Spule und induktiver Widerstand im Wechselstromkreis

Herzlich willkommen bei einem Video von Doktor Psi. Unser heutiges Thema ist die Behandlung von induktiven Widerstanden im Wechselstromkreis. Wir beginnen mit einer knappen Wiederholung der mathematischen Beschreibung von Spannung und Strom im Wechselstromkreis und widmen uns dann der Selbstinduktion und insbesondere der physikalischen Größe der Induktivität einer Spule. Dann betrachten wir das elektrische verhalten von Spulen im Wechselstromkreis und fassen zum Schluss das Gelernte wieder zusammen. Starten wir also mit einem Stromkreis, der eine Wechselspannungsquelle enthält. Unsere Wechselspannungsquelle liefert eine Sinusförmige Wechselspannung. Die zum Beispiel durch U(t)=U₀sin(Omegat) beschrieben werden kann. Dabei ist U₀ der Maximal- oder Scheitelwert der Spannung. Wir sehen den entsprechenden verlauf in einem Diagramm, dass auf der x-Achse das Produkt aus Kreisfrequenz Omega und Zeit t und auf der Y-Achse zunächst die Spannung u enthält. Der Nulldurchgang der Sinuskurve für die Spannung U(t) fällt mit t = 0 zusammen. Dies ist jedoch nicht immer der Fall. Allgemein erzeugt eine Wechselspannung im Stromkreis einen Sinusförmigen Wechselstrom, der hier dargestellt wird, durch I(t) = I₀ * sin(Omegat + Phi₀). Dabei ist Phi₀ der Nullphasenwinkel. Dieser beschreibt die Verschiebung der Sinuskurve für den Fall, dass deren Nulldurchgang nicht mit t = 0 zusammenfällt, wie wir das hier für die Stromstärke in dem Diagramm sehen. Links von der Darstellung von U und I als Sinusförmiger Verlauf sehen wir das Zeigerdiagramm für U(t) und I(t). Wir sehen zwei Zeiger. Einen für U und einen für I. Die Länge der Zeiger entspricht den jeweiligen Scheitelwerten. Die Zeiger drehen sich im mathematisch positiven Sinn und aus der Zeigerstellung kann der jeweilige Momentanwert als Projektion auf die U- beziehungsweise I-Achse abgelesen werde. Soweit eine knappe Wiederholung der mathematischen Beschreibung von Größen im Wechselstromkreis. Wir betrachten eine Spule in einem Wechselstromkreis und dieser Wechselstromkreis hat eine Wechselspannungsquelle und dann eben unsere Spule, deren ohmscher Widerstand gleich Null sein soll. Es soll eine ideale Spule sein. Und dazu befinden sich noch Messgeräte für Strom und Spannung in diesem Kreis. Wird nun die Spule von einem Wechselstrom durchflossen, so wirkt sie als sogenannter induktiver Widerstand. Dies hängt damit zusammen, dass bei der periodischen Änderung der Stromstärke in der Spule eine Spannung induziert wird. Und dieser Effekt wird Selbstinduktion genannt. Quantitativ können wir diese Selbstinduktionsspannung wie folgt erfassen. Das ist U_ind, für Induktion, = - L * dI/dt. Und dabei ist L der Selbstinduktionskoeffizient, oder wir sagen auch kurz Induktivität dazu. Und die Einheit von L ist wie immer in eckigen Klammern zu notieren. Die Einheit ist also ein Henry. Und das kürzen wir mit einem H ab. Und da ist gleich 1 Vs/A. Ja, soweit ein paar knappe Anmerkungen zum elektrischen Verhalten der Spule im Wechselstromkreis. Nun, wenn wir eine Spannung anlegen, fließt ein Strom und aus dem Verhalten der Zeigerausschläge unserer Messinstrumente kann geschlossen werden, dass Spannung und Stromstärke nicht im gleichen Takt schwingen. Das sollten wir hier erkennen. Wir sagen, sie sind nicht in Phase. Überträgt man dieses Verhalten in ein Diagramm, das wir hier sehen, so ist zu erkennen, dass die Spannungskurve zeitlich vor der Stromstärkekurve ihr Maximum erreicht. Wir erkennen das unter anderem auch am Zeigerdiagramm, das hier links zu sehen ist. Dass die Spannung um π/2, also um eine Viertel Periode, der Stromstärke vorauseilt. Nun wollen wir diesen Vorgang, den wir eben gerade erklärt haben, mathematisch beschreiben und ich habe hier noch einmal unsere Formel notiert. U_ind, wir kürzen auch das gerne mit U_L ab, für den Index der Selbstinduktion, und dann -L * di/dt. Und wenn wir jetzt den Wechselstromkreis betrachten und die Spule mit ihren Spannungen, die in ihr induziert werden und der Spannung von außen, die angelegt wird, dann können wir notieren, dass die von außen angelegte Spannung U(t), das war ja U₀sin(Omegat), plus unserer Spannung der Selbstinduktion U_L gleich ist, dem Produkt aus RI(t). Nun hatten wir aber gesagt, dass wir eine ideale Spule haben und dass für diese ideale Spule gelten soll, dass der ohmsche Widerstand gleich null ist. Das heißt wir können hier gleich null notieren. Nun, wenn wir in diese Formel die Größen einsetzen, die uns bekannt sind, also U(t), das ist, ich notiere das hier nochmal, U(t) = U₀sin(Omegat). Und