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Das 2. Newton'sche Axiom: Das Aktionsprinzip

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Welches Gesetz beschreibt das Aktionsprinzip in der Physik?

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Das 2. Newton'sche Axiom: Das Aktionsprinzip
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Grundlagen zum Thema Das 2. Newton'sche Axiom: Das Aktionsprinzip

Das 2. Newton'sche Gesetz

In unserem Einführungsvideo zu den Newton'schen Gesetzen hast du bereits gelernt, dass diese drei Gesetze die Grundlage der Mechanik bilden. Wir wollen uns im Folgenden genauer mit dem 2. Newton'schen Gesetz bzw. Axiom beschäftigen, das auch als Aktionsprinzip in der Physik bekannt ist.

Aktionsprinzip – Definition

Das Aktionsprinzip können wir folgendermaßen formulieren:

Die Änderung der Bewegung ist proportional zur wirkenden Kraft. Die Änderung der Bewegung erfolgt in die Richtung, in die die Kraft wirkt.

Im Allgemeinen wird der Bewegungszustand eines Körpers durch seinen Impuls pp beschrieben. Der Impuls berechnet sich über das Produkt aus der Masse mm des Körpers und seiner Geschwindigkeit vv:

p=mvp = m \cdot v

Die Änderung der Bewegung entspricht mathematisch einer zeitlichen Ableitung des Impulses pp. Da nach dem Aktionsprinzip die Änderung der Bewegung proportional zur wirkenden Kraft FF ist, können wir damit die folgende Gleichung aufstellen:

F=dpdtF = \frac{\text{d}p}{\text{d}t}

Die Richtung der Kraft beziehungsweise der Änderung der Bewegung können wir berücksichtigen, indem wir die Vektorschreibweise wählen:

F=dpdt\vec{F} = \frac{\text{d}\vec{p}}{\text{d}t}

Wir wissen bereits, dass der Impuls pp das Produkt aus der Masse mm des Körpers und seiner Geschwindigkeit vv ist. Grundsätzlich können sich beide Größen ändern und müssen daher auch abgeleitet werden. Wenn dies der Fall ist, können die Rechnungen sehr kompliziert werden. Ein berühmtes Beispiel ist die Raketengleichung. Die Rakete beschleunigt, indem sie sehr schnell sehr große Mengen an Treibstoff verbrennt. Dadurch ändern sich ihre Geschwindigkeit und ihre Masse – und dadurch ist die Berechnung der Raketengleichung kompliziert.

In vielen anderen Beispielen bleibt die Masse aber konstant oder ändert sich so langsam, dass wir sie als konstant betrachten können. Dann muss die Masse nicht abgeleitet werden und wir können sie in der Gleichung als konstanten Faktor vor die Ableitung ziehen. Die Gleichung sieht dann folgendermaßen aus:

F=dpdtdp=mdvF=mdvdtF = \frac{\text{d}p}{\text{d}t} \underbrace{\Longrightarrow}_{\text{d}p = m \cdot \text{d}v } F = m \cdot \frac{\text{d}v}{\text{d}t}

Der Term dvdt\frac{\text{d}v}{\text{d}t} ist die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit. Diesen Term kennst du schon: Er ergibt gerade die Beschleunigung aa. Damit erhalten wir als Gleichung für das Aktionsprinzip bei konstanter Masse:

F=maF = m \cdot a

Das ist die Grundgleichung der Mechanik. Du kannst an dieser Gleichung auch schon etwas ablesen, was du intuitiv aus dem Alltag kennst: Je größer die Masse eines Körpers ist, desto mehr Kraft wird benötigt, um eine bestimmte Beschleunigung zu erreichen. Wenn du versuchst, unterschiedlich schwere Kugeln in die Luft zu werfen, kannst du diesen Effekt selbst spüren. Du kannst diesen Zusammenhang auch anders formulieren: Bei gleicher Kraft erreichen Körper mit geringerer Masse eine größere Beschleunigung.

Einen Spezialfall erhalten wir, wenn wir die Kraft gleich null setzen, also F=0F=0:

F=0=maa=0F = 0 = m \cdot a \Rightarrow a=0

Wenn keine Kraft wirkt, ändert sich der Bewegungszustand nicht. Das ist gerade das Trägheitsprinzip, also das 1. Newton'sche Gesetz.

