Sachaufgaben zum Schweredruck in Gasen

Sachaufgaben zum Schweredruck in Gasen Übung

• Beschreibe, wie du die Zahlenwerte richtig in die Barometrische Höhenformel einsetzt.

  Tipps

  Die Zahlenwerte werden beim Einsetzen hier in die Grundeinheiten (Kilogramm, Meter, Sekunde) umgerechnet.

  Einem Bar entsprechen $100\,000\,\frac {\text{kg} \cdot \text{m}}{\text{m}^2 \cdot \text{s}^2}$.

  Lösung

  Gegeben sind die folgenden Größen:

  • $p_0=1~\text{bar}=100\,000\,\frac{\text{N}}{\text{m}^2}=100\,000\,\frac{\text{kg} \cdot \text{m}}{\text{m}^2 \cdot \text{s}^2}$ – Luftdruck auf Eichhöhe (Meeresspiegel)
  • $\rho_0=1{,}2\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}$ – Luftdichte auf Eichhöhe (Meeresspiegel)
  • $g=9{,}81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ – Erdbeschleunigung
  • $h=20~\text{km}=20\,000~\text{m}$ – aktuelle Ballonhöhe

  Gesucht ist:

  • $p(20\,000~\text{m})$ – der Luftdruck auf Ballonhöhe.

  Ansatz:
  Einsetzen der Werte in die Barometrische Höhenformel:

  $p(h)=p_0 \cdot e^{-\rho_0 \cdot g \cdot \frac {h}{p_0}}$

  $p(20\,000~\text{m})=100\,000\,\frac{\text{kg} \cdot \text{m}}{\text{m}^2 \cdot \text{s}^2} \cdot e^{\large \left(-1{,}2\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 9{,}81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot \frac{20\,000~\text{m}}{100\,000\,\frac{\text{kg} \cdot \text{m}}{\text{m}^2 \cdot \text{s}^2}} \right)}=9500\,\frac{\text{kg} \cdot \text{m}}{\text{m}^2 \cdot \text{s}^2} \approx 9500~\text{Pa}= 0{,}095~\text{bar}$

  Kürzen der Einheiten und Berechnung:

  $p(20\,000~\text{m})=100\,000\,\frac{\text{kg} \cdot \text{m}}{\text{m}^2 \cdot \text{s}^2} \cdot e^{\large \left(-1{,}2 \cdot 9{,}81 \cdot \frac{20\,000}{100\,000} \right)}=9500\,\frac{\text{kg} \cdot \text{m}}{\text{m}^2 \cdot \text{s}^2} =9500\,\frac{\text{N}}{\text{m}^2} \approx 9500~\text{Pa}= 0{,}095~\text{bar}$

  So kannst du mit Hilfe der Barometrischen Höhenformel den Luftdruck in einer bestimmten Höhe wie hier der Ballonhöhe bestimmen:

  Antwortsatz:
  In einer Höhe von $20$ Kilometern beträgt der Luftdruck nur noch rund $100$ Millibar, also gerade mal ein Zehntel des Normaldrucks.

• Zeige, wie du mit der Barometrischen Höhenformel einem Luftdruck eine Höhe zuordnen kannst.

  Tipps

  Bringe zunächst alle Terme, die nicht zur Exponentialfunktion gehören, auf die linke Gleichungsseite.

  Eliminiere anschließend die Exponentialfunktion durch die Anwendung des geeigneten Logarithmus.

  Ziehe in den letzten beiden Schritten alle übrigen Terme von der rechten Gleichungsseite weg, die nicht die gesuchte Größe darstellen.

  Gesucht ist eine Formel, mit der die Höhe h bei Kenntnis des Luftdrucks bestimmt werden kann.

  Lösung

  1.$~$ Ausgegangen wird für die Herleitung von der barometrischen Höhenformel:

  $p(h)=p_0 \cdot e^{-\rho_0 \cdot g \cdot \frac{h}{p_0}}$

  2.$~$ Dividieren durch $p_0$ ergibt:

  $\dfrac{p(h)}{p_0}=e^{-\rho_0 \cdot g \cdot \frac{h}{p_0}}$

  3.$~$ Nun bildest du den natürlichen Logarithmus auf beiden Gleichungsseiten:

  $\ln(\frac{p(h)}{p_0})=-\rho_0 \cdot g \cdot \dfrac{h}{p_0}$

  4.$~$ Multiplizieren mit $p_0$ ergibt:

  $p_0 \cdot \ln(\frac{p(h)}{p_0})=-\rho_0 \cdot g \cdot h$

  5.$~$ Dividieren durch $-\rho_0$ und $g$ ergibt dann:

  $-\dfrac{p_0}{\rho_0 \cdot g} \cdot \ln(\frac{p(h)}{p_0})=h~$beziehungsweise $~h=-\dfrac{p_0}{\rho_0 \cdot g} \cdot \ln(\frac{p(h)}{p_0})$

  Mit Hilfe dieser Gleichung kann einem gegebenen Luftdruck eine Höhe (über dem Meeresspiegel) zugeordnet werden. Setzt du die Werte für den Luftballon ein, so zeigt sich, dass der Ballon wahrscheinlich in einer Höhe von rund $45$ Kilometern platzen wird.

