Raumzeit und Minkowski-Diagramme

Die Raumzeit in der speziellen Relativitätstheorie

Anfang des letzten Jahrhunderts entwickelte Albert Einstein auf der Grundlage der Vorarbeiten von Henri Pointcaré, Hendrik Antoon Lorentz und anderen Physikern die spezielle Relativitätstheorie. Der Name Relativitätstheorie, der ihr im Nachhinein gegeben wurde, zielt darauf ab, dass sie Beobachtungen in zwei zueinander relativ bewegten Bezugssystemen untersucht und vergleicht. Zum Beispiel könnten zwei Freunde sich die Frage stellen, ob die Ergebnisse eines Versuchs davon abhängen, wo der Versuch ausgeführt wird (in Berlin und in Paris), oder davon, dass sich die Labore relativ zueinander bewegen (auf einem Satelliten oder stationär auf der Erde).

Die Relativitätstheorie vor Einstein

Es gab, ohne dass man sie so nannte, bereits eine Relativitätstheorie vor Einstein, die sogenannte galileische Relativitätstheorie. Sie behauptete, dass die newtonschen Gesetze und damit die Bewegungsgleichungen der Mechanik in allen Laboren, die sich relativ zueinander mit konstanter Geschwindigkeit bewegen, gleich aussehen. Genauer und mathematisch ausgedrückt:

Wenn $S$ das Bezugssystem des ersten Labors ist und das zweite Labor sich relativ dazu mit konstanter Geschwindigkeit $\vec{v}$ bewegt, so lautet z. B. die Definition der Kraft in Labor eins ${S: F=m \cdot \frac{\text{d}v}{\text{d}t}}$ und im Bezugssystem $S^\prime$ des zweiten Labors ${S^\prime: F^\prime = m\cdot \frac{\text{d}v^\prime}{\text{d}t^\prime}}$. Das bedeutet, dass das zweite newtonsche Axiom in beiden Bezugssystemen die gleiche Form hat.

Diese kleine Exkursion in die Geschichte der Physik machen wir deshalb, um ein entscheidendes Detail sichtbar zu machen: Es gibt nicht einfach Gesetze der Physik, sondern hinter der Form, in der die Menschen sie mathematisch formulieren, steckt eine Vorstellung von Raum und Zeit. Im Fall der newtonschen Mechanik beispielsweise die Vorstellung (oder das Vorurteil), dass die Zeit in allen Bezugssystemen gleich ist ($t^\prime = t$).

Einsteins Grundideen

Die große Leistung von Albert Einstein war, zu erkennen, dass sich die Probleme zu Beginn des 20. Jahrhunderts im Zusammenhang mit Licht als elektromagnetischer Welle lösen ließen, wenn man die Vorstellung einer in allen Bezugssystem gleichen Zeit zugunsten einer anderen Konstanz aufgäbe:

Bis dahin war man von der Äthertheorie ausgegangen, dass sich das Licht in einem Medium – dem sogenannten Äther – ausbreite. Die Existenz des Äthers wurde somit von mehreren Physikern widerlegt, was Albert Einstein in seiner Relativitätstheorie zusammengefasst hat.

Die spezielle Relativitätstheorie Einsteins

Einstein behielt die Forderung bei, dass es eine Klasse von Bezugssystemen geben soll, in denen die physikalischen Gesetze formal gleich sind. Der Wechsel zwischen diesen Bezugssystemen kann dann aber nicht mehr durch die Galilei-Transformationen beschrieben werden, sondern durch eine andere Art von Koordinatenwechsel, dem eine neue Vorstellung von Raum und Zeit entspricht.

Die Untersuchung von Koordinatentransformationen, bei denen die Bewegungsgleichungen erhalten bleiben, ist gleichbedeutend mit einer Untersuchung der Vorstellungen von Raum und Zeit, die in die Theoriebildung eingeflossen sind. Deshalb wollen wir jetzt Koordinatentransformationen im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie betrachten und können daraus Schlussfolgerungen über die Raumzeit der speziellen Relativitätstheorie ziehen.

Die Definition der Raumzeit und die Minkowski-Diagramme

An den Gleichungen für die Lorentz-Transformation kannst du sehen, dass die Zeit in verschiedenen Bezugssystemen unterschiedlich verläuft – sie ist nicht mehr absolut.

