Brechungsgesetz

Brechungsgesetz Übung

• Erkläre die Lichtbrechung.

  Tipps

  Lichtbrechung beschreibt ein Phänomen, bei dem Licht seine Richtung ändert.

  Ein Lichtstrahl wird gebrochen, wenn er von einem optisch dünneren in ein optisch dichteres Medium eintritt.

  Die Brechung wird unter anderem durch den Einfallswinkel des Lichts bestimmt.

  Lösung

  Der Begriff Lichtbrechung verweist auf das faszinierende Phänomen, bei dem Licht seine Richtung ändert, sobald es von einem optisch dünneren Medium in ein optisch dichteres Medium eintritt oder umgekehrt.

  Die Brechung eines Lichtstrahls wird durch die Eigenschaften der beteiligten Medien sowie den Einfallswinkel des Lichts bestimmt. In Situationen, in denen mehrere Grenzflächen zwischen unterschiedlichen Medien existieren, kann das Licht sogar mehrfach gebrochen werden, was zu weiteren interessanten optischen Effekten führt.

• Beschreibe die Lichtbrechung mithilfe der Abbildung.

  Tipps

  Der Einfallswinkel ist der Winkel, unter dem der Lichtstrahl auf die Grenzfläche trifft.

  Der Brechungswinkel ist der Winkel zwischen dem gebrochenen Strahl und dem Lot. Er ist kleiner als der Einfallswinkel.

  Das Licht wird zunächst beim Übergang von einem optisch dünneren Medium in ein optisch dichteres Medium gebrochen.

  Lösung

  Lichtbrechung ist ein optisches Phänomen, das auftritt, wenn Licht von einem Medium in ein anderes mit einer unterschiedlichen optischen Dichte übergeht. Die optische Dichte eines Mediums ist umso größer, je langsamer sich das Licht in ihm bewegt. Wenn Licht auf eine Grenzfläche zwischen einem optisch dichteren und einem optisch dünneren Medium trifft, dann ändert es seine Ausbreitungsrichtung.

  Der Einfallswinkel, also der Winkel, unter dem der Lichtstrahl auf die Grenzfläche trifft, spielt eine entscheidende Rolle. Beim Übergang von einem optisch dünneren Medium zu einem optisch dichteren Medium wird das Licht zum Lot hin gebrochen. Das bedeutet, dass der Brechungswinkel, der Winkel zwischen dem gebrochenen Strahl und dem Lot, kleiner ist als der Einfallswinkel. Andersherum: Wenn Licht von einem optisch dichteren zu einem optisch dünneren Medium übergeht, dann wird es vom Lot weg gebrochen und der Brechungswinkel ist größer als der Einfallswinkel.

  Diese Veränderung der Richtung des Lichts beim Übergang zwischen Medien mit unterschiedlichen optischen Dichten wird durch die unterschiedlichen Geschwindigkeiten erklärt, mit denen Licht im jeweiligen Medium reist: Tritt Licht in ein optisch dichteres Medium ein, bewegt es sich langsamer, was zu einer Änderung seiner Richtung führt.

  Es ist wichtig zu betonen, dass Licht mehrfach gebrochen werden kann, wenn es durch mehrere Medien mit unterschiedlichen optischen Dichten hindurchtritt. In solchen Fällen wird der Lichtstrahl an jeder Grenzfläche gebrochen, wobei der Brechungswinkel sich an jeder Stelle ändert. Dieses Mehrfachbrechungsphänomen kann zu komplexen optischen Effekten führen, beispielsweise in einem Prisma, das Licht in seine verschiedenen Farben zerlegt, oder in einem Diamanten, der aufgrund seiner hohen Brechungsindizes ein beeindruckendes Funkeln erzeugt.

• Leite das Brechungsgesetz aus dem Experiment her.

  Tipps

  Betrachten wir das Dreieck, das zwischen dem Lichtstrahl, der Länge $a_1$ und dem Lot gebildet wird. Dieses rechtwinklige Dreieck hat eine Hypotenuse, die dem Radius $r$ der Scheibe entspricht. In dem Dreieck gilt dann:

  $\sin\alpha=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \dfrac{a_1}{r}$

  Für das Dreieck zwischen dem Lichtstrahl, der Länge $a_2$ und dem Lot haben wir diese Beziehung:

  $\sin\beta = \dfrac{a_2}{r}$

  Durch Teilen der beiden Gleichungen, um das Verhältnis zwischen $a_1$ und $a_2$ zu finden, erhalten wir:

  $\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\dfrac{\left(\frac{a_1}{r}\right)}{\left(\frac{a_2}{r}\right)}$

  Der Radius $r$ kürzt sich heraus:

