Schrödingergleichung und Potentialtopfmodell

Schrödingergleichung und Potentialtopfmodell Übung

• Fasse die physikalischen Bedeutungen der Schrödingergleichung zusammen.

  Tipps

  Was beschreibt den Quantenzustand eines physikalischen Systems?

  Ist es möglich, den Quantenzustand ohne Zeitänderung zu beschreiben?

  Lösung

  Die Schrödingergleichung ist ein hilfreiches mathematisches Werkzeug, das die Beschreibung eines physikalischen Systems ermöglicht. Als Lösung gibt sie eine Gleichung wieder, die eine Wellenfunktion beschreibt. Diese Wellenfunktion beschreibt den Quantenzustand eines physikalischen Systems mit der Zeitänderung. Die Rolle der Schrödingergleichung besteht darin, die Bedingungen zu etablieren, denen ihre Lösungs-Wellenfunktion genügen muss.

• Benenne die mathematischen Teile der Schrödingergleichung.

  Tipps

  Die gesamte Energie eines Systems ist eine Ableitung nach der Zeit.

  Die Beschreibung eines Systems ist eine Ableitung nach dem Ort.

  Lösung

  Betrachten wir ein Teilchen (oder ein physikalisches System beispielsweise ein ganzes Atom) und möchten wir seinen Quantenzustand analysieren, lautet der allgemeine Ansatz der Schrödingergleichung: $E\Psi =H\Psi$. Dabei ist E die Gesamtenergie des von mir betrachteten Systems und $H$ der sogenannte Hamiltonoperator, der mein System beschreibt.

  Die Gesamtenergie schreibt man $E=i\hslash \frac { \partial }{ \partial t } $ als eine Ableitung nach der Zeit. Den Hamiltonoperator schreibt man $H=\frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } { \nabla }^{ 2 }+V$, als eine Ableitung nach dem Ort (auf dem Kopf stehendes Dreieck, der Nabla-Operator). Insgesamt steht der erste Teil des Hamilton-Operators für die kinetische Energie $\frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } { \nabla }^{ 2 }$ und das $V$ für die wirkenden Potenziale.

  Habe ich ein Teilchen, kenne seine kinetische Energie, und alle auf es wirkenden Potenziale, dann habe ich alles, was ich benötige, um auszurechnen, was passiert. Für die Potenziale können folgende Felder vorkommen: ein elektrisches Feld, ein Gravitationsfeld oder ein sich mit der Zeit änderndes magnetisches Feld.  

• Arbeite die zeitunabhängige Schrödingergleichung heraus, um die gesamte Energie eines Teilchens in einem Potenzialtopf zu bestimmen.

  Tipps

  Die zeitunabhängige Schrödingergleichung lautet $\frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } { \psi }^{ '' }+\left( E-{ E }_{ pot } \right) \psi =0$.

  Außerhalb des Topfes ist das Potenzial unendlich, innerhalb des Topfes ist es gleich null.

  Sowohl die Wellenfunktion $\psi =Asin\left( \frac { n\pi }{ L } r \right)$, als auch ihre 2. Ableitung ${ \psi }^{ '' }=-Asin\left( \frac { n\pi }{ L } r \right) \left( \frac { { n }^{ 2 }{ \pi }^{ 2 } }{ { L }^{ 2 } } \right)$ müssen in der zeitunabhängigen Schrödingergleichung eingesetzt werden.

  Lösung

  Wir wollen die gesamte Energie eines Teilchens in einem Potenzialtopf ausrechnen. Dafür braucht man die zeitunabhängige Schrödingergleichung. Sie gilt als ein Sonderfall, wenn sich die Potenziale eines Teilchens (oder Systems) nicht mit der Zeit ändern, also nicht von $t$ abhängen. Sie lautet:

  $ \frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } { \psi }^{ '' }+\left( E-{ E }_{ pot } \right) \psi =0$.