Mit dieser mathematischen Konstruktion der Raumzeit lassen sich jedes Ereignis und auch bestimmte Zusammenhänge zwischen diesen Ereignissen in diesem Universum beschreiben.

Zur weiteren Beschreibung von Lorentz-Transformationen hat Hermann Minkowski 1908 das Minkowski-Diagramm entwickelt. In diesem Diagramm werden die Ortskoordinaten auf der $x$-Achse dargestellt und die Zeit $t$ mithilfe des Terms $ct$ auf der $y$-Achse dargestellt. Mit dieser Konstellation lässt sich eine vereinfachte Darstellung der Raumzeit finden, die auch für das menschliche Gehirn vorstellbar ist. So lässt sich beispielsweise die Ausbreitung von Licht mit der konstanten Lichtgeschwindigkeit $c$ in folgender Gleichung darstellen:

$ct = x$

Diese Gleichung kann als Funktionsgleichung für das Minkowski-Diagramm interpretiert werden, was eine Ursprungsgerade – die sogenannte Lichtgerade – darstellt. Da diese Gleichung den Proportionalitätsfaktor $1$ hat, steht die Lichtgerade zu den Achsen des Minkowski-Diagramms im $45^\circ$-Winkel.

Betrachten wir nun zwei unterschiedliche Bezugssysteme $S$ und $S^\prime$, wobei sich $S^\prime$ relativ zu $S$ mit konstanter Geschwindigkeit $v$ in positiver $x$-Richtung bewegt. Wie würden sich die Koordinaten der jeweiligen Bezugssysteme $(x,ct) \rightarrow (x^\prime,ct^\prime)$ bei einer Lorentz-Transformation im Minkowski-Diagramm verhalten?

Wie sehen in einem Minkowski-Diagramm die Koordinatenachsen eines Bezugssystems $S^\prime$ aus, das sich relativ zur $x$-Achse von $S$ mit konstanter Geschwindigkeit $v$ bewegt?

Schauen wir uns zunächst die Ereignisse auf der $x$-Achse an. Nach der Lorentz-Transformation liegen diese auf der $x^\prime$-Achse, die durch die Gleichung $ct^\prime = 0$ charakterisiert wird. Setzen wir das einmal in Gleichung (2) ein, so erhalten wir

$ct = \dfrac{v}{c}\cdot x$

Das heißt, dass die Koordinaten $x^\prime$ auf einer Geraden liegen, die durch $0$ geht und die Steigung $\tan{\phi} = \dfrac{v}{c}$ hat. Der Neigungswinkel zur $x$-Achse ist wegen der Eigenschaften des Tangens immer $<45^\circ$!

Im Fall der $ct$-Achse wissen wir, dass die $ct^\prime$-Achse durch die Eigenschaft $x^\prime=0$ definiert ist. Gucken wir uns dann die Gleichung (1) der Lorentz-Transformation an, dann erhalten wir:

$ct = \dfrac{c}{v} \cdot x$

Das bedeutet, dass diese Achse genau spiegelsymmetrisch zur $x^\prime$-Achse ist!

Die Komponenten $(x,ct)$ eines Punkts $P$ im Bezugssysteme $S$ kannst du wie üblich bestimmen, indem du Linien parallel zu den Koordinatenachsen einzeichnest. Ebenso ist das für das zweite Bezugssystem $S^\prime$, auch hier zeichnest du Linien parallel zu den entsprechenden Koordinatenachsen. Wie im Bild zu sehen ist, hat $P$ dort die Koordinaten $(x^\prime, ct^\prime)$.

Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft

Wir wollen uns nun mit der Frage beschäftigen, was für Konsequenzen die spezielle Relativitätstheorie für unser Zeitverständnis hat. In der newtonschen Physik bzw. galileischen Relativitätstheorie sind wir von einem Begriff von Zeit ausgegangen, der sich grafisch folgendermaßen fassen lässt.

Alle Ereignisse, die im Bezugssystem $S$ unterhalb der $x$-Achse liegen (Punkt 3), gehören der Vergangenheit an. Alle Ereignisse darüber (Punkte 2 und 1) gehören der Zukunft an und alle Ereignisse auf der $x$-Achse finden gleichzeitig mit dem Ereignis $E$ in der Gegenwart zum Zeitpunkt $t=0$ statt.

