Kräfteparallelogramm – rechnerische Ermittlung von Betrag und Richtung einer resultierenden Kraft

Hallo und herzlich Willkommen. Wenn sich ein Segelboot im Wasser bewegt, wirken verschiedene Kräfte auf das Boot ein. Aber wie berechnet man dann diejenige Kraft, die das Boot antreibt und die Richtung vorgibt? Genau darum geht es in diesem Video zum Thema rechnerische Ermittlung der resultierenden Kraft. Als erstes wirst du lernen, was man unter Superposition versteht. Anschließend geht es darum, wie man resultierende Kräfte mit der zeichnerischen Methode ermitteln kann. Und danach wirst du lernen, wie man rechnerisch die resultierende Kraft ermittelt. Und zum Schluss werde ich dir noch zeigen, dass man Kräfte auch zerlegen kann. Und damit kann es auch schon losgehen. Als erstes geht es darum, was man unter Superposition versteht. Es kommt vor, dass in einem Körper mehrere Kräfte wirken. Diese Kräfte kann man auch alle einzeichnen. Bei mehreren Kräften verliert man aber schnell den Überblick und kann nicht mehr voraussagen, wie sich der Körper verhalten wird. Da greift die Superposition von Kräften. Sie besagt, dass verschiedene Kräfte, die alle einzeln auf den gleichen Körper wirken, dasselbe bewirken, als würde lediglich ihre Summe auf den Körper wirken. Man addiert also alle einzelnen Kräfte und erhält so die resultierende Kraft F_res. Immer, wenn mehrere Kräfte auf einen Körper wirken, kann man eine resultierende Kraft berechnen. Dafür müssen die Kräfte nicht alle im gleichen Punkt angreifen. Die resultierende Kraft kann dabei zeichnerisch und rechnerisch ermittelt werden. Wir werden uns jetzt als erstes die zeichnerische Methode ansehen. Die einfachste Art eine resultierende Kraft zu ermitteln, ist die zeichnerische Methode. Du wirst das hier am Beispiel des Segelbootes sehen. Die Kräfte greifen im Schwerpunkt S des Segelbootes an. Der Wind kommt mit der Kraft F_w an. Außerdem wirkt noch eine Kraft auF_Grund der Strömung. F_s. Um eine Kraft zu symbolisieren, nutzt man Pfeile. Die Länge des Pfeiles gibt dabei den Betrag der Kraft an. Um zu wissen, welche Länge welcher Kraft entspricht, muss man einen Maßstab einführen. So kann man zum Beispiel festlegen, dass ein Zentimeter 100 Newton entspricht. Die Richtung in der der Pfeil zeigt, ist die gleiche Richtung, in die die Kraft wirkt. Kräfte sind nämlich Vektoren und haben als solche einen Betrag und eine Richtung. In dem Punkt, an dem der Pfeil anfängt, greift die Kraft an. Hat man nun einen Körper, an dem mehrere Kräfte angreifen und will die resultierende Kraft zeichnerisch ermitteln, so setzt man alle wirkenden Kräfte zusammen. Das heißt, dass man durch parallel verschieben die Pfeile so einzeichnet, dass der Angriffspunkt der einen Kraft am Ende des Pfeils der anderen Kraft liegt. So setzt man alle wirkenden Kräfte zusammen. Das nennt man dann Kräfteparallelogramm. Um nun die resultierende Kraft einzuzeichnen, verbindet man den Anfangspunkt der zusammengesetzten Pfeile mit dem Ende. Die resultierende Kraft ist die Summe aller einzelnen Kräfte. Es ist das gleiche, ob F_w und F_s an einem Körper angreifen oder nur die daraus resultierende Kraft F_res. Die zeichnerische Methode ist eine einfache und schnelle Art, die resultierende Kraft zu ermitteln. Allerdings kommt es bei dieser Methode immer zu gewissen Fehlern, da man die Kräfte nicht beliebig genau einzeichnen kann. Kennt man alle nötigen Größen, so ist es genauer, die resultierende Kraft rechnerisch zu ermitteln. Um zu lernen, wie man resultierende Kräfte rechnerisch ermitteln kann, betrachten wir vier unterschiedliche Fälle von Kombinationen von Kräften. Als erstes schauen wir uns den Fall an, dass zwei Kräfte in die gleiche Richtung zeigen. In diesem Fall addiert man die Beträge der Kräfte, um die resultierende Kraft zu berechnen. Die resultierende Kraft zeigt in die gleiche Richtung, wie F₁ und F₂. Es ist dann: F_res = F₁ + F₂. So ein Fall tritt zum Beispiel auf, wenn ein Segelboot Wind von hinten hat und mit der Strömung fährt. Der zweite Fall, den wir betrachten, ist der, dass zwei Kräfte in genau entgegengesetzte Richtung zeigen. Ist das der Fall, so ergibt sich die resultierende Kraft aus der Differenz der Beträge der Einzelbeträge F₁ - F₂. Das ist auch anschaulich klar. Stell dir vor, F₁ wirkt alleine. Kommt jetzt eine weitere Kraft in genau entgegengesetzte Richtung dazu, so nimmt F₁ genau um den Betrag der anderen Kraft ab. So ein Fall tritt zum Beispiel auf, wenn ein Segelboot Wind von hinten hat und gegen die Strömung fährt. Eine weitere Möglichkeit, wie sich Kräfte kombinieren können, ist, dass sie im rechten Winkel zueinander wirken. In diesem Fall ergibt die Summe aus F₁ und F₂ ein rechtwinkliges Dreieck. Nach dem Satz des