  Mit dieser Gleichung kann man nun eine Wellenfunktion bestimmen, die die zeitliche Entwicklung eines Systems vollständig beschreibt, wie die Sinusfunktion $\psi =Asin\left( \frac { n\pi }{ L } r \right)$ aus unserem Videobeispiel.

  Die Lösungen der Schrödingergleichung beschreiben die Entwicklung von Quantenzuständen. Sie müssen allerdings auch vom System abhängige Randbedingungen erfüllen. Betrachten wir einen eindimensionalen linearen Potenzialtopf der Länge $L$, für den gelten soll: Außerhalb des Topfes ist das Potenzial unendlich, innerhalb des Topfes ist es gleich null. Da unser Teilchen sich natürlich nicht am Rand des Topfes aufhalten kann, gilt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ${ \left| { \psi }_{ rand } \right| }^{ 2 }=0$.

  Da im Potenzialtopf $V=0$ sein soll, ist die potenzielle Energie ${ E }_{ pot }=0$. Die neue zeitunabhängige Schrödingergleichung lautet:

  $\frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } { \psi }^{ '' }+ E.\psi =0$.

  Nun müssen wir sowohl die Wellenfunktion $\psi =Asin\left( \frac { n\pi }{ L } r \right)$ als auch ihre 2. Ableitung ${ \psi }^{ '' }=-Asin\left( \frac { n\pi }{ L } r \right) \left( \frac { { n }^{ 2 }{ \pi }^{ 2 } }{ { L }^{ 2 } } \right)$ in dieser neuen zeitunabhängigen Schrödingergleichung einsetzen:

  $\frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } \left[ -A\left( \frac { { n }^{ 2 }{ \pi }^{ 2 } }{ { L }^{ 2 } } \right) sin\left( \frac { n\pi }{ L } r \right) \right] +{ E }_{ ges }Asin\left( \frac { n\pi }{ L } r \right) =0$.

  Wir klammern die Sinusfunktion aus und erhalten:

  $Asin\left( \frac { n\pi }{ L } r \right) \left[ \frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } \left( -\frac { { n }^{ 2 }{ \pi }^{ 2 } }{ { L }^{ 2 } } \right) +{ E }_{ ges } \right] =0$.

  Da der Sinus nicht immer 0 ist, muss unser Term aber in der eckigen Klammer immer 0 sein, damit die Bedingungen unseres Systems erfüllt bleiben.

  $\frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } \left( -\frac { { n }^{ 2 }{ \pi }^{ 2 } }{ { L }^{ 2 } } \right) +{ E }_{ ges }=0$

  Rechnen wir weiter, erhalten wir die gesamte Energie:

  ${ E }_{ ges }=\frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } \frac { { n }^{ 2 }{ \pi }^{ 2 } }{ { L }^{ 2 } } $.

  Mit $\hbar =\frac { h }{ 2\pi } $ können wir das Ganze noch ein wenig vereinfachen und erhalten endlich die Gleichung für die gesamte Energie eines Teilchens in einem Potenzialtopf als eine Funktion der Hauptquantenzahl $n$, des Plancks’schen Wirkungsquantums $h$, der Teilchenmasse und der Potentialtopflänge $L$:

  ${ E }_{ ges }=\frac { { h }^{ 2 } }{ 8m } \frac { { n }^{ 2 } }{ { L }^{ 2 } } $.

• Setze die Wellenfunktionen $\psi \left( x \right) $ mit ihren Aufenthaltswahrscheinlichkeiten ${ \psi }^{ 2 }\left( x \right) $ eines Teilchens in einem Potentialtopf in Beziehung.

  Tipps

  Die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten stellt man mit dem Quadrat einer Wellenfunktion dar.

  Die unter den Kurven bemalten Diagramme stellen die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten dar.

  Die Wellenfunktionen und die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten haben die gleiche Menge Knoten.

