Reaktion nullter und erster Ordnung

Reaktionskinetik und Reaktionsordnung – eine Einführung

In der Chemie spielen Reaktionen eine zentrale Rolle bei der Umwandlung von Ausgangsstoffen (auch Reaktanten oder Edukte genannt) in Produkte. Die Reaktionskinetik beschäftigt sich mit der Untersuchung der Geschwindigkeit, mit der chemische Reaktionen ablaufen, sowie den Faktoren, die diese Geschwindigkeit beeinflussen.

Die Reaktionsgeschwindigkeit

Die Reaktionsgeschwindigkeit $v$ ist ein Maß dafür, wie schnell eine chemische Reaktion ($\ce{A -> B}$) abläuft. Sie beschreibt die Änderung der Konzentration $\Delta c$ eines Edukts $(A)$ oder Produkts $(B)$ pro Zeiteinheit $\Delta t$:

$v = - \frac{\Delta c(A)}{\Delta t} = \frac{\Delta c(B)}{\Delta t}$

Da die Geschwindigkeit veränderlich ist, ist es exakter, die Intervalle durch Differenziale zu ersetzen. Die Reaktionsgeschwindigkeit ist also mit einer Ableitung der Konzentration nach der Zeit gleichzusetzen${^1}$:

$v = -\frac{\ dc(A)}{\ dt} = \frac{\ dc(B)}{\ dt}$

Reaktionen nullter Ordnung

Dies bedeutet, dass die Geschwindigkeit der Reaktion konstant bleibt, bis kein Edukt mehr zur Verfügung steht. Die Differenzialgleichung für eine Reaktion nullter Ordnung lautet:

$v = -\frac{\ dc(A)}{\ dt} = k$

Hier ist $k$ die Geschwindigkeitskonstante, die die Rate der Reaktion angibt. Die Konzentration des Edukts nimmt linear mit der Zeit ab, unabhängig von seiner Anfangskonzentration $c_{0}$. Die Konzentration des Edukts $A$ nimmt linear mit der Zeit ab und ist gegeben durch${^1}$:

$c(A) = -k \cdot t + c_{0}$

Der Konzentrationsverlauf in Abhängigkeit von der Zeit einer Reaktion nullter Ordnung ist in der folgenden Abbildung veranschaulicht (links). Auf der rechten Seite sieht man, dass die Reaktionskonstante unabhängig von der Konzentration des Edukts ist.

Die Halbwertszeit $t_{1/2}$, also die Zeit, die es benötigt, bis die Hälfte des Edukts abreagiert ist, kann einfach berechnet werden, indem für $c(A)$ die Hälfte der Anfangskonzentration $c_0$ eingesetzt wird:

$0{,}5 \cdot c_0 = -k \cdot t_{1/2} + c_0$

Durch Umstellen der Gleichung erhält man:

$t_{1/2} = \frac{c_0}{2k}$

Diese Reaktionsordnung kann auf molekularer Ebene wie folgt verstanden werden: Die Reaktionsgeschwindigkeit hängt nicht von der Konzentration der Moleküle ab, da die Reaktion durch einen einzelnen Prozess bestimmt wird, der unabhängig von der Anzahl der kollidierenden Moleküle erfolgt. Dies könnte beispielsweise bedeuten, dass sich ein Molekül nach Anlagerung an einer Oberfläche zersetzt. Die Reaktionsgeschwindigkeit ist also unabhängig von der Menge an Molekülen und hängt von der Größe der Oberfläche ab.

Reaktion erster Ordnung

Mit anderen Worten: Je höher die Konzentration des Edukts ist, desto schneller verläuft die Reaktion. Dies kann durch die folgende Differenzialgleichung dargestellt werden:

$v = -\frac{d[c(A)]}{dt} = k \cdot [c(A)]$

Durch das Umstellen erhält man:

$\frac{\ dc(A)}{\ c(A)} = k \cdot dt$

Aus Mathe wissen wir: Integriert man $\frac{1}{x}$, erhält man $ln(x)$.

Daher integrieren wir beide Seiten der Gleichung: $\displaystyle \int\limits_{c0}^{c(A)} 1/c(A) ~\text{d}c(A)$

$= \displaystyle \int\limits_{t0}^{t} -k ~\text{d}t $

und erhalten nach Integration:

$ln(c(A)) = -k \cdot t + ln(c0) $

Dies können wir wieder umstellen:

$ln(c(A)) / ln(c0) = -k \cdot t $

Durch Einsetzen der e-Funktion ($\exp(x)$) auf beiden Seiten der Gleichung können wir den ln(x) eliminieren, da $ln(exp(x)) = x$:

$ln(exp(c(A))) / ln(exp(c0)) = exp(-k \cdot t) $

$c(A) / c0 = exp(-k \cdot t) $

$c(A) = c0 \cdot exp(-k \cdot t) $

Der Konzentrationsverlauf im Zeitverlauf einer Reaktion erster Ordnung, abgeleitet als Exponentialfunktion, ist in der linken Abbildung dargestellt. Auf der rechten Seite sieht man die Abhängigkeit der Reaktionskonstante von der Konzentration des Edukts.

Nun können wir die Halbwertszeit berechnen. Hierfür können wir, bevor wir die e-Funktion einsetzen, den Teil

$ln(exp(c(A))) / ln(exp(c0))$

mit

$ln(exp(0{,}5)$

ersetzen, da die Halbwertszeit $t_{1/2}$ die Zeit ist, ab der nur noch die Hälfte der Anfangskonzentration vorhanden ist.${^1}$

$ln(0{,}5) = -k \cdot t_{1/2} $

$ t_{1/2} = -1/k \cdot ln(0{,}5) $

$ t_{1/2} = 1/k \cdot ln(2) = 0,693/k $

Bei einer Reaktion erster Ordnung ist die Reaktionsgeschwindigkeit direkt proportional zur Konzentration der reagierenden Moleküle. Auf molekularer Ebene deutet dies zum Beispiel darauf hin, dass ein Molekül mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit zerfällt. Wenn mehr Moleküle vorhanden sind, gibt es eine höhere Wahrscheinlichkeit für einen Zerfall und mehrere Moleküle zerfallen gleichzeitig. Ein Beispiel hierfür ist der radioaktive Zerfall von Molekülen.

Zusammenfassung

Die Reaktionskinetik ist ein zentrales Gebiet der Chemie, das sich mit der Geschwindigkeit chemischer Reaktionen und den Faktoren, die diese beeinflussen, befasst. Reaktionen nullter Ordnung zeigen eine konstante Geschwindigkeit, unabhängig von der Konzentration der Ausgangsstoffe, während Reaktionen erster Ordnung proportional zur Konzentration der Edukte verlaufen. Diese Unterschiede lassen sich durch Differenzialgleichungen und die Halbwertszeit veranschaulichen. Auf molekularer Ebene geben sie Einblicke in die Mechanismen, die Reaktionen steuern, sei es durch einzelne unabhängige Prozesse oder Wahrscheinlichkeiten des Zerfalls.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Reaktion nullter und erster Ordnung