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Das 2. Newton'sche Axiom: Das Aktionsprinzip

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Welches Gesetz beschreibt das Aktionsprinzip in der Physik?

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Das 2. Newton'sche Axiom: Das Aktionsprinzip
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Grundlagen zum Thema Das 2. Newton'sche Axiom: Das Aktionsprinzip

Das 2. Newton'sche Gesetz

In unserem Einführungsvideo zu den Newton'schen Gesetzen hast du bereits gelernt, dass diese drei Gesetze die Grundlage der Mechanik bilden. Wir wollen uns im Folgenden genauer mit dem 2. Newton'schen Gesetz bzw. Axiom beschäftigen, das auch als Aktionsprinzip in der Physik bekannt ist.

Aktionsprinzip – Definition

Das Aktionsprinzip können wir folgendermaßen formulieren:

Die Änderung der Bewegung ist proportional zur wirkenden Kraft. Die Änderung der Bewegung erfolgt in die Richtung, in die die Kraft wirkt.

Im Allgemeinen wird der Bewegungszustand eines Körpers durch seinen Impuls pp beschrieben. Der Impuls berechnet sich über das Produkt aus der Masse mm des Körpers und seiner Geschwindigkeit vv:

p=mvp = m \cdot v

Die Änderung der Bewegung entspricht mathematisch einer zeitlichen Ableitung des Impulses pp. Da nach dem Aktionsprinzip die Änderung der Bewegung proportional zur wirkenden Kraft FF ist, können wir damit die folgende Gleichung aufstellen:

F=dpdtF = \frac{\text{d}p}{\text{d}t}

Die Richtung der Kraft beziehungsweise der Änderung der Bewegung können wir berücksichtigen, indem wir die Vektorschreibweise wählen:

F=dpdt\vec{F} = \frac{\text{d}\vec{p}}{\text{d}t}

Wir wissen bereits, dass der Impuls pp das Produkt aus der Masse mm des Körpers und seiner Geschwindigkeit vv ist. Grundsätzlich können sich beide Größen ändern und müssen daher auch abgeleitet werden. Wenn dies der Fall ist, können die Rechnungen sehr kompliziert werden. Ein berühmtes Beispiel ist die Raketengleichung. Die Rakete beschleunigt, indem sie sehr schnell sehr große Mengen an Treibstoff verbrennt. Dadurch ändern sich ihre Geschwindigkeit und ihre Masse – und dadurch ist die Berechnung der Raketengleichung kompliziert.

In vielen anderen Beispielen bleibt die Masse aber konstant oder ändert sich so langsam, dass wir sie als konstant betrachten können. Dann muss die Masse nicht abgeleitet werden und wir können sie in der Gleichung als konstanten Faktor vor die Ableitung ziehen. Die Gleichung sieht dann folgendermaßen aus:

F=dpdtdp=mdvF=mdvdtF = \frac{\text{d}p}{\text{d}t} \underbrace{\Longrightarrow}_{\text{d}p = m \cdot \text{d}v } F = m \cdot \frac{\text{d}v}{\text{d}t}

Der Term dvdt\frac{\text{d}v}{\text{d}t} ist die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit. Diesen Term kennst du schon: Er ergibt gerade die Beschleunigung aa. Damit erhalten wir als Gleichung für das Aktionsprinzip bei konstanter Masse:

F=maF = m \cdot a

Das ist die Grundgleichung der Mechanik. Du kannst an dieser Gleichung auch schon etwas ablesen, was du intuitiv aus dem Alltag kennst: Je größer die Masse eines Körpers ist, desto mehr Kraft wird benötigt, um eine bestimmte Beschleunigung zu erreichen. Wenn du versuchst, unterschiedlich schwere Kugeln in die Luft zu werfen, kannst du diesen Effekt selbst spüren. Du kannst diesen Zusammenhang auch anders formulieren: Bei gleicher Kraft erreichen Körper mit geringerer Masse eine größere Beschleunigung.

Einen Spezialfall erhalten wir, wenn wir die Kraft gleich null setzen, also F=0F=0:

F=0=maa=0F = 0 = m \cdot a \Rightarrow a=0

Wenn keine Kraft wirkt, ändert sich der Bewegungszustand nicht. Das ist gerade das Trägheitsprinzip, also das 1. Newton'sche Gesetz.

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Aktionsprinzip – Beispiel

Wir wollen zum Aktionsprinzip noch zwei Aufgaben rechnen. Wir betrachten die folgende Situation:

Ein Lastwagen mit der Masse m=15 tm = 15~\text{t} erreicht aus dem Stand auf einer geraden Strecke von 2 km2~\text{km} eine Geschwindigkeit von 100 kmh100~\frac{\text{km}}{\text{h}}.

a) Wie groß ist die konstante Kraft, mit der der Motor den Wagen beschleunigt?

