Rechnen mit Logarithmen

Guten Tag und herzlich willkommen! Dieses Video heißt Rechnen mit Logarithmen. Dieses Video dient der Vorbereitung von Rechnungen zum pH-Wert, pOH-Wert und dem Ionenprodukt des Wassers. Es gehört zur Themenreihe Säuren und Basen. Als Vorkenntnisse solltet ihr wissen, was der pH-Wert und der pOH-Wert sind. Außerdem solltet ihr bereits Bekanntschaft mit dem Ionenprodukt des Wassers geschlossen haben. Je mehr ihr aus der Schulmathematik noch wisst, desto besser. Ziel dieses Videos ist es, euch mit den wichtigsten Logarithmengesetzten bekannt zu machen, beziehungsweise, euch diese in Erinnerung zu rufen. Das Video wurde in 6 Abschnitte unterteilt. 1. Die Potenz, Freund des Logarithmus. 2. Produkt. 3. Quotient. 4. Potenz. 5. Negativer Logarithmus. 6. Kehrwert eines Quotienten.   1. Die Potenz, Freund des Logarithmus. Nehmen wir zum Beispiel die Potenz 2³. Wir bestimmen nun den Logarithmus, und zwar zur Basis 2. Also log2(2³). Ein solcher Logarithmus ist ein Glücksfall, denn die Basen der Potenz und des Logarithmus stimmen überein. Sie sind jeweils 2. Das Ergebnis ist 3. Nehmen wir nun die Potenz 3⁰,5. Wir bestimmen wieder den Logarithmus, und zwar log3(3⁰,5). Wieder stimmen die Basen von Potenz und Logarithmus überein, daher ist das Ergebnis wiederum der rot gekennzeichnete Exponent, also 0,5. Und noch ein Beispiel, 10⁵. Wir bestimmen den log10(10⁵). Die Basen des Logarithmus und der Potenz stimmen überein, daher ist das Ergebnis genau der rot gekennzeichnete Exponent, also 5. Und noch ein Beispiel, 10¹. Wir bestimmen den log10(10¹). Wieder stimmen die Basen von Logarithmus und Potenz überein. Das Ergebnis ist der rot gekennzeichnete Exponent, 1. Eine vereinfachte Schreibweise für log10=lg. Da es der Logarithmus zur Basis 10 ist, nennt man ihn auch den dekadischen Logarithmus. Wir wollen mit ihm noch ein wenig rechnen. lg(10^-2)=-2, denn die Basen des Logarithmus und der Potenz stimmen überein. Und weiter, -lg(10^-5)=Minus×dem Exponenten -5. Und das ist hier gerade 5. Ein einfaches Beispiel für den pH-Wert. Der pH-Wert ist gleich -lg(H3O+). Wir wählen ein Zahlenbeispiel. pH=-lg(0,001). Die Einheit mol/l wird weggelassen. Der Trick besteht ja darin, den Dezimalbruch in eine Potenz zu überführen. Also =-lg(10^-3). Wie man das ausrechnet, wissen wir =-(-3). Wir erhalten pH=3.   2. Produkt. Betrachten wir einen Logarithmus, wenn das Argument x×y, also lg(x×y)=lg(x)+lg(y). Das ist die Regel. x und y müssen >0 sein. Ein Beispiel: lg((10^-7)×(10^-7))=lg(10^-7)+lg(10^-7) nach der Regel. =-7+(-7)=-14. Ein weiteres Beispiel: lg((10¹)×(10^-15))=lg(10¹)+lg(10^-15) nach der Regel. Und weiter: =1+(-15)=-14.   3. Quotient. Wir nehmen an, dass das Argument des Logarithmus der Quotient von x und y ist, wobei x und y jeweils >0 sind. Wir schreiben: lg(x/y)=lg(x×(y^-1))=lg(x)+lg(y^-1). Nach dem Potenzgesetz, dass wir noch kennenlernen werden, können wir schreiben =lg(x)+(-1)×lg(y). Wir erhalten somit die Regel lg(x/y)=lg(x)-lg(y). Ein Beispiel: lg((10^-14)/(10^-7))=lg(10^-14)-lg(10^-7) nach der Regel. Und weiter: =-14-(-7). Wir erhalten als Ergebnis -7.   