Wellenmodell des Lichts

Wellenmodell des Lichts Übung

• Definiere die Begriffe Beugung und Interferenz.

  Tipps

  Zwei Menschen, die auf auf unterschiedlichen Seiten eines Baumstammes stehen, können dennoch miteinander sprechen. Dies liegt an dem Phänomen der Beugung.

  Lösung

  Beugung beschreibt die Ablenkung einer Welle an einem Hindernis. Durch Beugung ist die Welle in der Lage, sich in dem Bereich auszubreiten, der im Schatten des Hindernisses liegt. Im Alltag kennen wir dieses Phänomen aus der Akustik. Zwei Menschen, die auf auf unterschiedlichen Seiten eines Baumstammes stehen, können dennoch miteinander sprechen. Beugung funktioniert jedoch nur, wenn die Wellenlängen in der Größenordnung des Hindernisses liegen. Bei der Beugung enstehen, gemäß dem Huygens'schen Prinzip, entlang einer Wellenfront neue Elementarwellen.

  Interferenz beschreibt die Überlagerung von Wellen und die dadurch enstehende Änderung der Amplitude. Nach dem Superpositionsprinzip addieren sich die Amplituden, was zu konstruktiver oder destruktiver Interferenz führen kann.

• Vervollständige die Aussagen über die Eigenschaften des Lichtes.

  Tipps

  Weißes Licht kann durch ein Prisma in die Spektralfarben zerlegt werden.

  Lösung

  Licht besteht aus elektromagnetischen Wellen. Wie alle anderen Wellen besitzen auch Lichtwellen eine Wellenlänge und eine Frequenz. Weißes Licht besteht aus mehreren Wellenlängen. Ein Prisma ist in der Lage, das weiße Licht in seine verschiedenen Farben aufzuteilen. Sobald Licht nur eine einzige Wellenlänge aufweist, nennt man es monochromatisch. Dieses Wort stammt aus dem griechischen. „Mono-Chromos" bedeutet nichts anderes als „Eine Farbe." Wenn Lichtwellen kohärent sind, dann haben sie untereinander eine feste Phasenbeziehung. Sie verlaufen im Gleichtakt. Kohärenz ist eine wichtige Voraussetzung für die Interferenz von Licht.

• Bestimme, welcher Gangunterschied konstruktive und welcher destruktive Interferenz hervorruft.

  Tipps

  Bei konstruktiver Interferenz treffen die Wellenberge zweier oder mehrerer Weller genau aufeinander und addieren sich. Wie muss der Gangunterschied der Wellen sein? Mache dir eine Zeichnung.

  Bei destruktiver Interferenz treffen die Wellenberge einer Welle auf die Wellentäler einer anderen Welle. Dadurch löschen sich die Wellen gegenseitig aus. Wie muss der Gangunterschied der Wellen sein? Mache dir eine Zeichnung.

  Die Bedingung für konstruktive Interferenz ist $\Delta s = k \cdot \lambda$ mit $k = \pm 1, \pm 2 ,...$.

  Die Bedingung für destruktive Interferenz lautet $\Delta s = (\frac{1}{2} + k) \, \lambda $ mit $k = \pm 1, \pm 2 ,...$.

  Lösung

  Überlagern sich zwei Wellen, dann addieren sich die Amplituden nach dem Superpositionsprinzip. Wenn der Gangunterschied der beiden Wellen null beträgt, dann addieren sich stets die Wellenberge miteinander. Die Amplitude der dadurch enstehenden Welle wird größer.

  Wenn eine der Wellen um eine Wellenlänge verschoben wird, dann befinden sich ebenso Wellenberg auf Wellenberg. Wir können also festhalten: Konstruktive Interferenz ensteht bei einem Gangunterschied von null oder einem ganzzahligen Vielfaches der Wellenlänge: $\Delta s = k \cdot \lambda$ mit $k = \pm 1, \pm 2 ,...$.

  Die Gangunterschiede $\Delta s = 0$, $\Delta s = \frac{4}{4} \, \lambda$ und $\Delta s = -3 \, \lambda$ führen also zu einer konstruktiven Interferenz.

  Destruktive Interferenz ensteht dann, wenn der Wellenberg der einen Welle genau auf das Wellental der anderen Welle trifft. Auch hier addieren sich die Amplituden der beiden Wellen, was zu einer Auslöschung der Welle führt. Damit ein Wellenberg auf ein Wellental trifft, muss eine der Wellen um eine halbe Wellenlänge verschoben werden. Der Gangunterschied muss also $\Delta s = (\frac{1}{2} + k) \, \lambda $ sein. Auch hier mit $k= \pm 1, \pm 2 ,...$.