Aktionsprinzip Physik, Beispiel

Wir wollen das 2. Newton'sche Gesetz, also die Gleichung F=maF=m\cdot a, anwenden, um die Kraft zu berechnen. Die Masse mm haben wir bereits gegeben. Die Beschleunigung aa müssen wir allerdings noch aus den gegebenen Werten berechnen. Dazu benötigen wir zwei Gleichungen. Zuerst brauchen wir die Formel für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung:

s=12at2s = \frac{1}{2} a \cdot t^{2}

Wir kennen zwar die Strecke ss, allerdings fehlt für diese Formel noch der Wert für die Zeit tt. Diese können wir aber ersetzen, wenn wir den Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit vv und Beschleunigung aa nutzen. Die Formel dazu lautet für den Start aus dem Stand:

v=att=vav = a \cdot t \Rightarrow t = \frac{v}{a}

Diesen Term setzen wir für das tt in die Formel für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung ein. Damit erhalten wir:

s=12av2a2=12v2as = \frac{1}{2} a \cdot \frac{v^{2}}{a^{2}} = \frac{1}{2} \frac{v^{2}}{a}

Im letzten Schritt haben wir ein aa herausgekürzt. Nach dem verbleibenden aa umgestellt ergibt sich:

a=v22sa = \frac{v^{2}}{2s}

Damit können wir die Beschleunigung aa durch Einsetzen der Werte für vv und ss berechnen. Dabei setzen wir vv in Meter pro Sekunde ein (wir müssen also den gegebenen Wert in Kilometer pro Stunde durch den Faktor 3,6 teilen):

a=(27,8 ms)222.000 m=0,19 ms2a = \frac{(27,8~\frac{\text{m}}{\text{s}})^{2}}{2\cdot2.000~\text{m}} = 0,19~\frac{\text{m}}{\text{s}^{2}}

Jetzt können wir die Kraft FF berechnen, indem wir aa und mm in die Gleichung für das Aktionsprinzip einsetzen:

F=15000 kg0,19 ms2=2900 NF = 15\,000~\text{kg} \cdot 0,19~\frac{\text{m}}{\text{s}^{2}} = 2\,900~\text{N}

Der Motor beschleunigt den Lastwagen also mit einer konstanten Kraft von 2,9 Kilonewton.

b) Nach dem Entladen wiegt der Lastwagen nur noch 3 t3~\text{t}. Welche Geschwindigkeit würde er nun auf der 2 km2~\text{km} langen Strecke erreichen?

 2. newtonsches Gesetz Physik, Beispiel

Wir müssen zunächst die Beschleunigung berechnen, die wir mit der Kraft des Motors erreichen. Dazu stellen wir das 2. Newton'sche Gesetz nach aa um und schreiben m2m_2 statt mm:

a2=Fm2a_2 = \frac{F}{m_2}

Einsetzen der Werte ergibt:

a=2,9 kN3000 kg=0,96 ms2a = \frac{2,9~\text{kN}}{3\,000~\text{kg}}= 0,96~\frac{\text{m}}{\text{s}^{2}}

Jetzt nutzen wir die Formel, die wir in Aufgabe a) für die Beschleunigung aufgestellt haben, stellen sie aber nach vv um:

a=v22sv=2asa = \frac{v^{2}}{2s} \Rightarrow v = \sqrt{2as}

Jetzt müssen wir nur noch die Werte für aa und ss einsetzen und erhalten:

a=0,96 ms222000 m=62,1 ms=223,6 kmha = \sqrt{0,96~\frac{\text{m}}{\text{s}^{2}}\cdot 2 \cdot 2\,000~\text{m}} = 62,1~\frac{\text{m}}{\text{s}} = 223,6~\frac{\text{km}}{\text{h}}

Das ist doppelt so schnell wie im Fall des beladenen Lastwagens. Hier können wir den Einfluss der Masse direkt erkennen.