• Ermittle die Druckverhältnisse, unter denen beim Menschen die Höhenkrankheit auftreten kann.

  Tipps

  Es gilt: $1~\text{bar}=100\,000\,\frac{\text{N}}{\text{m}^2}=100\,000\,\frac{\text{kg} \cdot \text{m}}{\text{m}^2 \cdot \text{s}^2}$.

  Lösung

  Setzt du die gegebenen Größen in die barometrische Höhenformel ein, so ergibt sich für die Höhe von $3\,000~\text{m}$ ein Luftdruck, der etwa $0{,}7~\text{bar}$, also rund $70$ Prozent des Luftdrucks auf Meeresspiegelhöhe beträgt.

  Beträgt der Luftdruck nur noch $0{,}7~\text{bar}$ (oder weniger bei noch stärkeren Aufstiegen), so zeigt der menschliche Körper häufig leichte bis schwere Anzeichen der Höhenkrankheit. Ursache dafür ist zum einen die schlechtere Sauerstoffversorgung durch den geringen Luftdruck in den Alveolen (Lungenbläschen – siehe Abbildung). Dem kann der Körper nach einer ausreichenden Anpassungszeit mit einer höheren Anzahl Roter Blutkörperchen (Erythrozyten) in den Kapillaren (Blutgefäßen) entgegenwirken. Außerdem kann es aufgrund der Druckverhältnisse zur Bildung von Wasseransammlungen in der Lunge und im Gehirn kommen, die unbehandelt nicht selten tödlich enden.

  Rechnung:

  $\begin{align} &p(h)=p_0 \cdot e^{-\rho_0 \cdot g \cdot \frac{h}{p_0}} \\ &p(3\,000~\text{m})=100\,000\,\frac{\text{kg} \cdot \text{m}}{\text{m}^2 \cdot \text{s}^2} \cdot e^{\large \left(-1{,}2\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 9{,81}\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot \frac{3\,000~\text{m}}{100\,000\,\frac{\text{kg} \cdot \text{m}}{\text{m}^2 \cdot \text{s}^2}} \right)} \\ &p(3\,000~\text{m})=70\,000\,\frac{\text{kg} \cdot \text{m}}{\text{m}^2 \cdot \text{s}^2}=0{,}70~\text{bar}=700\,\text{mbar} \end{align}$

• Ermittle die Höhe, ab welcher du ein Ei nicht mehr gar kochen kannst.

  Tipps

  Verwende die Formel $h=-\dfrac{p_0}{\rho_0 \cdot g} \cdot \ln(\frac{p(h)}{p_0})$ und setze die gegebenen Größen ein.

  Es gilt: $1~\text{bar}=100\,000\,\frac{\text{N}}{\text{m}^2}=100\,000\,\frac{\text{kg}}{\text{m} \cdot \text{s}^2}$.

  Lösung

  Gegeben:

  $p(h)=0{,}58~\text{bar}=58\,000\,\frac{\text{kg}}{\text{m} \cdot \text{s}^2}$

  $g=9{,}81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$

  $p_0=1~\text{bar}=100\,000\,\frac{\text{kg}}{\text{m} \cdot \text{s}^2}$

  $\rho_0=1{,}2\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}$

  Gesucht:

  $h$

  Lösung:

  $h=-\dfrac{p_0}{\rho_0 \cdot g} \cdot \ln \left(\frac{p(h)}{p_0} \right)$

  $h=-\dfrac{100\,000\,\frac{\text{kg}}{\text{m} \cdot \text{s}^2}}{1{,}2\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 9{,}81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}} \cdot \ln \left(\frac{58\,000\,\frac{\text{kg}}{\text{m} \cdot \text{s}^2}}{100\,000\,\frac{\text{kg}}{\text{m} \cdot \text{s}^2}} \right)$

  $h=4\,627~\text{m} \approx 4{,}6~\text{km}$

  Ab einer Höhe von etwa viereinhalb Kilometern kannst du ein Ei leider nicht mehr hart kochen. Das Eiweiß benötigt zum Stocken eine Temperatur von rund $85\,^\circ\text{C}$. Eine Faustregel ist, dass alle $300$ Meter die Siedetemperatur um rund ein Grad Celsius kleiner wird. Diese Grenze ist also bei $4\,500$ Metern bereits erreicht, denn es gilt:

  $100\,^\circ\text{C} - \dfrac{4\,500~\text{m}}{300~\text{m}} \cdot 1\,^\circ\text{C} = 85\,^\circ\text{C}$

  Das Eigelb mit seiner Gartemperatur von gut $60\,^\circ\text{C}$ wird hingegen theoretisch sogar auf dem Mount Everest noch fest, wo das Kochwasser eine Temperatur von etwa $70\,^\circ\text{C}$ erreicht.

