Hall-Effekt – Wirkung der Kräfte im Leiter

Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle. Wir machen heute aus dem Gebiet Elektrizität und Magnetismus den Hall-Effekt. Für dieses Video solltet ihr bereits den Film über die Lorentzkraft gesehen haben. Wir lernen heute, was der Hall-Effekt ist, wie man die Formel für die Hallspannung herleiten kann und wie man dieses Prinzip auch für andere physikalische Probleme nutzen kann, zum Beispiel den fahrenden Zug. Als Hall-Effekt bezeichnet man das Auftreten einer Spannung, die wir UH nennen, in einem stromdurchflossenen Plättchen, das sich in einem Magnetfeld befindet. Dabei gilt: Die Hallspannung UH ist senkrecht zur Strom- und Magnetfeldrichtung. Damit wir uns das besser vorstellen können, wollen wir das Plättchen einmal kurz aufzeichnen. Wir haben gerade gehört, dass die Hallspannung senkrecht zur Magnetfeld- und zur Stromrichtung ist. Wenn wir also nun eine Spannungsquelle oben und unten an unser Plättchen anschließen und dann ein Magnetfeld in den Bildschirm hineinrichten, dann müsste sich eine Spannung zwischen der linken und der rechten Seite des Plättchens aufbauen. Und genau das passiert auch. Da die Hallspannung senkrecht zur Magnetfeld- und Stromrichtung ist und die Lorentzkraft, wie wir uns erinnern, ebenfalls senkrecht zur Strom- und Magnetfeldrichtung ist, wollen wir doch einmal sehen, ob wir mit deren Hilfe nicht eine Formel für die Hallspannung herleiten können. Als Erstes sehen wir uns einmal genauer an, was in unserem Plättchen eigentlich passiert. Wir schließen die Spannungsquelle so an, dass die physikalische Stromrichtung von unten nach oben zeigt. Wir richten das Magnetfeld wieder in den Bildschirm hinein und dadurch sollte auf unsere Ladungsträger, nehmen wir mal an, es handelt sich dabei um Elektronen, die Lorentzkraft wirken. Denn, wie wir uns erinnern, fließender Strom bedeutet bewegte Ladungsträger und auf bewegte Ladungen wirkt die Lorentzkraft. Mithilfe der Linke-Hand-Regel stellen wir fest, unsere Elektronen sollten nach rechts auslenkt werden. Dadurch ergibt sich ein Überschuss von negativen Ladungen auf der rechten Seite und ein Überschuss an positiven Ladungen auf der linken Seite. Und das baut wiederum ein elektrisches Feld auf, das ebenfalls auf unsere Elektronen wirkt. Dieses elektrische Feld wiederum übt nun eine Kraft aus, die unsere Elektronen in die entgegengesetzte Richtung drückt. Wir merken uns also: Die Ladungsträger werden von der Lorentzkraft im Plättchen so lange verschoben, bis die dadurch entstehende elektrische Kraft imstande ist, die Lorentzkraft aufzuheben. Sobald dies der Fall ist, können wir links und rechts am Plättchen ein Spannungsmessgerät anschließen und die Hallspannung ablesen. Dann wollen wir einmal unsere beiden Kräfte hinschreiben, die wir, denn das klingt nach einem guten Ansatz, gleichsetzen werden. Wir kennen bereits die Formel, die uns die Summe der Lorentzkräfte auf die bewegten Ladungsträger in einem stromdurchflossenen Leiter gibt. Diese Formel ist: FL=I×l×B (Lorenzkraft=Stromstärke×Länge des Leiters×magnetische Flussdichte). Die Kraft auf eine Ladung im elektrischen Feld FEl=q×E, also Ladung×Feldstärke, wobei Ladung in dem Fall die summierte Ladung aller von uns betrachteten Elektronen heißt. Das heißt, es ist eine noch unbekannte Zahl x×die Elementarladung×die Feldstärke. Und die Feldstärke e ist natürlich die Hallspannung UH durch die Breite unseres Plättchens. Als Nächstes müssen wir unsere Zahl x ein wenig besser schreiben. Dazu