Transkript Das 2. Newton'sche Axiom: Das Aktionsprinzip

Wer ist mehr zu bedauern? Der Schütze oder der Torwart? Wie viel Zeit hat der Torwart eigentlich? Und wovon hängt ab, wie schnell der Ball ist? Eine Antwort darauf erhältst du in diesem Video. Das zweite Newton'sche Axiom: Das Aktionsprinzip. Gähn. Das zweite newtonsche Axiom ist F gleich m mal a, Kraft gleich Masse mal Beschleunigung, kurz: Newtons Frau hieß Emma. Manche Physiklehrer-Jokes sind so schlecht, dass sie einfach nie aussterben. Laaaangweilig. Moment. Ganz so einfach ist das nicht. In vielen alten Büchern findest du eine andere Formulierung des zweiten newtonschen Axioms, des sogenannten Aktionsprinzips: Die Kraft ist die zeitliche Änderung der Bewegungsgröße. Und was bitte ist die Bewegungsgröße? Vielleicht kennst du das, was man früher Bewegungsgröße nannte, unter dem Namen IMPULS. Und falls nicht, hast du vermutlich eine intuitive Vorstellung davon, was Impuls heißt. So etwas wie Schwung. Und auf Physikalisch? Der Impuls p ist das Produkt aus der Masse m eines Körpers und seiner Geschwindigkeit v. Das zweite newtonsche Axiom lautet dann also: Die Kraft ist die zeitliche Änderung des Impulses. Oder: F ist gleich Delta p durch Delta t. Aber was fangen wir jetzt mit Delta p durch Delta t an? Für die zeitliche Änderung eines Produkts gibt es eine Faustregel: Delta p durch Delta t ist gleich Delta m durch Delta t mal v plus m mal Delta v durch Delta t. Gibt es denn physikalische Vorgänge, bei denen sich die Masse ändert? Ja. Bei einer Rakete. Die ausströmende Gasmenge führt zu einer Massenabnahme der Rakete und bewirkt eine Kraft auf die Rakete. Aber meist ist die Massenänderung null. Dann gilt: F gleich m mal Delta v durch Delta t. Sorry Leute, aber das ist ja nun ein alter Hut. Delta v durch Delta t ist ja dasselbe wie die Beschleunigung a! Dann sind wir ja wieder bei Emma! Nicht so schnell. Du wirst den Vorteil dieser Formulierung gleich erkennen. Wir formen die Gleichung mal um, indem wir mit Delta t multiplizieren. F mal Delta t gleich m mal Delta v. Oder: Das Produkt aus Kraft und Dauer ist gleich dem Produkt aus Masse und Geschwindigkeit. Man nennt das Produkt aus Kraft und Dauer KRAFTSTOẞ. Und der ist ein sehr nützliches Tool. Denn während wir mit "F gleich m mal a" immer nur Aussagen über eine Beschleunigung als Folge einer Kraft machen können, können wir mit dem Kraftstoß endlich auch einmal untersuchen, welche Wirkung eine Krafteinwirkung innerhalb eines gewissen Zeitraums hat! Betrachten wir mal den Elfmeter vom Anfang. Der Fuß übertrage beim Schuss für eine Kontaktdauer von "null Komma eins fünf" Sekunden eine Kraft von achtzig Newton auf den Ball, dessen Masse vierhundertdreißig Gramm beträgt. Damit können wir ausrechnen, mit welcher Geschwindigkeit der Ball auf den Torwart zufliegt. Da der Ball vor dem Schuss ruht, entspricht Delta v der Geschwindigkeit des Balls nach dem Schuss. Wir formen nach Delta v um und setzen ein. Die Geschwindigkeit beträgt ungefähr "achtundzwanzig" Meter pro Sekunde, das sind ein bisschen mehr als einhundert Stundenkilometer! Fun Fact: Die Durchschnittsgeschwindigkeit beim Elfmeter beträgt einhundertzwanzig Stundenkilometer, schnelle Elfmeter kommen auf einhundertfünfundvierzig Stundenkilometer. Den bisher schnellsten Schuss der Welt gab 2007 der Brasilianer Ronny ab, mit zweihundert zehn Komma neun Stundenkilometern – allerdings bei einem Freistoß! Wie lange ist der Ball nun zum Torwart unterwegs? Die Strecke beträgt elf Meter, seine Geschwindigkeit kennen wir und sie wird sich auf der kurzen Strecke auch nicht wesentlich ändern. Dann lösen wir die Formel für die Geschwindigkeit nach t auf und setzen ein. Der Ball ist etwa null Komma drei neun Sekunden unterwegs. Großartig überlegen kann der Torwart da nicht. Er muss schon vorher auf die richtige Ecke spekulieren. Das machen wir genauso und fassen zusammen. Das zweite Newton'sche Axiom lautet in seiner allgemeinsten Formulierung: Die Kraft ist die zeitliche Änderung des Impulses. Also: F ist gleich Delta p durch Delta t. Dabei ist der Impuls p definiert als Produkt aus der Masse m und der Geschwindigkeit v eines Körpers. Wir können dies auch schreiben als: Kraft gleich Massenänderung pro Zeit mal Geschwindigkeit plus Masse mal Geschwindigkeitsänderung pro Zeit. Bei einer Rakete ändert sich zum Beispiel tatsächlich die Masse. Meistens ist sie konstant. Dann wird das zweite newtonsche Axiom zu:"Kraft gleich Masse mal Geschwindigkeitsänderung pro Zeit" gleich "Masse mal Beschleunigung". Oft ist der sogenannte Kraftstoß ein nützliches Tool. Na ja, manchmal hilft dem Torwart auch ein lausiger Schütze oder ein Zettel.

1 Kommentar
  1. Supper video

    Von Eleena, vor 4 Monaten

Das 2. Newton'sche Axiom: Das Aktionsprinzip Übung

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