  Lösung

  Die Wellenfunktion eines Teilchens, eine stehende Welle, wird gut mit einer Sinusfunktion beschrieben. Wichtig ist dabei immer, dass mindestens 2 Knotenpunkte, also mindestens 2 Nullstellen, am linken und am rechten Rand sein müssen. Jedoch betrachten wir sie in unserem System nicht. Dafür gibt es einen Grund: Außerhalb des Topfes ist das Potenzial unendlich, innerhalb des Topfes ist es gleich 0. Da unser Teilchen sich natürlich nicht am Rand des Topfes aufhalten kann, gilt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ${ \left| { \psi }_{ rand } \right| }^{ 2 }=0$.
  Für Knotenpunkte innerhalb des Potentialtopfes wie bei den Wellenfunktionen ${ \psi }_{ 4 }\left( x \right)$ , ${ \psi }_{ 3 }\left( x \right)$ und ${ \psi }_{ 2 }\left( x \right)$ , gibt es unterschiedliche Energieniveaus. Das heißt, je höher die gesamte Energie unseres Teilchens ist, desto mehr Knotenpunkte gibt es auf den Wellenfunktionen. Anders gesagt, die Zahl der Knoten (Nulldurchgänge von $\psi \left( x \right) $) nimmt mit zunehmenden $n$ (von ${ E }_{ ges }={ n }^{ 2 }\frac { { h }^{ 2 } }{ { L }^{ 2 }8m } ;n=1,2,3,...,\infty $ ) zu (wie $n − 1$). Zusammengefasst gibt es für sehr hohe Quantenzahlen sehr viele Knoten. Das heißt, die gesamte Energie für die Wellenfunktion ${ \psi }_{ 4 }\left( x \right)$ (3 Knotenpunkte) ist größer als für die ${ \psi }_{ 3 }\left( x \right)$ (2 Knotenpunkte), als für die ${ \psi }_{ 2 }\left( x \right)$ (1 Knotenpunkt) und als für die ${ \psi }_{ 1 }\left( x \right)$ (kein Knotenpunkt).
  Für Aufenthaltswahrscheinlichkeiten ${ \psi }^{ 2 }\left( x \right) $ gilt die gleiche Logik. Die Hauptsache ist, dass die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten die gleiche Anzahl Knotenpunkte haben wie die Wellenfunktionen. Also wenn ${ \psi }_{ 1 }\left( x \right)$ keinen Knotenpunkt hat, dann hat ${ \psi }_{ 1 }^{ 2 }\left( x \right) $ auch keinen Knotenpunkt. ${ { \psi }_{ 2 }\quad \& \quad \psi }_{ 2 }^{ 2 }\left( x \right) $ haben einen Knotenpunkt, ${ { \psi }_{ 3 }\quad \& \quad \psi }_{ 3 }^{ 2 }\left( x \right) $ haben zwei und ${ { \psi }_{ 4 }\quad \& \quad \psi }_{ 4 }^{ 2 }\left( x \right) $ haben drei.

  Das bringt uns zur Lösung dieser Aufgabe. Es werden zusammen markiert:
  ${ \psi }_{ 1 }\left( x \right)$ mit der dritten (unten von links nach rechts) Aufenthaltswahrscheinlichkeit (Violett), ${ \psi }_{ 2 }\left( x \right)$ mit der ersten (unten von links nach rechts) Aufenthaltswahrscheinlichkeit (Gelb), ${ \psi }_{ 3 }\left( x \right)$ mit der vierten (unten von links nach rechts) Aufenthaltswahrscheinlichkeit (Blau), ${ \psi }_{ 4 }\left( x \right)$ mit der zweiten (unten von links nach rechts) Aufenthaltswahrscheinlichkeit (Grün).

• Bestimme die Randbedingungen für ein Teilchen in einem unendlichen tiefen Kasten.

  Tipps

  Wo sollen wir die Stellengrenzen des Teilchens einstellen? Welche sind sie?

  Wo wirkt das Potential unendlich groß und wo wirkt es null?

