Der waagerechte Wurf – Wurfweite, Wurfdauer und Bahnform

Waagerechter Wurf – Physik

Wenn du einen Ball senkrecht nach oben wirfst, dann fällt er irgendwann wieder senkrecht nach unten. Diese Bewegung ist ganz einfach zu verstehen. Doch was genau passiert, wenn du den Ball waagerecht nach vorne wirfst? Die Bewegung des sogenannten waagerechten Wurfs ist nicht mehr ganz so einfach nachzuvollziehen – denn sie setzt sich aus verschiedenen Bewegungen zusammen. Im Folgenden wollen wir uns ansehen, wie man den waagerechten Wurf beschreiben kann, welche Kräfte wirken und welche Formeln gelten.

Der waagerechte Wurf einfach erklärt

Waagerechter Wurf ist eine allgemeine Bezeichnung für einen bestimmten Bewegungsvorgang. Nicht nur dann, wenn du einen Ball waagerecht nach vorne wirfst, handelt es sich um einen waagerechten Wurf. Auch wenn etwas waagerecht nach vorne geschossen wird, zum Beispiel der Wasserstrahl aus einem Gartenschlauch, kann diese Bewegung mit dem waagerechten Wurf beschrieben werden. Wichtig ist bei diesen Bewegungsvorgängen, dass das Objekt waagerecht, also parallel zum Horizont, abgeworfen oder abgeschossen wird.

Ein weiteres Beispiel für den waagerechten Wurf siehst du in der unten stehenden Abbildung: Eine Kanone steht auf dem Dach einer Burg. Eine Kanonenkugel wird waagerecht nach vorne abgeschossen. Du siehst außerdem die typische Flugbahn eines waagerechten Wurfs: In Form einer Wurfparabel fällt die Kanonenkugel zum Erdboden.

Am besten können wir die Flugbahn verstehen, wenn wir die Bewegung in zwei Komponenten unterteilen, die senkrecht zueinander stehen: Eine waagerechte Bewegung in $x$-Richtung und eine senkrechte Bewegung in $y$-Richtung. Außerdem vernachlässigen wir für die folgenden Überlegungen den Luftwiderstand.
Wenn die Kanonenkugel in der Luft ist, wirkt entlang der $x$-Richtung keine Kraft. Die Kugel wird weder beschleunigt, noch abgebremst. Die Geschwindigkeit in $x$-Richtung ist also konstant.
Entlang der $y$-Richtung wirkt allerdings durch die Schwerebeschleunigung $g$ eine Kraft: Die Gewichtskraft. Dadurch wird die Kanonenkugel senkrecht nach unten beschleunigt.
Die Überlagerung der Bewegungen in $x$- und $y$-Richtung ergibt die typische Wurfparabel.

Nun weißt du, was der waagerechte Wurf ist. Als Nächstes wollen wir uns anschauen, wie wir die Bewegung des waagerechten Wurfs berechnen können.

Bahngleichung des waagerechten Wurfs

Wie bereits beschrieben, setzt sich die Flugbahn aus unterschiedlichen Bewegungen zusammen. Es gelten also verschiedene Bewegungsgesetze beim waagerechten Wurf. Die horizontale Bewegung kann mithilfe der Formeln für die gleichförmige Bewegung beschrieben werden. Für die $x$-Koordinate in Abhängigkeit der Zeit $t$ gilt somit:

$x(t)=v_x \cdot t$

Die Geschwindigkeit $v_x$ ist, wie oben beschrieben, konstant. Außerdem sehen wir an der Formel, dass die Bewegung bei $x=0$ startet. Es gibt für die $x$-Koordinate in unserem Beispiel also keinen Anfangswert.

Die vertikale Bewegung des waagerechten Wurfes hingegen kann man mit den Gleichungen der gleichmäßig beschleunigten Bewegung beschreiben. Da die Kanonenkugel mit der Erdbeschleunigung $g$ nach unten beschleunigt wird, gilt für die Geschwindigkeit in $y$-Richtung:

$v_y=-g \cdot t$

Für die $y$-Koordinate in Abhängigkeit der Zeit gilt:

$y(t)=h-\frac{1}{2} g \cdot t^{2}$

Die Kugel startet in unserem Beispiel aus einer Höhe $h$. Durch das Minuszeichen in den Formeln für $y(t)$ und $v_y$ wird angezeigt, dass die Kugel nach unten beschleunigt wird.

Nun kann man die Gleichung für $x(t)$ nach der Zeit $t$ umstellen:

$t= \frac{x}{v_{x}}$

Wenn man diesen Term in die Gleichung für $y(t)$ einsetzt, erhält man die Bahngleichung $y(x)$ des waagerechten Wurfs:

$y(x)=h- \frac{1}{2} \frac{g}{v_{x}^{2}} \cdot x^{2}$

Mit dieser Gleichung kann man für jede beliebige $x$-Koordinate die zugehörige $y$-Koordinate berechnen.

Wurfweite des waagerechten Wurfs

In manchen Fällen möchte man herausfinden, wie weit ein Ball fliegt, bevor er auf dem Boden landet. Wie man die sogenannte Wurfweite berechnen kann, wollen wir am Beispiel der Kanonenkugel zeigen.

Uns interessiert eine Wurfweite, also die Strecke, die die Kugel in $x$-Richtung vor dem Aufprall zurückgelegt hat. Wir nennen diese Wurfweite $x_h$ und können sie über die oben genannte Formel berechnen:

$x_h=v_x \cdot t_h$

Dabei ist $t_h$ der Zeitpunkt, an dem die Kugel auf dem Boden gelandet ist. Um diesen Zeitpunkt zu berechnen, müssen wir uns noch die $y$-Koordinate ansehen. Wir wissen, dass die Kugel aus einer Höhe $h$ startet. Wenn das Koordinatensystem so gewählt ist, dass die Koordinate $y=0$ dem Erdboden entspricht, müssen wir die Gleichung $y(t)$ mit null gleichsetzen und nach $t$ auflösen, um den Zeitpunkt des Aufpralls $t_h$ zu bestimmen. Also gilt:

$y=0=h-\frac{1}{2} g \cdot t_{h}^{2}$

Und somit:

$h=\frac{1}{2} g \cdot t_{h}^{2}$

Durch weiteres Umformen erhalten wir:

$t_{h}=\sqrt{\frac{2\cdot h}{g}}$

Diesen Zeitpunkt können wir nun in die Formel für $x_h$ einsetzen:

$x_h=v_x \cdot \sqrt{\frac{2\cdot h}{g}}$

Mit dieser Formel können wir die Wurfweite berechnen.

Kurze Zusammenfassung zum Video Waagerechter Wurf

Was ist der waagerechte Wurf? Welche Kraft wirkt beim waagerechten Wurf? In diesem Video werden diese und weitere Fragen geklärt. Du weißt nun, wie man einen waagerechten Wurf mathematisch beschreiben kann. Auch zu diesem Thema gibt es interaktive Übungen und ein Arbeitsblatt. Du kannst dein neu gewonnenes Wissen also sogleich testen.