Interferenz elektromagnetischer Wellen am Beugungsgitter (Übungsvideo)

Interferenz elektromagnetischer Wellen am Beugungsgitter (Übungsvideo) Übung

• Definiere das Huygenssche Prinzip.

  Tipps

  Auf dem Interferenzmuster sind Streifen von Maxima und Minima zu sehen. Überlege, was die Gründe für dieses Phänomen sein könnten.

  Lösung

  Das Huygenssches Prinzip beschreibt, dass jeder Punkt einer Wellenfront als Ausgangspunkt einer neuen (Elementar-)Welle betrachtet werde kann. Wenn eine ebene Welle auf einen Spalt oder ein Gitter trifft, interferieren die Elementarwellen dahinter. Es kommt zu konstruktiver (Maxima) und destruktiver Interferenz (Minima). Das hängt vom Gangunterschied zwischen den Spalten ab.

• Erkläre, warum man auf dem Schirm Maxima und Minima sieht.

  Tipps

  Stelle dir zwei Sinuswellen mit der gleichen Wellenlänge vor, die miteinander interferieren. Was passiert, wenn du sie um eine halbe Wellenlänge verschiebst, und was, wenn der Gangunterschied eine ganze Wellenlänge beträgt?

  Lösung

  Besonders bei Spektralanalysen will man vorher wissen, wo welche Wellenlänge ihr Maximum haben wird.

  • Wenn ein Strahl an einem Spalt gebeugt wird, entstehen Elementarwellen welche dann entweder konstruktiv oder destruktiv interferieren.
  • Wenn eine gebeugte Elementarwelle vom einen Spalt auf eine durchlaufende Welle vom anderen Spalt trifft, hat die eine Welle einen längeren Weg zurückgelegt als die andere. Dadurch kann es vorkommen, dass Wellenberg und Tal nicht genau übereinander liegen.
  • Liegen die beiden Wellen um eine halbe Wellenlänge verschoben, interferieren sie destruktiv.
  • Die Bedingung für die Bildung eines Maximums ist, dass der Gangunterschied ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge ist. Es kann also auch nur bestimmte Winkel geben, unter denen Maxima vorkommen.

• Berechne den Abstand des 1. Maximums.

  Tipps

  Überlege, wann bzw. unter welchen Winkeln ein Maximum entsteht.

  $g\cdot\sin(\varphi)=n\cdot \lambda$ ist die Bedingung für ein Maximum.

  Lösung

  Da der Abstand des Schirms und die Wellenlänge bekannt sind, brauchen wir nur noch den Winkel. Durch die Bedingung für Maxima ($g\cdot\sin(\varphi)=n\cdot \lambda$) ergibt sich:

  $\varphi = \sin^{-1}(\dfrac{n\cdot \lambda}{g})$

  $\varphi = \sin^{-1}(\dfrac{1\cdot 200~\text{nm}}{700~\text{nm}})= 16,6^\circ$.

  Da der Strahlenweg von der nullten zur ersten Ordnung durch ein rechtwinkliges Dreieck beschrieben wird, ergibt sich:

  $x=\tan (\varphi)\cdot d$

  $x=\tan (16,6^\circ)\cdot 0,3~\text{m}=0,09~\text{m}$.

  Also ist der Abstand zwischen nullter und erster Ordnung 0,09 Meter bzw. 9 Zentimeter.

• Berechne die Breite des Maximums erster Ordnung.

  Tipps

  Verschiedene Wellenlängen werden verschieden stark gebeugt.

  Lösung

  Bei dem LED-Licht ist das Besondere, dass dort viele Wellenlängen vorhanden sind. Für die Berechnung der Breite des 1. Maxima benötigen wir also den Abstand der gebeugten Wellenlängen. Da der Abstand vom Gitter zum Schirm und die Wellenlängen bekannt sind, brauchen wir nur noch die Beugungswinkel.

  Durch die Bedingung für Maxima ergibt sich:

  $\varphi = \sin^{-1}(\dfrac{n\cdot \lambda}{g})$

  $\varphi_1 = \sin^{-1}(\dfrac{1\cdot 780~\text{nm}}{900~\text{nm}})= 60,07^\circ$

  $\varphi_2 = \sin^{-1}(\dfrac{1\cdot 380~\text{nm}}{900~\text{nm}})= 24,97^\circ$

  Da der Strahlenweg von der nullten zur ersten Ordnung durch ein rechtwinkliges Dreieck beschrieben wird, folgt:

  $x=\tan (\varphi_1)\cdot d-\tan (\varphi_2)\cdot d$

  $x=\tan (60,07^\circ)\cdot 0,3~\text{m}-\tan (24,97^\circ)\cdot 0,3~\text{m}=0,38~\text{m}$.

  Die erste Ordnung ist also 38 Zentimeter breit.

• Nenne Eigenschaften der Beugung von Licht.

  Tipps

  Überlege, wie zwei Sinuswellen übereinander liegen, wenn sie um $\dfrac{\lambda}{2}$ verschoben sind.

  Lösung

  • Nur wenn der Gangunterschied ein Vielfaches der Wellenlänge ${\lambda}$ ist, wird die Interferenz konstruktiv. Daraus folgt, dass es nicht unter jedem Winkel konstruktive Interferenz gibt, weil der Winkel den Wegunterschied verändert.
  • Das Huygenssches Prinzip beschreibt die Ausbreitung einer Welle als Wechselwirkung vieler Elementarwellen, deren Überlagerung am Spalt zu den Interferenzen auf dem Schirm führt.

• Berechne die Spaltbreite eines Einfachspalts.

  Tipps

  Die Bedingung für Maxima beim Einfachspalt lautet: $\sin (\varphi)\cdot g=\Delta s={0,5 \cdot \lambda + k \cdot \lambda}$.

  Lösung

  Um die Spaltbreite des Versuchs zu bestimmen, muss man die Schritte, mit denen man $x$ bestimmt, zurückverfolgen:

  $\tan (\varphi)\cdot d=x$

  $\varphi=\arctan (\dfrac{x}{d})=33,2^\circ$

  Das kann man dann in die Bedingung für Maxima beim Einfachspalt einsetzen:

  $\sin (\varphi)\cdot g=\Delta s={0,5 \cdot \lambda + k \cdot \lambda}$.

  Also: $g=\dfrac{\Delta s}{\sin (\varphi)}=\dfrac{0,5 \cdot \lambda + k \cdot \lambda}{\sin (\varphi)}=\dfrac{(2k+1)}{2 \sin (\varphi)} \cdot \lambda=1,9*10^{-6}~\text{m}=1,9~\mu\text{m}$.