Senkrechter Wurf nach oben

Hallo und herzlich willkommen. In diesem Video beschäftigen wir uns mit dem senkrechten Wurf nach oben. Wenn man alle physikalischen Hintergründe des senkrechten Wurfes nach oben kennt, kann man zum Beispiel ausrechnen mit welcher Geschwindigkeit man einen Schneeball werfen muss, damit er im zweiten Stock eines Hauses ankommt. Du wirst sehen, dass bei einem senkrechten Wurf die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt circa null ist, obwohl es so scheint, als ob der geworfene Körper ständig in Bewegung ist. Um den senkrechten Wurf nach oben komplett beschreiben zu können, wirst du zuerst lernen, was man unter Superposition versteht. Danach wirst du sehen, wie man Formeln für Geschwindigkeit und Wurfhöhe für den Wurf nach oben findet. Und damit kann es auch schon losgehen. Um zu verstehen, wie ein senkrechter Wurf nach oben verläuft, ist es wichtig zu verstehen, was man unter einer Superposition von Bewegungen versteht. Bewegungen in unterschiedliche Richtungen überlagern sich ungestört. Das bezeichnet man als Superposition von Bewegungen. Ungestört überlagern bedeutet dabei, dass die Bewegungen sich nicht gegenseitig beeinflussen. Dass Bewegungen sich ungestört überlagern, sieht man zum Beispiel wenn man zwei Kugeln im freien Fall beobachtet. Eine Kugel fällt senkrecht zu Boden, die andere bewegt sich gleichzeitig noch horizontal. In unserem Fall nach rechts. Um die Bewegung beschreiben zu können, zeichnen wir zuerst ein Koordinatensystem ein. Die eine Kugel rollt auf einem Tisch auf die andere zu. Wenn sie sich treffen, überträgt die gerollte Kugel ihre horizontale Geschwindigkeitskomponente auf die andere Kugel und wird selbst abgestoppt. Dann fallen beide Kugeln zu Boden. Die rechte Kugel bewegt sich zusätzlich noch nach rechts. Beide Kugeln kommen gleichzeitig am Boden an, obwohl die rechte einen längeren Weg zurückgelegt hat. Das liegt daran, dass die waagerechte Geschwindigkeitskomponente keinen Einfluss auf die senkrechte hat. Somit bewegen sich in senkrechter Richtung beide Kugeln völlig gleich. Beim senkrechten Wurf liegt auch eine Superposition vor. Zum einen hat der Körper eine konstante Anfangsgeschwindigkeit, die ausschließlich davon abhängt wie schnell wir ihn abwerfen. Diese Anfangsgeschwindigkeit kann nach oben oder nach unten zeigen. Je nachdem ob der Körper nach oben oder nach unten geworfen wird. In diesem Video betrachten wir den Fall, dass er nach oben geworfen wird. Dazu kommt noch die Geschwindigkeit einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung. Der geworfene Körper wird nämlich durch die Erdbeschleunigung g gleichmäßig beschleunigt und bewegt sich somit immer auch nach unten. Diese beiden Geschwindigkeiten überlagern sich nach dem Superpositionsprinzip ungestört. Wenn du wissen willst, wie schnell du werfen musst um vom Boden aus einen Schneeball in den zweiten Stock zu werfen, dann musst du das nach den Gesetzen des senkrechten Wurfes nach oben berechnen. Der senkrechte Wurf nach oben startet bei der Höhe h = 0. Beim senkrechten Wurf nach oben haben die Geschwindigkeiten von Anfangsgeschwindigkeit und gleichförmig beschleunigter Bewegung entgegengesetzte Richtungen. Die Anfangsgeschwindigkeit von null zeigt nach oben, also in positive Richtung. Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit der Geschwindigkeit g * t zeigt in Richtung der Gewichtskraft des Körpers, also nach unten in negative Richtung. Die Geschwindigkeit ergibt sich so zu V = +V₀ - g * t. Das Plus vor V₀ wird dabei der Einfachheit halber weggelassen. Wenn die Zeit t noch sehr klein ist, dann überwiegt der erste Term und der geworfene Körper bewegt sich nach oben. Wenn beide Terme gleich groß sind, so ist die Geschwindigkeit gleich null. In diesem Punkt gleichen sich Anfangsgeschwindigkeit und die gleichmäßig wachsende Geschwindigkeit der beschleunigten Bewegung genau aus. Diesen Punkt nennt man auch Umkehrpunkt. Im Umkehrpunkt gilt V = 0. Daraus folgt wiederum, dass der Umkehrpunkt zur Zeit t_Umkehr = V₀ / g erreicht wird. Nach Erreichen des Umkehrpunktes, also für t > t_Umkehr, bewegt sich der Körper nach unten, da der zweite, negative Term mit der Zeit ständig wächst und somit größer wird als der erste. Es gibt aber noch mehr, was man zum Wurf nach oben