Gleichzeitigkeit

Aus einer objektiven Perspektive gilt, dass alle Ereignisse, die für den Beobachter in $S$ gleichzeitig stattfinden, auf Geraden liegen, die parallel zur $x$-Achse sind. Da die Zeit in der newtonschen Physik absolut ist, stimmt das ebenfalls für einen Beobachter in einem Bezugssystem $S^\prime$, das sich gleichförmig zu $S$ bewegt: Alles, was für den Beobachter in $S$ gleichzeitig passiert, geschieht auch für den Beobachter in $S^\prime$ gleichzeitig.

Betrachtet man diese beiden Bezugssysteme $S$ und $S^\prime$ in der Raumzeit und im Minkowski-Diagramm, dann sehen wir, dass die gleichzeitigen Ereignisse für das System $S^\prime$ alle parallel zur neuen $x^\prime$-Achse sein müssen. Durch die Lorentz-Transformation werden Raum und Zeit selbst gekrümmt und transformiert, sodass die Phänomene der Zeitdilatation und Längenkontraktion während der Transformationen auftreten können. Die Gleichzeitigkeit von Ereignissen ist nicht mehr absolut gesetzt!

Kausalität, Vergangenheit und Zukunft

Wenn es keine absolute Gleichzeitigkeit mehr gibt, also der Begriff der Gegenwart unklar geworden ist, können wir dann wenigstens noch von Vergangenheit und Zukunft sprechen? Um diese Frage zu beantworten, werden wir nun den Lichtkegel genauer untersuchen. Analog zum Konzept der Lichtgeraden beschreibt der Lichtkegel in der vierdimensionalen Raumzeit die unterschiedlichen Ereignisse, wenn man sich vom Ursprung mit der Lichtgeschwindigkeit $c$ fortbewegt. Im zweidimensionalen vereinfachten Minkowski-Diagramm lässt sich das so darstellen:

Ausgehend von dem gegenwärtigen Ereignis $E$ im Ursprung unterteilt der Lichtkegel das Minkowski-Diagramm in drei Bereiche:

1. Einen Bereich innerhalb des Kegels in positiver Zeitrichtung. Dieser steht für die Zukunft und alle zukünftigen Ereignisse (z. B. Punkt 1), die vom gegenwärtigen Ereignis $E$ zu erreichen sind.
2. Einen Bereich innerhalb des Kegels in negativer Zeitrichtung. Dieser Bereich steht für die Vergangenheit und alle vergangenen Ereignisse (z. B. Punkt 3) , die vom gegenwärtigen Ereignis $E$ zurückliegen.
3. Einen Bereich außerhalb des Kegels. Diese Ereignisse (z. B. Punkt 2) sind vom gegenwärtigen Ereignis $E$ nur mit Überlichtgeschwindigkeit erreichbar, was unmöglich ist.

Mithilfe des Lichtkegels und der Unterteilung in den verschiedenen Bereichen lässt sich im Minkowski-Diagramm eine Kausalität von Ereignissen darstellen. Der Bezugspunkt ist dabei immer das Ereignis $E$, das sich im Ursprung bzw. in der Spitze des Doppelkegels befindet. Dieser stellt die Gegenwart da. Von diesem Punkt aus lässt sich in die Zukunft oder in die Vergangenheit schauen. Liegt ein zweites Ereignis im orangefarbenen oder grünen Bereich, dann lässt sich sagen, dass zwischen den beiden Ereignissen eine Kausalität entstehen kann. Das bedeutet, dass das eine Ereignis das andere hätte beeinflussen können, da sie in der Raumzeit mit einer Geschwindigkeit unter der Lichtgeschwindigkeit erreichbar sind. Für ein Ereignis auf dem Lichtkegel selbst ist das auch der Fall, jedoch müssten diese Ereignisse mit der Lichtgeschwindigkeit verbunden werden, was in unserer Realität bisher nur mit Licht oder anderen elektromagnetischen Signalen möglich ist. Für Ereignisse im gelben Bereich ist es unmöglich, dass das gegenwärtige Ereignis $E$ diese kausal beeinflussen kann, da sie nur mit Überlichtgeschwindigkeit erreichbar sind. Die Kausalität zwischen den beiden Ereignissen lässt sich somit ausschließen.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Raumzeit und Minkowski-Diagramme