Hexagonal dichteste Kugelpackung

Guten Tag und herzlich willkommen. In diesem Video geht es um die hexagonal dichteste Kugelpackung. Hexagonal dichteste Kugelpackung bedeutet zunächst einmal eine dichteste Anordnung gleichgroßer Kugeln im Raum. Durch diese Anordnung kann die räumliche Struktur einiger Metalle modelliert werden, zum Beispiel die Struktur des Magnesiums. Hexagonal dichteste Kugelpackung bedeutet eine der Möglichkeiten dichtester Anordnung, das heißt, es gibt mindestens noch eine weitere.

Hexagonal dichteste Kugelpackung bedeutet, dass die Kugeln in Schichten nach dem Schema ABABAB angeordnet sind. Wir wollen in diesem Video die Berechnung des Raumfüllungsgrades ausführen. Der Raumfüllungsgrad bedeutet: Das Verhältnis aus dem Volumen vieler Kugeln bezogen auf das Volumen des Kastens, in dem diese Kugeln in einer hexagonal dichtesten Kugelpackung angeordnet sind. Bei unseren Überlegungen gehen wir immer davon aus, dass die Zahl der Kugeln quasi unendlich ist. Das heißt, wir haben es mit sehr vielen Kugeln zu tun. Das Volumen der vielen Kugeln im Kasten, VK, lässt sich recht einfach darstellen: Wir gehen davon aus, dass in der Länge m Kugeln, in der Breite n Kugeln und in der Höhe p Kugeln angeordnet sind. Dann können wir schreiben: VK=m×n×p×π/6d³, π/6d³ ist das Volumen einer einzigen Kugel, d ist dabei ihr Durchmesser. Wir gehen davon aus, dass m, n und p sehr große Zahlen sind, sie sind also viel größer als 1 und sie sollen in etwa gleich groß sein.

Wir wollen uns nun ein einfaches Modell für die hexagonal dichteste Kugelpackung in einer Schicht anschauen. An 3 Kugeln grenzen 2 Kugeln möglichst dicht an. Die 3 Durchmesser der 3 Kugeln oben bilden die Kastenlänge unseres Models. Es ist klar, dass in der 2. Reihe nur 2 Kugeln angeordnet sein können. Daher erhalten wir für die entsprechenden Kastenlängen (3d)/(2d)=3/2, das ergibt 1,5 und unterscheidet sich doch erheblich von 1. Wenn wir allerdings mit vielen Kugeln arbeiten, mit einer Zahl von der Größenordnung 10²³, typisch für Mol-Mengen, so erhalten wir für die 1. Reihe 10²³ Kugeln und für die 2. Reihe 10²³-1. Wenn wir nun das Verhältnis der Kastenlängen aus der 1. und der 2. Reihe berechnen, so erhalten wir 10^23d/(10²³-1)d. Und das ist eine Zahl, die, nachdem wir d gekürzt haben, fast exakt 1 ist. Damit wird klar, dass unsere Überlegungen nur dann richtig sind, wenn wir es mit sehr vielen Kugeln zu tun haben. Für sehr große m, m ist viel größer als 1, sind folglich die Ränder von jeweils d/2 unerheblich. Das Modell funktioniert folglich nur dann, wenn nicht, wie bei uns hier, m=3 und n=2 sind, sondern m und n, wie wir schon sagten, quasi unendlich sind. Wir kommen nun zur Berechnung des Volumens des Kastens. Und das gestaltet sich etwas komplizierter. Für die Berechnung von V benutzen wir die Formel für die Berechnung des Volumens eines Quaders. Länge × Breite × Höhe. Die Länge ist gerade bei uns das m-fache des Durchmessers einer einzigen Kugel, also die Länge ist m×d. m×d=Länge des Kastens. Die Breite einer Kugelschicht in der hexagonal dichtesten Kugelpackung wird hier von oben nach unten vermessen. Und dort können wir nicht einfach die Durchmesser der einzelnen Kugeln addieren, weil sie ja etwas zusammengeschoben sind. Man sieht aber, so wie ich es hier in der Anordnung zeige, dass jeweils 3 Kugeln ein gleichseitiges Dreieck bilden. Die Eckpunkte des gleichseitigen Dreiecks sind die Mittelpunkte der Kugeln. Dann ist jeweils eine Dreiecksseite d nämlich genau der Durchmesser einer Kugel. Wenn wir jetzt die Höhen dieser gleichseitigen Dreiecke berechnen und mit der Zahl der Kugelpackungen in der Breite multiplizieren, so erhalten wir auch die Breite des Kastens. In einem anderen Video habe ich bereits gezeigt, und ihr könnt es herleiten oder in der Formelsammlung nachschlagen, dass die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge d genau (\sqrt3)/2×d ist. Wir schreiben somit in unsere Formel für das Volumen des Kastens für die Breite des Kastens hinein: n×(\sqrt3)/2×d. Die Breite des Kastens beträgt für eine sehr große Zahl n: n×(\sqrt3)/2×d. Nun bleibt noch übrig, die Höhe des Kastens zu bestimmen. Bei der hexagonal dichtesten Kugelpackung ist die 2. Schicht immer so angeordnet, dass eine Kugel genau über 3 anderen Kugeln so angeordnet ist, dass sie zusammen, wenn man ihre Mittelpunkte miteinander verbindet, ein Tetraeder bilden. Die Idee der Höhenberechnung besteht nun darin, dass man die Höhe eines solchen Tetraeders in die Formel für das Volumen einsetzt, und mit der Anzahl der Lagen in der Höhenausrichtung p multipliziert. Wir schreiben somit p × und die Höhe eines Tetraeders kann man nachlesen, herleiten, ich hab es auch schon in einem Video gezeigt, beträgt \sqrt2/\sqrt3/×d. Die Höhe des Kastens beträgt somit für sehr große p p×\sqrt2/\sqrt3/×d. Und wir erinnern noch einmal, die Höhe eines Tetraders beträgt hier h=\sqrt2/\sqrt3×d, wobei d der Durchmesser einer Kugel ist. Jetzt vereinfachen wir die gefundene Gleichung: Wir können \sqrt3 gegen \sqrt3 kürzen, wir erhalten somit für das Volumen des Kastens V=m×n×p×(\sqrt2)/2×d³. Gleichung 2.

Der Raumfüllungsgrad ist gerade definiert als Quotient aus VK und V. Wir benutzen die beiden rechten Seiten der Gleichung 1 und 2 und schreiben sie oberhalb und unterhalb des Bruchstrichs auf. Also VK/V= , im Zähler steht dann entsprechend Gleichung 1 m×n×p×π×d³ und außerdem auch noch aus Gleichung 1 steht im Nenner eine 6. Aus Gleichung 2 erhalten wir für den Nenner m×n×p×\sqrt2×d³ und außerdem steht aus Gleichung 2 noch eine 2 im Zähler. Jetzt kommt das große Kürzen. m gegen m, n gegen n, p gegen p und d³ gegen d³. Letztlich können wir noch die 2 gegen die 6 kürzen, indem wir beide Zahlen durch 2 dividieren. Im Zähler bleibt dann noch übrig ein π und im Nenner 3×\sqrt2. Mit dem Taschenrechner ermittelt man dafür etwa 0,74, also 74 %. Und das stimmt mit dem Literaturwert auch wunderbar überein.

Ich danke für die Aufmerksamkeit. Auf Wiedersehen.