Waagerechter Wurf (Übungsvideo)

Waagerechter Wurf (Übungsvideo) Übung

• Beschreibe die relevanten Formeln beim waagerechten Wurf.

  Tipps

  Beim waagerechten Wurf überlagern sich zwei Bewegungen. Welche sind das?

  Welche Eigenschaften weist die Bewegung in x-Richtung auf, welche die in y-Richtung?

  Wie kann man beide Bewegungen in einer Formel zusammenfassen, die einen Zusammenhang zwischen momentaner x- und y-Koordinate herstellt?

  Lösung

  Beim waagerechten Wurf überlagern sich nach dem Superpositionsprinzip zwei Bewegungen:

  Ein Körper bewegt sich geradlinig gleichförmig parallel zum Erdboden mit einer festgelegten Anfangsgeschwindigkeit $v_0$. Diese Geschwindigkeitskomponente in x-Richtung bleibt konstant, wenn man die Reibung vernachlässigt.

  Auf diesen Körper wirkt außerdem eine Kraft, die Gewichtskraft. Diese beschleunigt ihn gleichmäßig in y-Richtung.

  Beide Bewegungen spielen sich gleichzeitig und ohne Störung ab und überlagern sich zu einer Wurfparabel, wie an der Formel für die Gesamtbewegung erkennbar ist.

• Gib an, wie weit vom Sprungturm entfernt der Schwimmer in das Wasser taucht.

  Tipps

  Ergänze die gegebenen Größen aus der Textaufgabe.

  Setze die gegebenen Größen in die Formel ein und berechne das Ergebnis.

  Lösung

  Nebenstehend ist der fehlende Rechenschritt für die vollständige Lösung gezeigt.

  Da die Zeit gegeben ist, ist die Rechnung in diesem Fall sehr überschaubar.

  Fehlt die Angabe der Zeit, so muss diese erst aus der zweiten Formel für den waagerechten Wurf $s_y=-\frac g2 \cdot t^2$ bestimmt werden. Dafür muss dann aber die Fallhöhe $s_y$ bekannt sein.

• Berechne, ob Lukas seine große Schwester mit dem Wasserstrahl trifft.

  Tipps

  Füge die Bezeichnungen und die gegebenen Größen in die Zeichnung ein.

  Achte darauf, dass du die beiden Strecken nicht verwechselst.

  Berechne nun die fehlende Größe $s_x$ analog zum Beispiel mit dem Sprungturm.

  Verwende dafür die zwei Formeln für den waagerechten Wurf und ersetze die Zeit $t$ durch Umformen und Einsetzen der Formel für $s_y$ in die Formel für $s_x$.

  Als Zwischenergebnis erhältst du gegebenenfalls für die Zeit $t=0,452~s$.

  Lösung

  Gegeben:

  $v_0=20\frac ms$ (Anfangsgeschwindigkeit des Wasserstrahls beim Austreten aus der Pistolenöffnung)

  $s_y=-1~m$ (Fallhöhe, zurückgelegte Strecke in Richtung Boden (y-Richtung) bis zum Auftreffen auf dem Rasen)

  $g=9,81\frac {m} {s^2}$ (Erdbeschleunigung, Konstante)

  Gesucht:

  $s_x$ (Reichweite der Wasserpistole, zurückgelegter Weg parallel zum Boden (in x-Richtung))

  Lösung:

  Der Wasserstrahl beschreibt die Bahn eines waagerechten Wurfs. Es gilt: (1) $s_x=v_0\cdot t$ und (2) $s_y=-\frac g2 \cdot t^2$.

  Umstellen der zweiten Gleichung nach der Zeit und Einsetzen liefert: $t=\sqrt {\frac {-2s_y} {g}}=\sqrt {\frac {-2\cdot (-1~m)} {9,81\frac {m} {s^2}}}=0,452~s$.

  Damit ergibt sich für die gesuchte Strecke durch Einsetzen in Gleichung (1): $s_x=20\frac {m} {s}\cdot 0,452~s=9,03~m$.

  Antwort: Der Wasserstrahl hat eine maximale Reichweite von rund neun Metern. Damit erreicht Lukas seine Schwester in zehn Meter Entfernung nicht ganz.

• Analysiere, wie schnell Onur den Schlüsselbund werfen muss, damit seine Schwester ihn auffangen kann.