  Anmerkung: Das Problem ist nicht, dass das Wasser nicht siedet, sondern dass es, sobald es die Siedetemperatur erreicht hat, nicht mehr heißer wird, bis das gesamte Wasser verdampft ist. Das Wasser siedet also, aber das Ei(weiß) kocht nicht.

  Also liegst du ab viereinhalb Tausend Höhenmetern genau auf der Grenze zwischen einem glibberig gekochten Ei und einem durchgebratenen Spiegelei (nochmal Glück gehabt) – aber natürlich nur, wenn du die Eier dort heil hinauf bekommst und nicht schon vorher von der Höhenkrankheit zur Umkehr gezwungen wurdest. Ich drück' dir die Daumen!

• Gib den Eichluftdruck auf Meeresspiegelhöhe in anderen gebräuchlichen Schreibweisen an.

  Tipps

  Die Größenordnung muss stimmen, ebenso die Einheit.

  Bar meint Druck pro Fläche.

  Newton kann in Kilogramm mal Meter durch Quadratsekunde ersetzt werden.

  Lösung

  So sind die Umrechnungen korrekt:

  Es gilt:

  $1~\text{bar}=100\,000\,\frac{\text{N}}{\text{m}^2}=100\,000\,\frac{\text{kg} \cdot \text{m}}{\text{m}^2 \cdot \text{s}^2}=100\,000\,\frac{\text{kg}}{\text{m} \cdot \text{s}^2}$

  Um ein $\text{bar}$ in die Grundeinheit Pascal $\left( \text{Pa} \right)$ zu überführen, musst du den Zahlenwert mit $100\,000$ multiplizieren. Bar und Pascal geben einen Druck an, also eine Kraft pro Fläche – in Newton $\left( \text{N} \right)$ pro Quadratmeter $\left( \text{m}^2 \right)$. Diese Einheiten kannst du einsetzen:

  $1~\text{bar}=100\,000~\text{Pa} = 100\,000\,\frac{\text{N}}{\text{m}^2}$

  Newton ist allerdings wiederum keine Grundeinheit, muss also in der Regel in Rechenaufgaben durch Kilogramm, Meter und Sekunde ersetzt werden. Es gilt:

  $1~\text{N}=1\,\frac{\text{kg} \cdot \text{m}}{\text{s}^2}$.

  Setzt du dies in die Formel ein, kannst du außerdem noch kürzen.

  Hinweis: Es gibt Aufgaben, in denen du die Einheit $\text{bar}$ nicht unbedingt auf diese Art umrechnen muss. Und zwar immer dann, wenn du sie direkt mit einem anderen $\text{bar}$ wegkürzen kannst oder die Einheit einfach stehen bleibt. Dies kannst du beispielsweise bei der Höhenformel so machen:

  $h=-\dfrac {p_0}{\rho_0 \cdot g} \cdot \ln(\frac{p(h)}{p_0})$

  Die Einheiten der beiden Drücke im natürlichen Logarithmus kannst du direkt gegeneinander kürzen. Der erste Term ist auch ein Druck, dieser muss aber mit anderen Einheiten gekürzt werden und demnach in die Grundeinheiten umgerechnet werden.

• Leite dir ab, in welcher Höhe sich der Luftdruck im Vergleich zum Druck auf Meeresspiegelhöhe halbiert hat.

  Tipps

  Arbeite mit der hergeleiteten Formel $-\dfrac{p_0}{\rho_0 \cdot g} \cdot \ln(\frac{p(h)}{p_0})=h$.

  Lösung

  Um die Höhe zu bestimmen, in welcher sich der Luftdruck halbiert hat – also den Wert $0{,}5~\text{bar}$ erreicht – musst du mit der Formel arbeiten, die du aus der barometrischen Höhenformel hergeleitet hast.

  Mit dem Einsetzen der Größen erhältst du dann:

  $h=-\dfrac{p_0}{\rho_0 \cdot g} \cdot \ln \left( \frac{p(h)}{p_0} \right)$

  $h=-\dfrac{100\,000\,\frac{\text{kg} \cdot \text{m}}{\text{m}^2 \cdot \text{s}^2}}{1{,}2\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 9{,}81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}} \cdot \ln \left( \frac{0{,}5~\text{bar}}{1~\text{bar}} \right)$

  $h \approx 5\,900~\text{m}$

  In einer Höhe von knapp $5\,900$ Metern hat sich der Luftdruck etwa halbiert.

  Wie an der Formel zu erkennen ist, nimmt der Luftdruck mit steigender Höhe logarithmisch ab (im natürlichen Logarithmus) und nicht etwa linear.