berechnen kann. Dazu brauchen wir weiterhin die Formeln für die Geschwindigkeit V und die Umkehrzeit t_Umkehr. Die Wurfhöhe besteht aus einem positiven Anteil der gleichförmigen Bewegung nach oben und einem negativen Anteil der gleichmäßig beschleunigten Bewegung nach unten. Es gilt: Höhe h = V₀ * t - ½ gt². Um zu berechnen, wie hoch der Körper geworfen wird, setzt man in die Wurfhöhe die Zeit ein, die der Körper benötigt um zum Umkehrpunkt zu gelangen, also t_Umkehr. Daraus folgt, dass die Höhe des Umkehrpunktes h_Umkehr = V₀ * V₀ / g - ½g * (V₀/g)² ist. Kürzt man diese Gleichungen noch, so kommt man auf einen Wert für die Höhe des Umkehrpunktes von V₀² / 2g. Die Höhe des Wurfes hängt also quadratische von der Anfangsgeschwindigkeit ab. Das heißt, dass die Wurfhöhe bei doppelter Abwurfgeschwindigkeit viermal so hoch ist. Wenn etwas eine sehr hohe Anfangsgeschwindigkeit hat, wie zum Beispiel eine Gewehrkugel, dann fliegt es auch viel höher. Dem entgegen wirkt die Erdbeschleunigung, die den Körper zurück zum Boden beschleunigt. Sie hindert den Körper also an seiner Bewegung nach oben. Auf einem Himmelskörper mit weniger Anziehungskraft ist auch g kleiner. Auf dem Mond zum Beispiel kann man Dinge theoretisch viel höher werfen als hier auf der Erde. Jetzt wirst du noch sehen, wie man eine Formel für die Geschwindigkeit herleiten kann, die nicht direkt von der Zeit abhängt. Dazu verwenden wir wieder die beiden Formeln von gerade eben. Ziel ist es, Formel zwei nach t umzustellen und das Ergebnis dieser Rechnung in Formel eins einzusetzen. Dann machen wir das mal. Um Formel zwei nach t umzustellen, bringen wir zuerst alle Ausdrücke auf eine Seite. Dann steht da: ½ gt² - V₀ * t + h = 0. Wir haben also t und t² in unserer Formel stehen. Demzufolge handelt es sich um eine quadratische Gleichung. Wir können diese nach t auflösen indem wir die pq-Formel verwenden. Dazu bringen wir die Gleichung auf Normalform. Wir multiplizieren sie mit 2 / g. Unser p ist dann -2V₀/g, unser q ist 2h/g. Aus dieser Form können wir dann auch schon direkt die Formel für t_1/2 aufstellen. Es gilt: t_1/2 = V₀/g ± Wurzel ((V₀/g)² - 2h/g). Um die beiden Terme in der Wurzel auf den gleichen Nenner zu bringen, erweitern wir den hinteren Term 2h/g mit g/g. Das entspricht einer Multiplikation mit eins und ändert nichts an dem Ausdruck. So erhalten wir den Ausdruck t_1/2 = V₀/g ± Wurzel ((V₀² - 2hg) / g²). Das g² kann man noch aus der Wurzel rausziehen und man erhält t_1/2 = V₀/g ± 1/g * Wurzel (V₀² - 2hg). Dieses Ergebnis setzen wir jetzt in Formel eins ein. Die eins über g-Terme kürzen sich im g und man bekommt: V = V₀ - V₀ ± Wurzel (V₀² - 2hg). Die V₀ heben sich auf und man erhält das Ergebnis V = ± Wurzel (V₀² - 2hg). Vor der Wurzel steht jetzt noch ±. Wir schließen das negative Vorzeichen vor der Wurzel aus. Dafür überlegen wir uns, was im Fall h = 0 für eine Situation vorliegt. Ist h = 0, so ist V = ± Wurzel (V₀². Das heißt ± V₀. Wie wir schon vorher gesehen haben, ist V₀ aber positiv. Wir können also das Minus streichen. So kommen wir auf das Endergebnis V = Wurzel (V₀² - 2hg). So, was hast du eben gelernt? (Zusammenfassung) Überlagern sich zwei Bewegungen ungestört, so spricht man von Superposition. Beim senkrechten Wurf überlagern sich die Geschwindigkeiten von konstanter Anfangsgeschwindigkeit und der gleichmäßig beschleunigten Bewegung verursacht durch die Erdanziehung. Dabei überlagern sich die Geschwindigkeiten in entgegengesetzten Richtungen. Deshalb ergibt sich die Gesamtgeschwindigkeit V aus der Differenz der Terme für konstante Anfangsgeschwindigkeit und gleichmäßig beschleunigter Bewegung. Gleiches gilt für die Wurfhöhe. Außerdem kann man für den Wurf nach oben die Zeit berechnen, die der Körper braucht um den Umkehrpunkt zu erreichen. Sie ist t_Umkehr = V₀/g. Setzt man diese Zeit in die Formel für die Wurfhöhe ein, so erhält man die Höhe des Umkehrpunktes von h_Umkehr = V₀²/2g. Um eine Formel für V zu erhalten, die nicht direkt von t abhängt, haben wir zuerst eine Gleichung umgestellt, dann die quadratische Gleichung gelöst und dann den Wert für t_1/2 eingesetzt. So kamen wir auf eine Geschwindigkeit von V = Wurzel (V₀² - 2hg). Das war es zum Thema senkrechter Wurf nach oben, ich hoffe du hast etwas gelernt. Tschüss und bis zum nächsten Mal.