wenn wir hier U_L, den Wert einsetzen, wir beachten das Minuszeichen, das kommt auf die andere Seite. Dann wird das zum Pluszeichen. Dann erhalten wir folgenden Ausdruck. U₀sin(Omegat), das ist dieser Term. Auf der anderen Seite steht dann, das Minus verschwindet, LdI(t). Das wird ein wenig umgeformt. Wir bringen das L auf die andere Seite und lösen das Ganze nach dI(t) auf. Also als Zwischenschritt können wir notieren, LdI/dt. Das wäre dann gleich U₀sin(Omegat). Und das dt kommt auf die andere Seite. Dann steht dieser Term, diese Gleichung, sogar da. Nun dividieren wir das Ganze noch durch L und erhalten dI(t)=(U₀/L )sin(Omegat) dt. Und dieser Term soll nun vereinfacht werden. Und das erfolgt durch eine Integration. Diese Integration sieht so aus, dass dieses sin(Omegat) integriert werden muss sin(Omegat) integriert ist -cos(Omegat) und das Omega wird berücksichtigt, indem wir das durch diesen Term, den ich eben genannt habe durch Omega dividieren. Ich schreibe das mal als Ergebnis hin. I(t) ist dann gleich, das Minuszeichen kommt von der Integration des Sinus, - U₀/L, und jetzt müssen wir von dem Argument der Sinusfunktion das Omega in den Nenner schreiben. Dann erhalten wir hier cos(Omegat). Über Integrationskonstanten wollen wir jetzt hier nicht reden. Wenn du mit der Integration nicht so ganz vertraut bist, dann kannst du hier diesen Term einmal differenzieren und dann erhältst du wieder diesen Term, der hier oben steht. Nun wollen wir diesen Term noch ein wenig anders schreiben. Wir kennen aus der Trigonometrie die Beziehung, ich notiere das mal hier an der Seite, cos(Omegat)=-sin(Omegat-(Pi/2)). Wenn wir diesen Term berücksichtigen und ihn hier einsetzen, dann erhalten wir folgenden Ausdruck. I(t) =, das Minuszeichen entfällt, U₀/OmegaL, ich drehe das mal um, und jetzt können wir hier sin(Omegat - Pi/2) notieren. Ja, wenn wir uns das anschauen und schauen einmal auf den, hier steht es noch alleine, auf die angelegte Spannung U(t)=U₀*sin(Omegat) und schauen jetzt auf I(t), also die Stromstärke, so sehen wir hier, dass die Stromstärke um Pi/2 der Spannung nacheilt. Und das ist genau das, was wir in unserer experimentellen Anordnung erhalten hatten. Also die Spannung eilt dem Strom um einen Phasenwinkel von Pi/2 voraus. Und nun wollen wir noch eine Kleinigkeit über den induktiven Blindwiderstand der Spule uns unterhalten. Ja, ich habe hier den Merksatz noch einmal notiert, weil er so wichtig ist. Die Spannung eilt dem Strom also um einen Phasenwinkel von Pi/2 voraus. Ich habe hier nochmal die beiden Terme notiert. Einmal die Stromstärke, die wir erhalten hatten als U₀/OmegaL * sin(Omegat - Pi/2). Da ist zu erkennen, dass die Spannung, die hier steht um Pi/2 der Stromstärke vorauseilt. Wir können auch sagen die Stromstärke hinkt der Spannung hinterher, um den Phasenwinkel Pi/2. Nun wollen wir uns noch ein wenig mit dieser Formel auseinandersetzen und den induktiven Blindwiderstand einer Spule uns anschauen. Wir sehen hier, dieser Term, der vor der Sinusfunktion steht, hier ist der Term U₀, das ist der Term I₀. Und das ist U₀/OmegaL. Das können wir ein wenig anders schreiben, indem wir U₀ durch I₀ schreiben. Also OmegaL kommt dann auf die andere Seite. I₀ kommt hier in den Nenner und das wäre jetzt OmegaL. Und U/I, du kennst das aus dem normalen Zusammenhang, U/I ist ein Widerstand. Das hat also die Dimension eines Widerstandes. Also ist das auch ein Widerstand, OmegaL. Und genau das ist der induktive Blindwiderstand einer Spule. Wir bezeichnen ihn mit x_L und notieren also diesen Zusammenhang. x_L= OmegaL. Und wir erkennen hier, dieser induktive Widerstand ist der Frequenz des Wechselstroms, beziehungsweise der Wechselspannung die anliegt, proportional. Damit haben wir insgesamt im Wesentlichen das Verhalten einer Spule im Wechselstromkreis beschrieben. Fassen wir kurz zusammen: Wir haben die Selbstinduktion einer Spule beschrieben und haben die mathematische Beschreibung von Wechselspannung und Wechselstrom durchgeführt und kurz wiederholt. Und dann haben wir uns den Verlauf dieser Größen in einen Stromkreis mit Wechselspannungsquelle und einer Spule angesehen. Haben Diagramme erhalten und haben festgestellt, dass eben die, experimentell einmal die Spannung dem Strom vorauseilt und konnten das mathematisch quantitativ nachweisen. Schließlich konnten wir noch den induktiven Blindwiderstand einer Spule als Frequenzabhängig formulieren und konnten das Ganze im Zusammenhang mit unserem Experiment sehr gut erklären. Ja, das war wieder ein Video von Doktor Psi, ich hoffe wir sehen uns bald wieder, tschüss.