Pythagoras wissen wir, dass die Hypotenuse c eines rechtwinkligen Dreiecks gleich der Wurzel aus den Quadraten der Katheten a und b ist. Das kann man direkt auf Kräfte übertragen. Die Hypotenuse ist in unserem Fall die resultierende Kraft F_res. Der rechte Winkel wird eingeschlossen zwischen F₁ und F₂. Es gilt also: F_res = Wurzel(F₁² + F₂²). Wie du siehst, schließen F₁ und F_res den Winkel Alpha ein. Alpha kann man dann über den Sinus berechnen. Es gilt: sin(Alpha) = F₂/F_res. Alpha = arcsin(F₂/F_res) Beim Segelboot kommt der Fall, dass zwei Kräfte senkrecht aufeinander stehen dann vor, wenn die Strömung senkrecht zur Windrichtung steht. Der allgemeinste Fall ist, dass zwei Kräfte in beliebigem Winkel Alpha zueinander wirken. Dabei wird der Winkel Alpha zwischen den Vektoren auF_Gespannt. Die resultierende Kraft ergibt sich dann aus Wurzel(F₁² + F₂² + 2F₁F₂cos(Alpha)). Deshalb beschränken wir uns in diesem Fall für die Richtung auf die zeichnerische Lösung. Im Fall des Segelboots würden die Richtung von Wind und Strömung dann so aussehen. So, wie man Kräfte zu einer resultierenden Kraft zusammensetzen kann, kann man eine resultierende Kraft auch in mehrere Einzelkräfte zerlegen. Das kann praktisch sein, um die Wirkung einer Kraft in eine bestimmte Richtung zu bestimmen. Das werden wir uns jetzt an einem Beispiel klar machen. Wir betrachten einen Körper, der sich auf einer schiefen Ebene befindet. Die Ebene hat eine Steigung vom Winkel Alpha. Auf dem Körper wirkt die Gewichtskraft F_G. Will man jetzt wissen, mit welchen Betrag die Kraft in Abwärtsrichtung zeigt, so muss man die Gewichtskraft zerlegen. In welche Richtungen wir sie zerlegen, ist dabei uns überlassen. Wir wählen die Richtungen so, dass die Rechnung möglichst einfach ist. Dazu zerlegen wir F_G in die Hangabtriebskraft F_H und die Normalkraft F_N. F_H wirkt parallel zur geneigten Ebene. F_N steht senkrecht darauf. Durch parallel verschieben der Linien erhalten wir wieder ein Kräfteparallelogramm. F_H und F_N zeigen jetzt jeweils bis zu dem Punkt, an dem sich die gestrichelten Linien schneiden. Die Summe aus F_H und F_N ergibt F_G. Um die Zusammenhänge klarer darstellen zu können, zeichnen wir die Kräfte nochmal außerhalb der Zeichnungen. F_N und F_H stehen senkrecht aufeinander. Die Summe der beiden ergibt F_G. Zwischen F_G und F_N ist der Winkel Alpha aufgespannt. Da es sich hier um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, können wir die einzelnen Kräfte nach den Gesetzen von Sinus und Cosinus berechnen. Die Gewichtskraft ist die Hypotenuse des Dreiecks. F_N ist die Ankathete. F_H die Gegenkathete. Es gilt: sin(Alpha) = Gegenkathete/Hypotenuse. Daraus folgt, dass F_H = F_Gsin(Alpha). Außerdem gilt, cos(Alpha) = Ankathete/Hypotenuse. Daraus folgt wiederum: F_N = F_Gcos(Alpha). Der Fall, dass zwei Kräfte senkrecht aufeinander stehen, ist die wichtigste Anwendung der Zerlegung von Kräften. Ein weiteres Beispiel: Ein Gewicht hängt an Drahtseilen zwischen zwei Wänden. Am Gewicht wirkt die Gewichtskraft F_G senkrecht nach unten. Da die Berechnung der Beträge in diesem Fall sehr kompliziert ist, beschränken wir uns hier auf die zeichnerische Lösung des Problems. Um zu bestimmen, welche Zugkräfte die Seile aushalten müssen, muss man wissen, welche Kraft entlang des Seiles wirkt. Dazu zerlegt man die Gewichtskraft F_G im zwei Einzelkräfte F₁ und F₂. Sie zeigen entlang der Richtung der Seile und stehen nicht senkrecht aufeinander, sondern in einem willkürlichen Winkel. Die Summe aus F₁ und F₂ ergibt F_G. So weiß man, welche Zugkräfte die Seile aushalten müssen um dieses Gewicht zu tragen. So, was hast du eben gelernt? Das Prinzip der Superposition besagt, dass verschiedene Kräfte, die alle einzeln auf den gleichen Körper wirken, dasselbe bewirken, als würde nur eine einzelne resultierende Kraft auf den Körper wirken. Die resultierende Kraft ist die Summe aus allen Einzelkräften. Zeigen zwei Kräfte in die gleiche Richtung, so addiert man die Kräfte einfach, um die resultierende Kraft zu erhalten. Es ist dann F_res = F₁ + F₂. Zeigen zwei Kräfte in entgegengesetzte Richtungen, so ergibt sich die resultierende Kraft aus der Differenz F₁ - F₂. Wirken zwei Kräfte im rechten Winkel zueinander, so gilt: F_res = Wurzel(F₁² + F₂²). Und spannen die beiden Kräfte einen beliebigen Winkel Alpha auf, so gilt: F_res = Wurzel(F₁² + F₂² + 2F₁F₂cos(Alpha)). Man kann auch eine einzelne Kraft in mehrere Einzelkräfte zerlegen. Das kann praktisch sein, um die Wirkung einer Kraft in eine bestimmte Richtung zu bestimmen. Wir haben das an der schiefen Ebene betrachtet. Das war es zum Thema rechnerische Ermittlung der resultierenden kraft. Ich hoffe, du hast etwas gelernt. Tschüss und bis zum nächsten Mal.