F-A gleich V-K mal Rho-W mal g. Das Produkt aus rho-W und V-K, also der Dichte des Wassers und dem Volumen des Körpers, entspricht der Masse einer Menge Wasser mit demselben Volumen wie der Körper. Multiplizieren wir das Ganze mit g erhalten wir die Gewichtskraft des VERDRÄNGTEN Wassers! Und genau das hatte Archimedes herausgefunden. Wenn ein Körper im Wasser schwebt, heben sich Auftriebskraft und Gewichtskraft gerade auf. Wir setzen ein und teilen auf beiden Seiten durch g. Die Masse des Körpers ist das Produkt aus seinem Volumen V-K und seiner Dichte Rho-K. Wir teilen auf beiden Seiten durch V-K. Ein Körper schwebt im Wasser, wenn seine mittlere Dichte genauso groß ist wie die Dichte von Wasser. Natürlich sinkt er, wenn seine Dichte größer ist als die von Wasser. Und wenn seine Dichte kleiner ist, steigt er, beziehungsweise schwimmt er, auf dem Wasser. Wovon hängt es nun ab, wie weit ein schwimmender Körper aus dem Wasser herausragt bzw. wie tief ein schwimmender Körper eintaucht? Ein Quader der Dichte rho-K mit Grundfläche A und Höhe h schwimmt so, dass seine Eintauchtiefe d beträgt. Da der Quader nicht sinkt, ist die Auftriebskraft bei der gesuchten Eintauchtiefe offenbar so groß wie die Gewichtskraft des Körpers. Die Auftriebskraft ist wieder die Gewichtskraft des verdrängten Wassers. Es wird aber nur von dem Teil des Quaders, der unter Wasser liegt, Wasser verdrängt. Das Volumen dieses Quaderstücks und entsprechend des verdrängten Wassers V-W ist A mal d. Dann ist die Auftriebskraft F-A gleich V-W mal rho-W mal g gleich A mal d mal rho-W mal g. Für die Gewichtskraft des Quaders ist aber sein ganzes Volumen A mal h verantwortlich. Demnach gilt: Wir teilen auf beiden Seiten durch A und g und erhalten "Eintauchtiefe mal Wasserdichte gleich Gesamthöhe mal Körperdichte". Anders ausgedrückt: Die Eintauchtiefe d verhält sich zur Gesamthöhe h wie die Dichte des Körpers zur Dichte des Wassers. Deshalb schwimmt der Tanker vom Anfang des Videos. Weil sein Schiffskörper genug Luft enthält, dass seine mittlere Dichte kleiner ist als die des Wassers. Wenn beide Dichten gleich sind, taucht der Körper ganz ein und schwebt. Und wir schweben zur Zusammenfassung. In der Tiefe h unter der Wasseroberfläche herrscht der hydrostatische Druck p gleich rho-W mal g mal h. Dieser führt auf der Oberseite eines Quaders im Wasser zu einer Kraft nach unten und auf der Unterseite zu einer Kraft nach oben. Die Differenz beider Kräfte ist die Auftriebskraft. Sie entspricht der Gewichtskraft des verdrängten Wassers. Das Verhältnis zwischen der mittleren Dichte des Körpers und der Dichte des Wassers ist entscheidend dafür, wie der Körper sich im Wasser verhält. Die Eintauchtiefe d eines schwimmenden Körpers verhält sich zur Gesamthöhe h wie die Dichte des Körpers zur Dichte des Wassers. Jetzt ist klar, warum man im Toten Meer so unbeschwert auf der Wasseroberfläche liegen kann: Durch den sehr hohen Salzgehalt ist die Dichte des Wassers um zirka fünfundzwanzig Prozent höher als normales Wasser und damit deutlich größer als die mittlere Dichte eines Menschen. Und das Tote Meer ist noch nicht mal das SALZIGSTE Gewässer des Planeten. Aber einen Weltrekord stellt es trotzdem auf: Es ist der tiefstgelegene See der Erde. Vierhundertvierzig Meter UNTER dem Meeresspiegel.
Die Auftriebskraft Übung
-
Erläutere, was die Auftriebskraft ist.
TippsDiese Kräfte wirken, wenn der Körper im Wasser schwebt.
Diese Kräfte wirken, wenn der Körper im Wasser sinkt.
Diese Kräfte wirken, wenn der Körper im Wasser aufsteigt.
