Polarkoordinaten bei der Kreisbewegung

Polarkoordinaten bei der Kreisbewegung Übung

• Gib an, was Polalkoordinaten sind.

  Tipps

  Die Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten geht über trigonometrische Überlegungen. Man wird also vermutlich nicht einfach einen Wert austauschen können.

  Lösung

  Kreise, Spiralen und Zylinder lassen sich viel leichter beschreiben, wenn man sie in Polarkoordinaten oder Zylinderkoordinaten ausdrückt. (Wobei Zylinderkoordinaten einfach nur eine Z-Komponente dazu bekommen).

  Es lohnt sich also sehr, sich diese Transformation zu merken, dann sind viele Vektoren im Nu aufgestellt.

  Aber erst einmal ganz allgemein: Polarkoordinaten beschreiben Kreisbewegungen. Dabei werden X- und Y-Koordinaten durch die Länge des Vektors vom Ursprung zum gesuchten Punkt des Kreises (also der Radius) und den Winkel, unter dem der Radius in eine Richtung geht, beschrieben.

  Der Winkel wird über Sinus und Kosinus beschrieben.

• Ordne alle Koordinaten und ihre Entsprechungen zu.

  Tipps

  Unter dem roten Vektor kannst du dir ein rechtwinkliges Dreieck vorstellen. Es sollte dir helfen, x und y zu finden.

  Lösung

  Wie sehen diese Polarkoordinaten nun aus und wie beschreiben wir sie wieder im kartesischen Koordinatensystem?

  Der rote lange Vektor ist der Radius $r$. Er ist unter dem Winkel $\varphi$ von der X-Achse verschoben.

  Schaut man sich das grüne Rechteck an, mit dem wir normalerweise einfach x und y ablesen würden, so sehen wir ein rechtwinkliges Dreieck unter $r$.

  Aus der Trigonometrie wissen wir dann, wie wir die beiden Katheten x,y durch die Hypotenuse $r$ und den Winkel $\varphi$ ausdrücken können:

  $x=r\cdot\cos(\varphi)$

  $y=r\cdot\sin(\varphi)$.

• Berechne die Länge des Radius-Vektors.

  Tipps

  Die Länge des Vektors ist dessen Betrag.

  Lösung

  Wir haben in Polarkoordinaten nun einen Radius. Erstmal ist er ja nur ein Vektor zu einem Punkt. Wir benötigen aber die Länge des Vektors.

  Die Länge eines Vektors ist dessen Betrag. Dieser wird berechnet durch:

  $\vert r \vert =\sqrt{x^2+y^2}$.

  Also bei uns:

  $\vert r \vert =\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{41}=6,4$.

  Das Ergebnis ist also 6,4 (hier ohne Einheit).

• Berechne den Punkt mithilfe der Polarkoordinaten.

  Tipps

  Wenn dir die Gleichungen nicht gleich einfallen, stell dir ein rechtwinkliges Dreieck unter dem Vektor vor und finde die trigonometrische Gleichung selbst heraus.

  Lösung

  Hier finden wir einen speziellen Punkt auf der Kreisbahn, nämlich Q.

  Die Polarkoordinaten $r=7,8$ und $\varphi=47,8^\circ$ sind uns gegeben.

  Also müssen wir nur noch unsere Transformationsgleichungen kennen:

  $x=r\cdot\cos(\varphi)=7,8\cdot\cos(47,8^\circ)=5,23=5,2$

  $x=r\cdot\sin(\varphi)=7,8\cdot\sin(47,8^\circ)=5,77=5,8$

  Der Punkt ist also Q(5,2/5,8).

• Nenne Eigenschaften der Polarkoordinaten.

  Tipps

  Bei den Polarkoordinaten drücken wir x und y in einer Länge und einem Winkel aus.

  Lösung

  Bei Polarkoordinaten dreht sich alles um Kreise und Kreisbewegungen. Auch eine Schaukel, die sich überschlägt, dreht sich im Kreis, hat also einen festen Radius und einen Winkel, der sich mit der Zeit verändert.

  Mit den Koordinaten $r$ und $\varphi$ können wir x und y dann wie folgt ausdrücken:

  $x=r\cdot\cos(\varphi)$

  $y=r\cdot\sin(\varphi)$.

• Berechne den Radius des Kreises.

  Tipps

  Ersetze zunächst x und y durch die Gleichungen für Polarkoordinaten.

  Lösung

  Solche Gleichungen kennst du vermutlich schon. Hier begegnest du allerdings auch Kosinus- und Sinustermen, die zu Schwierigkeiten führen können.

  Zunächst ersetzen wir x und y durch die Transformationsgleichungen:

  $r^2\cdot\cos^2(\varphi)+r^2\cdot\sin^2(\varphi)-9=0$.

  Der Trick ist es, Sinusquadrat und Kosinusquadrat einzuklammern:

  $r^2\cdot(\cos^2(\varphi)+\sin^2(\varphi))-9=0$.

  Damit der „Trick" funktioniert, muss man nun wissen, dass $(\cos^2(\varphi)+\sin^2(\varphi))=1$ ist, und damit aus der Gleichung wegfällt. Damit haben wir:

  $r^2-9=0$ also $r^2=9$ und nach Ziehen der Wurzel $r=3$. Der Radius ist also 3.