  $\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\dfrac{a_1}{a_2}$

  Lösung

  Betrachten wir das Dreieck, das zwischen dem Lichtstrahl, der Länge $a_1$ und dem Lot gebildet wird. Dieses rechtwinklige Dreieck hat eine Hypotenuse, die dem Radius $r$ der Scheibe entspricht. Das ist die Definition des Sinus:

  $\sin\alpha=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

  Mit ihr können wir den Sinus mithilfe der Seiten des Dreiecks angeben:

  $\sin\alpha = \dfrac{a_1}{r}$

  Analog dazu können wir das Gleiche für das Dreieck zwischen dem Lichtstrahl, der Länge $a_2$ und dem Lot angeben:

  $\sin\beta = \dfrac{a_2}{r}$

  
  

  Durch Teilen der beiden Gleichungen, um das Verhältnis zwischen $a_1$ und $a_2$ zu finden, erhalten wir:

  $\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\dfrac{\frac{a_1}{r}}{\frac{a_2}{r}}$

  Der Radius $r$ kürzt sich heraus und wir erhalten einen Zusammenhang zwischen dem Einfallswinkel $\alpha$, dem Brechungswinkel $\beta$ und dem Brechungsindex $n$ für das Material im Vergleich zur Luft:

  $\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{n}{1}$

  $\Rightarrow \dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}=n$

  $\Rightarrow \sin\alpha=n\cdot\sin\beta$

  Diese Gleichung ist als das Brechungsgesetz bekannt. Es wurde bereits im Mittelalter vom persischen Gelehrten Ibn Sahl entdeckt und wurde in Europa als das Snelliussche Brechungsgesetz durch Willebrord van Roijen Snell bekannt gemacht. Wenn wir einen beliebigen Einfallswinkel $\alpha$ haben und den Brechungsindex $n$ des Materials kennen, dann können wir den Brechungswinkel $\beta$ berechnen.

• Berechne den Brechungswinkel des Lichtstrahls im Wasser.

  Tipps

  Folgende Größen sind in der Aufgabe gegeben:

  • Einfallswinkel $\alpha = 30^\circ$
  • Brechungsindex $n = 1{,}33$

  Das Brechungsgesetz lautet:

  $\sin\alpha = n \cdot \sin\beta$

  Um den Brechungswinkel $\beta$ zu berechnen, stellen wir die Formel nach $\beta$ um:

  $\sin\alpha = n \cdot \sin\beta~~~~~~~~~~~|:n$

  $\Rightarrow \dfrac{\sin\alpha}{n}=\sin\beta$

  Nun setzen wir die gegebenen Werte ein und berechnen. Beachte, dass dein Taschenrechner auf den richtigen Winkelmodus eingestellt sein muss: DEG für „degree“ und nicht RAD für „radian“.

  Um den Brechungswinkel $\beta$ zu finden, nehmen wir den Arkussinus ($\arcsin$), welcher auf dem Taschenrechner auch als $\sin^{-1}$ gekennzeichnet wird.

  Lösung

  Folgendes haben wir in der Aufgabe gegeben:

  • Einfallswinkel $\alpha = 30^\circ$
  • Brechungsindex $n = 1{,}33$

  Folgendes ist gesucht:

  • Brechungswinkel $\beta$ im Wasser

  
  

  Das Brechungsgesetz lautet:

  $\sin\alpha = n \cdot \sin\beta$

  Um den Brechungswinkel $\beta$ zu berechnen, stellen wir die Formel nach $\beta$ um:

  $\sin\alpha = n \cdot \sin\beta~~~~~~~~~~~|:n$

  $\Rightarrow \dfrac{\sin\alpha}{n}=\sin\beta$

  Nun setzen wir die gegebenen Werte ein:

  $\dfrac{\sin(30^\circ)}{1{,}33}=\sin\beta$

  Rechnet man den Sinus von $30^\circ$ aus, dann ergibt das $\sin(30^\circ)=0{,}5$. Das setzen wir in unsere Gleichung ein:

  $\dfrac{0{,}5}{1{,}33}=\sin\beta$

  $\Leftrightarrow 0{,}376=\sin\beta$

  Um den Brechungswinkel $\beta$ zu finden, nehmen wir den Akussinus ($\arcsin$) von $0{,}376$. Der Arkussinus wird auf dem Taschenrechner auch als $\sin^{-1}$ gekennzeichnet. Damit ergibt sich:

  $\Rightarrow \beta=\sin^{-1}(0{,}376)\approx21{,}76^\circ$

• Benenne die Formel des Brechungsgesetzes.

  Tipps

  Das Brechungsgesetz kann auch beschrieben werden durch:

  $\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}=n$

  Das Brechungsgesetz beschreibt die Beziehung zwischen dem Einfallswinkel $\alpha$ und dem Brechungswinkel $\beta$ eines Lichtstrahls.