  Tipps

  Notiere die gegebenen Größen und die gesuchte Größe.

  Leite die Formel zur Berechnung der Anfangsgeschwindigkeit aus den Formeln für den waagerechten Wurf her.

  Setze die gegebenen Größen in diese Formel ein und berechne das Ergebnis.

  Lösung

  Gegeben:

  $s_x=10~m$ (Standort von Onurs Schwester beziehungsweise Abstand in x-Richtung von Onur)

  $s_y=-5~m$ (Fallhöhe des Schlüsselbundes)

  $g=9,81\frac {m} {s^2}$

  Gesucht:

  $v_0$ (Abwurfgeschwindigkeit des Schlüsselbundes)

  Lösungsansatz:

  Es gilt wegen $s_x=v_0\cdot t$ für $t=\frac {s_x} {v_0}$. Eingesetzt in die Formel $s_y=-\frac g2 \cdot t^2$ ergibt umgestellt nach $v_0$:

  $v_0=s_x\cdot \sqrt{\frac {-g} {2s_y}}$.

  Einsetzen der Größen liefert:

  $v_0=10~m\cdot \sqrt{\frac {-9,81\frac {m} {s^2}} {2\cdot (-5~m)}}=10 \frac ms$.

  Onur muss den Schlüsselbund mit einer Geschwindigkeit von rund 10 Metern pro Sekunde werfen, damit seine Schwester es gut auffangen kann.

• Gib an, wie sich die Geschwindigkeit des Flugzeugs bestimmen lässt.

  Tipps

  Wo wird die Fallhöhe, wo der Abstand zum Aufschlagpunkt in die Formel eingesetzt?

  Welche Einheiten müssen mitgeführt werden?

  Was ist bei der Wurzel in Bezug auf die Vorzeichen zu beachten?

  Lösung

  Gegeben ist die Formel $v_0=s_x\cdot \sqrt{\frac {-g} {2s_y}}$.

  Für die Größen gilt Folgendes:

  $s_x=3~000~m$ (Aufschlagstelle beziehungsweise Abstand in x-Richtung zum Zielort)

  $s_y=-1~500~m$ (Fallhöhe, negatives Vorzeichen beachten!)

  $g=-9,81\frac {m} {s^2}$ (Fallbeschleunigung, negatives Vorzeichen beachten!)

  Dann ergibt sich durch Einsetzen der Größen in die obige Formel:

  $v_0=3~000~m\cdot \sqrt{\frac {-9,81\frac {m} {s^2}} {2\cdot (-1~500~m)}}=171,6\frac ms$.

  Dabei ist auch das korrekte Einsetzen der Einheiten wichtig, um am Ende die benötigte Einheit für die Flugzeuggeschwindigkeit zu erhalten. Diese beträgt somit übrigens über $600\frac {km} {h}$.

• Erschließe dir durch Rechnung die Höhe, in der sich das Flugzeug zum Zeitpunkt des Abwurfes befand.

  Tipps

  Die gesuchte Größe kann durch Umstellen und Einsetzen in die Formeln für den waagerechten Wurf bestimmt werden.

  Lösung

  Gearbeitet wird zur Lösung der Aufgabe mit den Formeln (1) $s_x=v_0\cdot t$ und (2) $s_y=-\frac g2 \cdot t^2$.

  Für die gegebenen Größen gilt Folgendes:

  $s_x=3~200~m$ (Aufschlagstelle beziehungsweise Abstand in x-Richtung zum Zielort)

  $v_0=500\frac {km} {h}=138,9\frac ms$ (Fluggeschwindigkeit des Flugzeuges)

  $g=9,81\frac {m} {s^2}$ (Fallbeschleunigung)

  Gesucht ist die Fallhöhe $s_y$.

  Zur Bestimmung dieser wird in Formel (2) der umgestellte Ausdruck für die Zeit aus Formel (1) $t=\frac {s_x} {v_0}$ eingesetzt:

  $s_y=-\frac g2 (\frac {s_x} {v_0})^2=-\frac {9,81\frac {m} {s^2}} {2} \frac {(3~200~m)2} {(138,9\frac {m} {s})^2}=-2603,361493~m$

  Das Flugzeug befand sich in etwa in einer Höhe von 2603 Metern, als es das Paket abwarf.