Mit Bogenmaß und Polarkoordinaten eine Kreisbewegung berechnen

Mit Bogenmaß und Polarkoordinaten eine Kreisbewegung berechnen Übung

• Beschrifte die Kreisbewegung.

  Tipps

  Zwei der Lücken sind Polarkoordinaten.

  Lösung

  Klären wir hier erst einmal die Begrifflichkeiten.

  In Polarkoordinaten gibt es den Radius $r$, hier der blaue Strich. Der rote Strich ergibt sich durch den Winkel $\varphi$, der den Bogen $b$ aufspannt. Auch der rote Strich besitzt die Länge des Radius.

  Das Bogenmaß beschreibt den Winkel $\varphi$ für eine volle Kreisbewegung. Deshalb kann $\varphi$ im Bogenmaß zwischen $0$ und $2\pi$ liegen.

  Denn $\varphi=\dfrac{b}{r}$. Setzt man für $b$ den Umfang ein, ist das Ergebnis $2\pi$.

• Nenne Unterschiede zwischen Grad- und Bogenmaß.

  Tipps

  Überlege für die letzte Aussage, was dir leichter erscheint: mit Brüchen bzw. Vielfachen von $\pi$ zu rechnen oder mit hohen Gradzahlen?

  Lösung

  Grad und Rad (Bogenmaß) unterscheiden sich in vielerlei Hinsicht.

  Beide beschreiben einen Kreis, nur eben in anderen Zahlen.

  Während der Kreiswinkel in Grad mit einer Größe von $0^\circ -360^\circ$ beschrieben wird, wird er im Bogenmaß in $0-2\pi$ beschrieben.

  Mit dem Bogenmaß lässt es sich einfacher rechnen, denn ein halber Kreis ist $\pi$ und ein ganzer $2\pi$. Ein Viertelkreis ist $\dfrac{\pi}{2}$ usw. Bei Schwingungen sind das eigentlich die einzigen Stellen, die man benötigt. In Grad müsste man dauernd mit Zahlen von 0 bis 360 arbeiten und Umrechnungsfaktoren berücksichtigen.

• Erkläre die Berechnungen im Bogenmaß.

  Tipps

  Im Bogenmaß wird der Winkel berechnet durch $\varphi=\dfrac{b}{r}$. Was sagt dir das über die Einheit?

  Lösung

  Wenn du mit Winkeln rechnest, musst du wissen, wie es sich mit Einheiten und Umrechnungen verhält.

  Das Bogenmaß benutzt man beim Beschreiben von Kreisbewegungen. Dabei geht der Winkel von $0$ bis $2\pi$ und ist letztendlich ohne Einheit. Allerdings bezeichnet man ihn oft mit der Einheit „rad", damit man weiß, dass es sich um ein Bogenmaß handelt.

  Mit der Gleichung $2\pi~\text{rad}=360^\circ$ kann man grad in rad umrechnen und umgekehrt.

• Rechne Grad in Bogenmaß und andersherum.

  Tipps

  Es gilt $2\pi~\text{rad}=360^\circ$. Davon ausgehend kannst du dir Umformungen überlegen.

  Lösung

  Will man das Bogenmaß benutzen, muss man ab und zu umrechnen.

  Dafür gibt es zwei Gleichungen:

  $1^\circ=\dfrac{\pi}{180^\circ}$. Das ist also 1°. Nun haben wir aber $20^\circ$ bzw. $260^\circ$. Also multiplizieren wir einfach:

  $1^\circ=\dfrac{\pi}{180^\circ}\cdot 20^\circ=\dfrac{1}{9}\pi$

  bzw: $=\dfrac{13}{9}\pi$ für $260^\circ$.

  Und andersherum:

  $1~\text{rad}=\dfrac{180^\circ}{\pi}$ für 1 rad.

  Bei $\dfrac{7}{9}\pi$ also:

  $\dfrac{180^\circ}{\pi}\cdot\dfrac{7}{9}\pi=140^\circ$ bzw:

  $\dfrac{180^\circ}{\pi}\cdot\dfrac{13}{8}\pi=292,5^\circ$

• Nenne Eigenschaften des Rechnens im Bogenmaß.

  Tipps

  Überlege, ob die zweite und die vierte Aussage sich widersprechen.

  Lösung

  Auch hier gilt es einfach, ein paar Grundlagen zu kennen.

  Zum einen gilt $\varphi=\dfrac{b}{r}$. Die Einheit ist „rad". Da diese eigentlich $\dfrac{m}{m}=1$ ist, ist sie dimensionslos, das heißt, dass der Winkel eigentlich keine Einheit hat. Man schreibt aber rad, um zu zeigen, dass es sich um ein Bogenmaß handelt.

  Setzt man für $b$ den Kreisumfang $U=2\pi\cdot r$ als Bogenlänge ein, so ist das Ergebnis $2\pi$, was dann der maximale Winkel im Bogenmaß ist.

• Berechne den Bogen.

  Tipps

  Betrachte den ganzen Umfang des Kreises und überlege, wie du mit dem Winkel in Grad ein Teil vom Umfang bekommst.

  Lösung

  Wie viel vom Kreisumfang wurde nun schon aufgespannt? Genau: das ist ja der Bogen. Eine Schwierigkeit hier ist, dass wir den Winkel in Grad gegeben haben. Aber auch dafür gibt es gute Umrechnungen:

  $b=\dfrac{2\cdot\pi\cdot r\cdot \varphi}{360^\circ}$.

  Einschub:Diese Formel ist im Grunde $ U\cdot\dfrac{\varphi}{360^\circ}$, also der ganze Umfang mal einem Bruchteil des Vollwinkels. Dadurch ergibt sich ein Bruchteil des gesamt Umfangs, also der Bruchteil, den wir suchen.

  Die 2 kann man schon mal kürzen:

  $b=\dfrac{\pi\cdot r\cdot \varphi}{180^\circ}=\dfrac{\pi\cdot 5~\text{cm}\cdot 45^\circ}{180^\circ}=3,9~\text{cm}$.

  Da wir als einzig echte Einheit Zentimeter haben, ist das auch die Einheit, die am Ende stehen bleibt.