  Der Brechungsindex $n$ eines Mediums ist ein Maß dafür, wie stark das Licht in diesem Medium verlangsamt wird im Vergleich zur Vakuumgeschwindigkeit.

  Lösung

  Das Brechungsgesetz, oft auch als Snelliussches Brechungsgesetz bezeichnet, beschreibt die Beziehung zwischen dem Einfallswinkel $\alpha$ und dem Brechungswinkel $\beta$ eines Lichtstrahls, wenn er von einem Medium in ein anderes mit unterschiedlicher optischer Dichte übergeht. Die Beziehung wird durch diese Formel dargestellt:

  $\sin\alpha = n \cdot \sin\beta \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{\sin\alpha}{n} = \sin\beta$

  Dabei ist $n$ der Brechungsindex des zweiten Mediums im Verhältnis zum ersten.

  Der Brechungsindex $n$ eines Mediums ist ein Maß dafür, wie viel langsamer sich das Licht in diesem Medium im Vergleich zur Vakuumlichtgeschwindigkeit ausbreitet: Je größer der Brechungsindex eines Mediums ist, desto langsamer breitet sich Licht darin aus. Das Verhältnis der beiden Brechungsindizes, $n_1$ für das erste Medium und $n_2$ für das zweite Medium, gibt an, wie schnell das Licht sich in Bezug auf die Vakuumgeschwindigkeit in dem jeweiligen Medium bewegt.

  Die Herleitung des Brechungsgesetzes kann auf Basis der Wellentheorie des Lichts und der Snellschen Beobachtung erfolgen: Snellius beobachtete experimentell, dass der Sinus des Einfallswinkels und der Sinus des Brechungswinkels eine konstante Beziehung zueinander haben, wenn Licht von einem Medium in ein anderes eintritt. Diese Beziehung lässt sich mathematisch herleiten, indem man die Phasengeschwindigkeit des Lichts in beiden Medien in Verbindung mit der Frequenz der Welle und der Wellenlänge betrachtet.

  Die Formel $\sin\alpha = n \cdot \sin\beta$ stellt daher eine präzise mathematische Darstellung des Verhaltens von Licht beim Übergang zwischen Medien dar. Sie unterstreicht die grundlegende Idee, dass Licht seine Richtung ändert, wenn es von einem Medium in ein anderes mit unterschiedlicher optischer Dichte übergeht, wobei der Brechungsindex die Stärke dieser Richtungsänderung bestimmt.

• Berechne den Brechungswinkel vor und nach dem Regenschauer.

  Tipps

  Folgende Größen sind in der Aufgabe gegeben:

  • Einfallswinkel $\alpha = 50^\circ$
  • Brechungsindex des Glases $n_{\text{Glas}} \approx 1{,}5$
  • Brechungsindex von Wasser $n_{\text{Wasser}} \approx 1{,}33$

  Wir wenden das Brechungsgesetz an:

  $\sin\alpha = n \cdot \sin\beta$

  Um den Brechungswinkel $\beta$ zu berechnen, stellen wir die Formel nach $\beta$ um:

  $\sin\alpha = n \cdot \sin\beta~~~~~~~~~~~|:n$

  $\Rightarrow \dfrac{\sin\alpha}{n}=\sin\beta$

  Jetzt, nachdem sich eine Wasserschicht auf der Oberfläche der Glasscheibe befindet, ändert sich der Brechungsindex: Der Brechungsindex von Wasser ist $n_{\text{Wasser}} \approx 1,33$.

  Beim zweiten Teil der Aufgabe wird tatsächlich nicht der Einfallswinkel von $50^\circ$ verwendet, sondern der bereits berechnete Brechungswinkel im Glas von etwa $30{,}66^\circ$.

  Außerdem wird das Snelliussche Brechungsgesetz in seiner vollständigen Form benötigt:

  $\sin\beta \cdot n_{2}= \sin\alpha \cdot n_{1}$

  Dabei ist dann:

  • $n_{1}=1{,}50$
  • $n_{2}=1{,}33$
  • $\alpha = 30{,}66^\circ$

  Lösung

  Folgendes haben wir in der Aufgabe gegeben:

  • Einfallswinkel $\alpha = 50^\circ$
  • Brechungsindex des Glases $n_{\text{Glas}} \approx 1{,}5$
  • Brechungsindex von Wasser $n_{\text{Wasser}} \approx 1{,}33$

  
  

  Brechungswinkel vor dem Regenschauer:

  Der Einfallswinkel des Lichtstrahls in Luft ist $\alpha = 50^\circ$ und der Brechungsindex des Glases ist $n_{\text{Glas}} = 1{,}5$.