  Die Gangunterschiede $\Delta s = \frac{1}{2} \, \lambda$, $\Delta s = \frac{3}{2} \, \lambda$ und $\Delta s = - \frac{7}{2} \, \lambda$ führen also zu einer destruktiven Interferenz.

• Berechne die Spaltbreite.

  Tipps

  Betrachte die Formel für den Einzelspalt.

  Die Formel für den Einzelspalt lautet:

  Beachte, dass die Größe $s_n$ in der Formel den Abstand zwischen Hauptmaximum und 1. Minima angibt. Wie erhalten wir den Wert für $s_n$ aus der Aufgabenstellung?

  Lösung

  Gesucht ist die Spaltbreite $d$ des Einzelspaltes. Gegeben sind die folgenden Größen:

  $\lambda = 500 \text{nm}$

  $e_n = 3 \text{m}$

  Abstand der beiden 1. Minima: $10 \text{mm}$

  Da das Interferenzmuster symmetrisch ist, lässt sich der Abstand zwischen dem Hauptmaximum und dem 1. Minimum finden. Er ist halb so groß wie der Abstand zwischen den beiden 1. Minima. Es gilt also: $s_n = 5 \text{mm}$.

  Für den Einzelspalt kennen wir die folgende Formel:

  $\frac{n \cdot \lambda}{d} = \frac{s_n}{e_n}$.

  Nach d umgestellt lautet die Formel:

  $d =\frac{n \cdot \lambda \cdot e_n}{s_n} =d =\frac{1 \cdot 500 \text{nm} \cdot 3 \text{m}}{5 \text{mm}}=0,0003 \text{m}=0,3 \text{mm}$.

  Stellen wir diese Formel nach $d$ um und setzen ein, erhalten wir das Ergebnis. Die Spaltbreite $d$ beträgt $0,3 \text{mm}$.

• Gib an, welche Aussagen über den Gangunterschied korrekt sind.

  Tipps

  Wie muss der Gangunterschied zwischen zwei Wellen sein, damit konstruktive Interferenz entsteht?

  Lösung

  Die Wegdifferenz zwischen zwei oder mehreren kohärenten Wellen nennt man Gangunterschied.

  Der Gangunterschied, abgekürzt $\Delta s$, ist entscheidend für das Auftreten von Interferenzerscheinungen. So ensteht konstruktive Interferenz bei einem Gangunterschied von $\Delta s = k \cdot \lambda$ mit $k = 0,\pm 1, \pm 2,...$. In diesen Fällen addiert sich jeweils ein Wellenberg der einen Welle mit dem Wellenberg der anderen Welle. Dabei verstärken sich die beiden Wellen und es entsteht eine Welle mit einer größeren Amplitude.

• Berechne die Wellenlängen der Quecksilberlinien.

  Tipps

  Verwende die Gleichung für die Maxima am Doppelspalt.

  Die Gleichung lautet:

  Die Formel wird nach der Wellenlänge umgestellt und die Werte werden eingesetzt

  Lösung

  Aus der Aufgabenstellung erhalten wir folgende Angaben:

  $b = 1,5 \text{mm}$

  $e_n = 3\text{m}$

  $n = 6$

  $s_{n-grün} = 6,54 \text{mm}$

  $s_{n-blau} = 5,23 \text{mm}$

  Wie verwenden die Gleichung für die Maxima am Doppelspalt:

  $\frac{n \cdot \lambda}{b} = \frac{s_n}{e_n}$

  Die Formel wird nach der Wellenlänge umgestellt und die Werte werden eingesetzt. $\begin{align} \lambda = \frac{s_n}{e_n} \frac{b}{n} \\ \lambda_{grün} &= \frac{6,54 \cdot 10^{-3} \text{m}}{3 \text{m}} \frac{1,5 \cdot 10^{-3} \text{m}}{6} \\ &= 545 \cdot 10^{-9} \text{m} \\ &= 545 \text{nm} \\ \newline \lambda_{blau} &= \frac{5,23 \cdot 10^{-3} \text{m}}{3 \text{m}} \frac{1,5 \cdot 10^{-3} \text{m}}{6} \\ &= 436 \cdot 10^{-9} \text{m} \\ &= 436 \text{nm} \end{align}$