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Aktionsprinzip – Beispiel

Wir wollen zum Aktionsprinzip noch zwei Aufgaben rechnen. Wir betrachten die folgende Situation:

Ein Lastwagen mit der Masse m=15 tm = 15~\text{t} erreicht aus dem Stand auf einer geraden Strecke von 2 km2~\text{km} eine Geschwindigkeit von 100 kmh100~\frac{\text{km}}{\text{h}}.

a) Wie groß ist die konstante Kraft, mit der der Motor den Wagen beschleunigt?

Aktionsprinzip Physik, Beispiel

Wir wollen das 2. Newton'sche Gesetz, also die Gleichung F=maF=m\cdot a, anwenden, um die Kraft zu berechnen. Die Masse mm haben wir bereits gegeben. Die Beschleunigung aa müssen wir allerdings noch aus den gegebenen Werten berechnen. Dazu benötigen wir zwei Gleichungen. Zuerst brauchen wir die Formel für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung:

s=12at2s = \frac{1}{2} a \cdot t^{2}

Wir kennen zwar die Strecke ss, allerdings fehlt für diese Formel noch der Wert für die Zeit tt. Diese können wir aber ersetzen, wenn wir den Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit vv und Beschleunigung aa nutzen. Die Formel dazu lautet für den Start aus dem Stand:

v=att=vav = a \cdot t \Rightarrow t = \frac{v}{a}

Diesen Term setzen wir für das tt in die Formel für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung ein. Damit erhalten wir:

s=12av2a2=12v2as = \frac{1}{2} a \cdot \frac{v^{2}}{a^{2}} = \frac{1}{2} \frac{v^{2}}{a}

Im letzten Schritt haben wir ein aa herausgekürzt. Nach dem verbleibenden aa umgestellt ergibt sich:

a=v22sa = \frac{v^{2}}{2s}

Damit können wir die Beschleunigung aa durch Einsetzen der Werte für vv und ss berechnen. Dabei setzen wir vv in Meter pro Sekunde ein (wir müssen also den gegebenen Wert in Kilometer pro Stunde durch den Faktor 3,6 teilen):

a=(27,8 ms)222.000 m=0,19 ms2a = \frac{(27,8~\frac{\text{m}}{\text{s}})^{2}}{2\cdot2.000~\text{m}} = 0,19~\frac{\text{m}}{\text{s}^{2}}

Jetzt können wir die Kraft FF berechnen, indem wir aa und mm in die Gleichung für das Aktionsprinzip einsetzen:

F=15000 kg0,19 ms2=2900 NF = 15\,000~\text{kg} \cdot 0,19~\frac{\text{m}}{\text{s}^{2}} = 2\,900~\text{N}

Der Motor beschleunigt den Lastwagen also mit einer konstanten Kraft von 2,9 Kilonewton.

b) Nach dem Entladen wiegt der Lastwagen nur noch 3 t3~\text{t}. Welche Geschwindigkeit würde er nun auf der 2 km2~\text{km} langen Strecke erreichen?

 2. newtonsches Gesetz Physik, Beispiel

Wir müssen zunächst die Beschleunigung berechnen, die wir mit der Kraft des Motors erreichen. Dazu stellen wir das 2. Newton'sche Gesetz nach aa um und schreiben m2m_2 statt mm:

a2=Fm2a_2 = \frac{F}{m_2}

Einsetzen der Werte ergibt:

a=2,9 kN3000 kg=0,96 ms2a = \frac{2,9~\text{kN}}{3\,000~\text{kg}}= 0,96~\frac{\text{m}}{\text{s}^{2}}

Jetzt nutzen wir die Formel, die wir in Aufgabe a) für die Beschleunigung aufgestellt haben, stellen sie aber nach vv um:

a=v22sv=2asa = \frac{v^{2}}{2s} \Rightarrow v = \sqrt{2as}

Jetzt müssen wir nur noch die Werte für aa und ss einsetzen und erhalten:

a=0,96 ms222000 m=62,1 ms=223,6 kmha = \sqrt{0,96~\frac{\text{m}}{\text{s}^{2}}\cdot 2 \cdot 2\,000~\text{m}} = 62,1~\frac{\text{m}}{\text{s}} = 223,6~\frac{\text{km}}{\text{h}}

Das ist doppelt so schnell wie im Fall des beladenen Lastwagens. Hier können wir den Einfluss der Masse direkt erkennen.

1 Kommentar
  1. Supper video

    Von Eleena, vor etwa einem Monat

Das 2. Newton'sche Axiom: Das Aktionsprinzip Übung

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