  Wir verwenden das Brechungsgesetz:

  $\sin\alpha = n \cdot \sin\beta$

  Um den Brechungswinkel $\beta$ zu berechnen, stellen wir die Formel nach $\beta$ um:

  $\sin\alpha = n \cdot \sin\beta~~~~~~~~~~~|:n$

  $\Rightarrow \dfrac{\sin\alpha}{n}=\sin\beta$

  Nun setzen wir die gegebenen Werte ein:

  $\dfrac{\sin50^\circ}{1{,}5}=\sin\beta$

  Nachdem wir $\sin(50^\circ)=0{,}77$ mit dem Taschenrechner berechnet haben, setzen wir dies in unsere Gleichung ein:

  $\dfrac{0{,}77}{1{,}5}=\sin\beta$

  $\Rightarrow 0{,}51=\sin\beta$

  Um den Brechungswinkel $\beta$ zu finden, nehmen wir den Arkussinus (auch als $sin^{-1}$ bezeichnet) von $0{,}51$:

  $\beta=\sin^{-1}(0{,}51)\approx30{,}66^\circ$

  Der Brechungswinkel vor dem Regenschauer beträgt also $30{,}66^\circ$.

  
  

  Brechungswinkel nach dem Regenschauer:

  Jetzt, nachdem sich eine Wasserschicht auf der Oberfläche der Glasscheibe befindet, ändert sich der Brechungsindex: Der Brechungsindex von Wasser ist $n_{\text{Wasser}} \approx 1,33$.

  Beim Übergang vom Glas ins Wasser müssen wir das Snelliussche Gesetz in vollständiger Form berücksichtigen, da wir zwei von einem verschiedene Brechungsindizes haben. Es gilt:

  $\sin\beta \cdot n_{2} = \sin\alpha \cdot n_{1}$

  Dabei ist dann gemäß unseren Voraussetzungen:

  • $n_{1}=n_\text{Glas}=1,5$
  • $n_{2}=n_\text{Wasser}=1,33$
  • $\alpha = 30{,}66^\circ$

  Beim zweiten Teil der Aufgabe wird tatsächlich nicht der Einfallswinkel von $50^\circ$ verwendet, sondern der bereits berechnete Brechungswinkel im Glas von etwa $30{,}66^\circ$. Das hat einen grundlegenden physikalischen Hintergrund:

  Wenn der Lichtstrahl von Luft in das Glas eintritt und sich dabei bricht, dann ändert sich seine Richtung, was durch den Einfallswinkel und den Brechungswinkel im Glas beschrieben wird. Tritt jedoch eine weitere Brechung auf, wie es der Fall ist, wenn der Lichtstrahl von Glas in Wasser übergeht, dann ist es wichtig, den Winkel im Glas (den Brechungswinkel) als Ausgangspunkt für die Berechnung zu verwenden, da das Licht bereits im Glas gebrochen wurde und die Grenzfläche zwischen Glas und Wasser eine neue Situation darstellt.

  Der Winkel, unter dem das Licht aus dem Glas in das Wasser eintritt, wird durch den Brechungswinkel im Glas und die Brechungsindizes von Glas und Wasser bestimmt. Das Brechungsgesetz muss also auf den bereits gebrochenen Lichtstrahl im Glas angewendet werden, um den weiteren Winkel in Bezug auf das Lot im Wasser zu berechnen.

  Wir formen jetzt die obige Gleichung nach $\sin\beta$ um:

  $\sin\beta = \dfrac{n_{1}}{n_{2}} \cdot \sin\alpha$

  Wir setzen schrittweise ein:

  $\dfrac{n_{1}}{n_{2}}=\dfrac{1{,}5}{1{,}33} = 1{,}13$

  Dann berechnen wir den $\sin(30{,}66^\circ)=0{,}51$.

  Insgesamt setzen wir alles ein:

  $\sin\beta = 1{,}13 \cdot 0{,}51 = 0{,}58$

  Um den Brechungswinkel $\beta$ zu finden, nehmen wir den Arkussinus ($\arcsin$, auf dem Taschenrechner auch als $\sin^{-1}$ bezeichnet) von $0{,}58$:

  $\beta=\sin^{-1}(0{,}58)\approx 35{,}45^\circ$

  Der Brechungswinkel nach dem Regenschauer beträgt also $35{,}45^\circ$.

  
  

  Hinweis: Hast du die Rechnungen in jeweils einem Schritt durchgeführt, also in deinen Taschenrechner $\arcsin(\sin(50^\circ){:}1{,}5))$ eingegeben, erhältst du $30{,}71^\circ$ für den Brechungswinkel vor dem Regen und bei entsprechender Eingabe $35{,}17^\circ$ für den Brechungswinkel nach dem Regen.