  Lösung

  Ein Teilchen in einem unendlich tiefen Kasten soll sich zwischen $x = 0$ und $x = L$ frei bewegen können. Im Kontext bedeutet für uns das Wort „frei“, dass zwischen $x = 0$ und $x = L$ das Teilchen kräftefrei ist und das Potential konstant bleibt und zwar $V = 0$. Also $x = 0$ und $x = L$ sollen unter die $x$-Achse und $V = 0$ in den Kasten gesetzt werden.

  Jedoch kann dieses Teilchen nicht außerhalb dieses “Kastens” der Länge $L$ gelangen. Dafür gibt es einen Grund: Außerhalb des Kastens ist die potentielle Energie “unendlich groß” und wird als $V(x)\rightarrow \infty$ bezeichnet. Diese Aufschrift soll auf die gestrichelten Seiten des Kastens gesetzt werden.

  So haben wir die Randbedingungen definiert, die das Teilchen in einem unendlichen tiefen Kasten (besser gesagt, in einem unendlichen Topfpotential) erfüllen muss.

• Analysiere den Energiezustand eines Teilchens in einem Potentialtopf.

  Tipps

  Welche Rolle spielt die Quantenzahl $n$ an der Energie?

  Analysiere jede Größe, aus der die Energie eines Teilchens in einem Potentialtopf besteht.

  Lösung

  Die minimale Energie ${ E }_{ 1 }$ des Grundzustands des Teilchens im Potentialtopf ist immer vorhanden und lautet ${ E }_{ 1 }=\frac { { h }^{ 2 } }{ 8m{ L }^{ 2 } } $.

  Die Energien aller anderen Zustände, der angeregten Zustände, lauten${ E }_{ n }={ E }_{ 1 }{ .n }^{ 2 }; n=2,3,4,...,\infty $.

  Zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zuständen lautet die Anregungsenergien $\Delta { E }_{ n }={ E }_{ n+1 }-{ E }_{ n }={ E }_{ n }\left( 2n+1 \right) $. Dieses Verhältnis lässt sich erklären durch ein Beispiel. Berechnen wir die erforderte Energie, die ein Teilchen braucht, vom Energieniveau $n=4$ zum Energieniveau $n=5$ angeregt zu werden:

  $\Delta { E }_{ 4 }={ E }_{ 5 }-{ E }_{ 4 }$

  $\Delta { E }_{ 4 }={ 5 }^{ 2 }\frac { { h }^{ 2 } }{ 8m{ L }^{ 2 } }-{ 4 }^{ 2 }\frac { { h }^{ 2 } }{ 8m{ L }^{ 2 } } $

  $\Delta { E }_{ 4 }=\frac { { h }^{ 2 } }{ 8m{ L }^{ 2 } }(25-16) $

  $\Delta { E }_{ 4 }= { E }_{ 1 }(9)= { E }_{ 1 }(2.4+1)= { E }_{ 1 }(2n+1)$

  Die Anregungsenergien zwischen benachbarten Zuständen (wie im oberen Beispiel) wachsen linear $\Delta { E }_{ n }={ E }_{ n }\left( 2n+1 \right) $) mit der Quantenzahl $n$. Quadratisch mit der Quantenzahl $n$ wächst nur die Energie jedes Anregungszustandes ${ E }_{ n }={ n }^{ 2 }\frac { { h }^{ 2 } }{ 8m{ L }^{ 2 } } $ .

  Laut ${ E }_{ n }={ n }^{ 2 }\frac { { h }^{ 2 } }{ 8m{ L }^{ 2 } } $ gilt: Je größer die Masse eines Teilchens, desto kleiner ist seine Energie, da alle Energien umgekehrt proportional zur Masse des Teilchens ${ E }_{ n }\propto \frac { 1 }{ m } $ sind. Die gleiche Logik gilt für die Länge des Potentialtopfes: Je breiter der Potentialtopf, desto kleiner ist die Energie des Teilchens, da alle Energien umgekehrt proportional zum Quadrat der Länge des Topfes ${ E }_{ n }\propto \frac { 1 }{ { L }^{ 2 } } $ sind .