LösungAuf einen untergetauchten Körper wirkt eine Kraft, die seiner Gewichtskraft $F_G$ entgegenwirkt. Diese Kraft heißt Auftriebskraft $F_A$. Wenn sie kleiner ist als die Gewichtskraft, dann sinkt der Körper. Ist sie genauso groß, schwebt der Körper im Wasser. Wenn die Auftriebskraft größer ist, dann steigt der Körper nach oben und schwimmt. Die Ursache für den Auftrieb ist der Druck des Wassers: der sogenannte hydrostatische Druck. Er wird verursacht durch das Gewicht des Wassers.
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Benenne, was Archimedes herausgefunden hat.
TippsWenn ein Körper (zum Beispiel ein Objekt oder ein Schiff) in eine Flüssigkeit (zum Beispiel Wasser) eintaucht, dann verdrängt er eine bestimmte Menge der Flüssigkeit, die seinem Volumen entspricht.
Der Satz von Archimedes erklärt unter anderem, warum schwere Gegenstände im Wasser schwimmen können: Solange die Gewichtskraft des Gegenstands kleiner ist als die Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit, können diese schwimmen.
LösungDer Satz von Archimedes beschreibt das physikalische Phänomen des Auftriebs, das in einer Flüssigkeit auf einen Körper wirkt. Der Satz besagt, dass die Auftriebskraft, die auf einen in einer Flüssigkeit eingetauchten Körper wirkt, genau der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit entspricht.
Das bedeutet, wenn ein Körper (zum Beispiel ein Objekt oder ein Schiff) in eine Flüssigkeit (zum Beispiel Wasser) eintaucht, dann verdrängt er eine bestimmte Menge der Flüssigkeit, die seinem Volumen entspricht. Die verdrängte Flüssigkeit wird nach unten gedrückt und erzeugt dabei eine Auftriebskraft, die in entgegengesetzter Richtung zur Gewichtskraft wirkt. Diese Auftriebskraft ist genauso groß wie das Gewicht der verdrängten Flüssigkeit.
Der Satz von Archimedes erklärt unter anderem, warum schwere Gegenstände im Wasser schwimmen können: Solange die Gewichtskraft des Gegenstands kleiner ist als die Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit, können diese schwimmen.
Dieses Prinzip ist auch der Grund, warum Schiffe und Boote schwimmen können: Ihr Gewicht wird durch den Auftrieb der verdrängten Flüssigkeit ausgeglichen. Somit gehen sie nicht komplett unter.- Die Auftriebskraft in einer Flüssigkeit entspricht der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit.
- Die Auftriebskraft in einer Flüssigkeit entspricht nicht der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit.
- Die Auftriebskraft in einer Flüssigkeit entspricht der Anziehungskraft der verdrängten Flüssigkeit.
- Die Auftriebskraft in einer Flüssigkeit entspricht dem Druck der verdrängten Flüssigkeit.
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Benenne die richtige Bedeutung der Formelzeichen.
TippsDie tiefgestellten Buchstaben geben einen Hinweis auf die Bedeutung des Formelbuchstabens.
LösungDie richtigen Zuordnungen lauten:
- $F_G$ $\rightarrow$ Gewichtskraft
- $\varrho _w$ $\rightarrow$ Dichte von Wasser
- $A$ $\rightarrow$ Fläche des Körpers im Wasser
- $h$ $\rightarrow$ Tiefe des Körpers unter der Wasseroberfläche
- $p$ $\rightarrow$ Druck
- $V$ $\rightarrow$ Volumen
-
Leite die Formel zur Berechnung der Auftriebskraft her.
TippsDrücke zunächst die Kräftedifferenz von $F_2$ und $F_1$ aus.
Klammere anschließend $A$ aus.
Setze nun die Ausdrücke für den Druck ein. Allgemein gilt:
$p=\rho _w\cdot g\cdot h$
Jetzt klammerst du $A$, $\rho _w$ und $g$ aus.
Der Höhe des Quaders entspricht $h_2 - h_1$. Damit kannst du ${V_K = A\cdot(h_2 - h_1)}$ ausdrücken.