4. Potenz. Wir betrachten nun Logarithmen, die als Argument die Potenz (xⁿ) besitzen. x soll >0 sein, n ist beliebig. Wir schreiben: lg(xⁿ)=n×lg(x). Das ist die Regel, ohne Beweis. Ein Beispiel: lg(10^-3)=(-3)×lg(10)=(-3)×log10(10)=(-3)×1=-3. Ein weiteres Beispiel: -lg(10^-3)=-(-3)×lg10=3×log10(10)=3×1=3.   5. Negativer Logarithmus. Um zu veranschaulichen was ich meine, zeichne ich den Graphen einer Logarithmusfunktion im 1. und 4. Quadranten. Wir nehmen die Funktion des dekadischen Logarithmus mit der Funktionsgleichung y=lg(x). Andere Logarithmusfunktionen besitzen ähnliche Graphen. Das ist eine Skizze des Graphen der Logarithmusfunktion. Im Bereich unterhalb der x-Achse besitzt die Logarithmusfunktion negative Funktionswerte. Die Argumente der Logarithmusfunktion x müssen stets >0 sein. Der Wertbereich der Funktion ist nicht eingeschränkt, alle y Element R sind möglich. Ein Beispiel, wir bestimmen: lg(0,01). Der Trick besteht wieder darin, den Dezimalbruch in eine Potenz zu überführen, also: =lg(10^-2). Nach dem Gesetz für Potenzen erhalten wir: =(-2)×lg(10)=(-2)×1. Als Ergebnis erhalten wir -2. Ein weiteres Beispiel: lg(0,05). Wir schreiben: =lg(5×0,01). Das Argument des Logarithmus ist nun ein Produkt, wir wissen aber auch, dass man 0,01 als 10^-2 schreiben kann. Somit erhalten wir: =lg(5)+lg(10^-2)=lg(5)-2. lg(5) müssen wir mit dem Taschenrechner bestimmen. Auf meinem Taschenrechner muss ich für lg die Symboltaste log verwenden. Unter Verwendung eines grob gerundeten Wertes ergibt sich: ≈0,7-2≈(-1,3). Ihr könnt auf eurem Taschenrechner selber testen, ob die log Taste für den dekadischen Logarithmus lg vorgesehen ist, macht Folgendes: Gebt eine 10 ein und drückt dann auf die log Taste. Erhaltet ihr eine 1, so ist die log Taste für den dekadischen Logarithmus vorgesehen.   6. Umformung Quotient. Gemeint ist, dass der Quotient x/y, der ein Argument des Logarithmus ist, in seinen Kehrwert y/x umgeformt werden soll. Natürlich müssen x und y wieder jeweils >0 sein. Wir schreiben: lg(x/y). Nach der Regel für den Quotienten ergibt das: lg(x)-lg(y). Wir machen nun folgenden Trick, wir schreiben: =-(-lg(x)+lg(y)). Am Wert des Terms haben wir nichts verändert. Wir stellen nun die Summanden innerhalb des Terms um: =-(lg(y)-lg(x)). Aus der Regel für den Quotienten erhalten wir: lg(x/y)=-lg(y/x). Ein Beispiel: lg((10^-14)/(10^-8)) ist nach der eben hergeleiteten Regel: -lg((10^-8)/(10^-14)). Wir verwenden jetzt die Regel für den Quotienten im Argument des Logarithmus: =-(lg(10^-8)-lg(10^-14))=-(-8-(-14)). Schneller zum Ergebnis gelangt man, wenn man sich an die Potenzgesetze erinnert, (10^-14)/(10^-8) ist nämlich (10^-6), also ergibt sich =lg(10^-6). Und das ist, das wissen wir bereits, -6. Wem die gesamte Rechnerei unnütz erscheint, den möchte ich daran erinnern, dass es sich hier um eine Übung handelt.

Ich danke für die Aufmerksamkeit, alles Gute, auf Wiedersehen!