formen wir sie um und setzen x=n×V (Eletronendichte mal Volumen). Die Elektronendichte ist eine Größe, die mir angibt, wie viele Elektronen zum Beispiel in 1m³ sind. Wenn ich die Elektronendichte nun mit einem bestimmten Volumen malnehme, bekomme ich als Ergebnis genau heraus, wie viele Elektronen sich in diesem Volumen befinden würden. Nun setze ich die beiden Gleichungen gleich und kann schreiben: Ι×l×B=n×V×e×(UH/b). Und da das Volumen unseres Plättchens ja genau Länge×Breite×Dicke ist, kann ich auch schreiben: =n×l×b×d×e×(UH/b). Damit kürzen sich sofort Länge und Breite aus meiner Gleichung heraus und ich kann nach der Hallspannung umstellen und erhalte: UH=(Ι×B)/(n×d×e). Diese Formel gilt jedoch nur für Stoffe, in denen die Elektronen die alleinigen Ladungsträger sind. Allgemein lautet die Formel für die Hallspannung: UH=AH×(I×B)/d (AH nennt man die Hallkonstante). Das heißt, für unseren Fall, in dem die Elektronen die alleinigen Ladungsträger sind, ist die Hallkonstante AH=1/(n×e). Für andere Stoffe, zum Beispiel Halbleiter, ist dies anders. Als Letztes wollen wir uns nun an einem Beispiel ansehen, wie wir dieses Prinzip des Kräftegleichgewichts auch auf Aufgaben anwenden können, die auf den ersten Blick überhaupt nichts mit der Hallspannung zu tun haben. Gegeben ist folgende Aufgabe: Ein Zug, Geschwindigkeit v=100km/h, fährt von Nord nach Süd durch das Erdmagnetfeld, Flussdichte B=40μT, Winkel zu den Schienen=45°. Welche Spannung wird zwischen den Schienen gemessen, wenn sie einen Abstand d von 1m haben? Auf den ersten Blick könnte man denken, dass hier kein Strom fließt und das damit überhaupt nichts mit dem Hall-Effekt zu tun hat. Auf den zweiten Blick aber werdet ihr sehen, dass die Elektronen, die sich frei in der Achse befinden, mit 100km/h durch das Magnetfeld der Erde gezogen werden. Dabei spielt natürlich nur der senkrecht zur Geschwindigkeit stehende Teil des Magnetfelds eine Rolle. Das heißt, gleich merken, den werden wir nachher ausrechnen müssen. Durch die Lorentzkraft werden also auch hier die freien Ladungsträger in der Achse so weit verschoben, bis das dadurch entstehende elektrische Feld die Lorentzkraft kompensiert. Wir setzen also wieder Lorentzkraft und elektrische Kraft gleich. Unser Ansatz ist: q×v×B=q×e. Und wie vorhin ist e wieder U/d. Dadurch kürzt sich die Ladung heraus und wenn wir nun für B den Teil B senkrecht einsetzen, den wir mit =B×cosα ausrechnen können, ergibt sich: U=v×d×B×cosα. Wenn ich einsetze, erhalte ich also für die Spannung: 100km/h×1m×40μT×cos45°. Wenn ich mir das ein wenig kürzungsfreudiger umforme, erhalte ich: =100/3,6m/s×1m×4×10^-5×Vs/m²×0,707, denn das ist der cos45°. Wie ihr seht, kürzen sich alle Einheiten bis auf die Volt heraus, und das ist gut, ich will ja auch eine Spannung haben. Das Ergebnis ist dann: 7,86×10^-4 V. Wir wollen noch einmal wiederholen, was wir heute gelernt haben. Hall-Effekt nennt man das Auftreten einer Spannung in einem stromdurchflossenen Plättchen, das sich in einem Magnetfeld befindet. Diese Spannung ist senkrecht zur Strom- und Magnetfeldrichtung. Der Hall-Effekt wird verursacht durch die Lorentzkraft. Die Formel zur Berechnung der Hallspannung kann man also durch Gleichsetzen der Lorentzkraft und der elektrischen Kraft herleiten. Dieses Prinzip kann man auch zur Lösung vieler anderer physikalischer Probleme nutzen. So, das war es schon wieder für heute. Ich hoffe, ich konnte euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen, vielleicht bis zum nächsten Mal. Euer Kalle