LösungDie Kräftedifferenz haben wir ausgeschrieben als:
$F_A=p_2\cdot A - p_1\cdot A$
Dann klammern wir A aus:
1. $F_A=A(p_2-p_1)$
Nun setzen wir die Ausdrücke für den Druck ein:
2. $F_A=A(\rho _w\cdot g\cdot h_2 - \rho _w\cdot g\cdot h_1)$
Jetzt klammern wir $A$, $\rho _w$ und $g$ aus:
3. $F_A=A\cdot\rho _w\cdot g\cdot (h_2 - h_1)$
Der Höhe des Quaders entspricht $h_2 - h_1$. Wir wissen dann, dass $V_K=A\cdot(h_2 - h_1)$ sein Volumen $V_K$ darstellt. Das können wir in unserer Herleitung finden und ersetzen es:
4. $F_A=V_K\cdot\rho _w\cdot g$
Das Produkt aus $\rho _w$ und $V_K$, also der Dichte des Wassers und dem Volumen des Körpers, entspricht der Masse einer Menge Wasser mit demselben Volumen wie der Körper. Multiplizieren wir das Ganze mit $g$, erhalten wir die Gewichtskraft des verdrängten Wassers.
-
Beschreibe, wie sich die Auftriebskraft $F_A$ zur Gewichtskraft $F_G$ verhält.
Tipps$F_A < F_G$ bedeutet, dass die Auftriebskraft kleiner ist als die Gewichtskraft.
$F_A > F_G$ bedeutet, dass die Auftriebskraft größer ist als die Gewichtskraft.
$F_A = F_G$ bedeutet, dass Auftriebskraft und Gewichtskraft gleich groß sind.
Die Auftriebskraft wirkt nach oben und die Gewichtskraft wirkt nach unten.
LösungAuf einen untergetauchten Körper wirkt eine Kraft, die seiner Gewichtskraft $F_G$ entgegenwirkt. Diese Kraft heißt Auftriebskraft $F_A$.
- $F_A < F_G$ bedeutet, dass die Auftriebskraft kleiner ist als die Gewichtskraft. Wenn das der Fall ist, dann sinkt der Körper.
- $F_A > F_G$ bedeutet, dass die Auftriebskraft größer ist als die Gewichtskraft. Wenn das der Fall ist, dann steigt der Körper nach oben und schwimmt.
- $F_A = F_G$ bedeutet, dass Auftriebskraft und Gewichtskraft gleich groß sind. Wenn das der Fall ist, dann schwebt der Körper im Wasser.
Die Ursache für den Auftrieb ist der Druck des Wassers: der sogenannte hydrostatische Druck. Er wird verursacht durch das Gewicht des Wassers.
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Berechne die Auftriebskraft.
TippsDie Formel für die Auftriebskraft lautet:
$F_A=V_K\cdot\rho _w\cdot g$
Folgendes haben wir in der Aufgabe gegeben:
- Dichte des Materials: $\varrho_M=2{,}5~\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$
- Dichte des Wassers: $\varrho_W=1~\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}=1\,000~\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$
- Erdbeschleunigung: $g=9,81~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$
Um das Volumen $V_K$ zu berechnen, hilft uns diese Angabe:
„Dazu fertigen sie einen Würfel mit einer Seitenlänge von $10~\text{cm}$, also einen Würfel mit der Seitenlänge $a=\pu{0,1 m}$, aus dem unbekannten Material an.“
Es folgt für das Volumen $V_K$:
$V_K=0,1~\text{m}\cdot 0,1~\text{m} \cdot 0,1~\text{m}$
$V_K=0,001~\text{m}^3$
Jetzt können wir alles in die Formel einsetzen und ausrechnen:
$F_A=V_K\cdot\rho _w\cdot g$
$F_A=0,001~\text{m}^3\cdot 1\,000~\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}\cdot 9,81~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$
LösungDie Formel für die Auftriebskraft lautet:
$F_A=V_K\cdot\rho _w\cdot g$
Folgendes haben wir in der Aufgabe gegeben:
- Dichte des Materials: $\varrho_M = 2{,}5~\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$
- Dichte des Wassers: $\varrho_W = 1~\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}=1\,000~\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$
- Erdbeschleunigung: $g=9,81~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$
Um das Volumen $V_K$ zu berechnen, hilft uns diese Angabe:
„Dazu fertigen sie einen Würfel mit einer Seitenlänge von $10~\text{cm}$, also einen Würfel mit der Seitenlänge $a=\pu{0,1 m}$, aus dem unbekannten Material an.“
Es folgt für das Volumen $V_K$:
$V_K=0,1~\text{m}\cdot 0,1~\text{m}\cdot 0,1~\text{m}$
$V_K=0,001~\text{m}^3$
Nun können wir alles in die Formel einsetzen und ausrechnen:
$F_A=V_K\cdot\rho _w\cdot g$
$F_A=0,001~\text{m}^3\cdot 1\,000~\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 9,81~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$
$F_A=9,81~\dfrac{\text{kg} \cdot \text{m}}{\text{s}^2}=\pu{9,81 N}$
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